Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Так как эпрУЦ,Т1) = У (У), эпр У(1,Тг) = У„. (~), т$ т, то, переходя' в предыдущем равенстве к супремумам по разбиениям Т1 и Тю получим У.(У)+У.'(У) = и УНТ) < У:(У) т=т,от, Возьмем теперь любое разбиение Т отрезка [а, Ь] и добавим к нему точку с.
Получим разбиения Т1 отрезка [а, с] и Тэ отрезка [с, Ь]. Тогда У(У,Т) < УЦ,Т)+ У(У,Т). Переходя в этом неравенстве к супремумам по всем разбиениям Т, получим 1а У) < эпр(1 (У Й) + УУ~ Тэ)) < 1а (У) + ~с (Л т Вместе с ранее доказанным противоположным неравенством это дает .(/) .(/) .(/). 4о. Каждая функция с ограниченным изменением на отрезке [о,6] может быть представлена как разность двух ограниченных монотонно возрастающих функций. Положим 12(х) = Уа(/). Тогда функция у(х) не убывает и веотрицательва на отрезке [о,6].
Далее, положим !(1(Х) = 12(х) — /(х). Прв Х1 > Х2 ИМЕЕМ !(1(х1) — !6(хх) 1а 1а /(х1) + /(Х2) = Уа — (/(Х1) — У(х2)) >'О, так как Ъ'*,' = еир У(/ Т) > зир ] ~(/(о,) — /(о, 1)) [ = [/(х2) — /(х1) [. т т, 1 бе. Функция с конечным числом максимумов и минимумов на отрезке [а,6] является функцией с ограниченным изменением. Пусть отрезки [х, 1,Х,], х = 1,...,п, задают участки монотонности функции /(х) на отрезке [а,6].
Тогда а 1' (/) = ~', У ' (/), где У™ (/) = ]/(х,) — /(х, 1)[. аа! Пример. Найти полное изменение функции /(х) = зшх при х б [О, 2х]. Разобьем отрезок [0,2х] на отрезки монотонности функции вшх: [О, $]„[2, '2 ], [ 2',2х]. Тогда согласно свойствам бе и 3о будем иметь: Пусть /(х) — непрерывнаи функция и и(х) — функция с ограниченным изменением ва отрезке [а,6], и пусть У = (о = га < 11 < 1а — 61 с! ~ ° ° ., са ) размеченное разбиение отрезка [о, 6] и Т = Т(У) — соответствующее ему неразмеченное разбиение. Пусть, кроме того, а Ьав = и(1а) — В(1а 1), Х(У) = Ха(У) = ~ /(Са)Ь,Х. ах1 зш Уо*(вшх) = 2 — з!пх, 4+вшх, если 0 «* !г/2, если х/2 < х < Зх/2, если Зх/2 < х < 2Х.
Тогда о(У) вазывается интегральной суммой Стмлътьеса. Если существует предел !пп а(У) = 1„(~), то фувкция 1(х) называется интегрируемой по фупкпим и(х) иа отрезке [в,6], а величина 1 = 1„(1) — интегралом Стильтьеса от фувкции 1(х) по функции в(х) (или относительно функции и(х)) и обозначается так: ь 1 = 1„Я = 1(х) Ии(х). а Этот предел можво рассматривать как предел по базе В, окончаниями которой 6 = 6« служат множества, состоящие из размеченных разбиевий 11 с диаметром Ьо < б.
Следователъво, предел ! едивствевев. Докажем теперь одно достаточвое условие су1цествовавия интеграла Ствльтьеса. Т е о р е м а (достаточвое условие ивтегрируемости). Пусть функция и(х) имеет ограниченное изменение яа отрезке [а,6]. Тогда ь для суьцествованин интеграла Стильтьеса ] 1(х) Ии(х) достаточно, а чтобы функция 1(х) была велрерыввой ва [9,6]. Дохазательсшвв. По критерию Коши имеем,что существоваиие предела ивтегральвых сумм Стильтъеса, 11ш е(11), аи-+в эквивалентно выполвевию условия Коши: для всякого «> О должно найтись число б = б(«) > О такое, что для любых размечеввых разбиений 611 и 112 с условием 16и, < б, Ьц, < б, следует, что справедливо веравеиство [в(У1) — о(112)[ < «.
Обозначим через в полное измевеиие функции п(х) ва отрезке [а,6]. Зададимся произвольным числом « > О. Тогда в силу непрерывности фувкции 1(х) существует число б = б(«) > О такое, что для любых х1, Х2 с условием [Х1-хт[ < б выполняется веравевство [1(х1)-1(Х2) [ < «1 = «/2ю Возьмем теперь любые размечеивые разбиения 111 и 112 с дяаметрами Ьо, и 12п„меньшими б. Пусть Т1 —— Т(111) и Т2 = Т(112)— соответствующие им веразмечеввые разбиевия отрезка [а, 6].
Разбиение Тз — Т1 ОТ2 является измельчевием разбиений Т1 и Т2, и пусть 11«в произвольвое разбиеиие с условием Тз — — Т(112). Тогда [а(111) — о(119)[= [~~1 У(х )Аи — ~~' ~~',У(х1~)Аои)[= зы! 1=1 л ь = [~~1 ~~~ (~(Х1) — ~(Х1,1))Ь1,1в[ < 119. ьы1 уш1 292 Аиалогичио доказываетси, что ]х(Уз) — в(Пз)] < гьи. Следователыю, ]гг(оь) — х(Уз)] < ]в(И~) — вЯз)]+ ]в(Уз) — в(Пз)] < 2г1в = а Теорема доказаиа. Укаиьем основные свойства иитегрвла Стилътъеса.
1в. Если фуикции и(х) диффереицируема, то имеет место равенство ь ь / У(х) Ии(х) = У(х)й(х) Их, где последний иитеграл повимается как интеграл Римана. 2ь. Свойство лимеомостас ь ь ь (уь(х) + Ях)) ои(х) = /,Гь(х) оя(х) + ~ Я(х) ои(х), ь ь / а1(х) до(х) = а~1(х) дв(х) Уа ч ЬЬ. Зе. При о < с < Ь имеем ь с ь / ме ~.(*) =/г*) ю.(с+) 7(.) ым*), (сво0ство оддитивмости). 4е. Если у(х) и и(х) интегрируемы по Римаиу, то имеет место следуюьиее правило имтегрировамоя по чвсвьям: У(х) Ии(х) = Дх)и(х)~, — Г(х)в(х) Йх, где последиий интеграл понимается как интеграл Римана. Ье.
Если и(х) моиотонио возрастает иа отрезке [о,Ь] и Дх) > у(х) на атом отрезке, то ь ь ~ 7(*) ~ ( ) > ~Ф*) ~ (*) Приведем примеры вычислевия интегралов Стилътьеса. 1. Пусть (х) — дробная часть числа х, т.е. (х) = х — [х], где [х] = гп Е К вЂ” целая часть числа х, гп < х < га + 1. Найти значение з интеграла ] х н(х). о Имеем: х н(х) = х Ых + 1 . (-1) + 2 (-1) + 3 ( — 1) = — 1, 5.
/ о о 2. Пусть ю в)пх, если 0 <х< к, и(г) = соэх, если т < х < 2к. Вычислить интеграл 1 = ] х пи(х). о Имеем: 1 = х йв(пх+ х осоех+ (-1) .к = -2. В заключение приведем теорему об общем виде линейного функционала в пространстве С[а, Ь]. Т е о р е и а. 1) Пусть функция и(х) имеет ограниченное изменение ва отрезке [а, Ь]. Тогда интеграл Стяльтьеса ь 1(У) = У(х) ~ ' а является линейным фуякцяояалом в пространстве С[а, Ь]. 2) Пусть 1(у) — любой линейный функционал в С[а,Ь]. Тогда существует функция и(х) с ограниченным яэмеяеяяем на отрезке [а,Ь] такая, что 1(1) представляется в виде 1(1) = / 1(х) ни(х). Ь Ыы не будем давать полного доказательства этой теоремы, остановимся только на его основных моментах.
1) Адцитивность и однородность 1(1) следует из линейности интегральных сумм Стильтьеса ц(У), соответствующих размеченному разбиению У отрезка [а,Ь], Т = Т(У). Для этой суммы справедливо неравенство ]х(У)] < Ц1Ц. У(и Т) < Ц1Ц. г',э(и) Переходи в нем к пределу при сьев -> О, получим ! / 1(х) Йю(х)! < ][1!]У (и). а Тем самым, показана ограниченность 1(1). 2) Пусть 1(1) — линейный функционал на пространстве С[а,6]. Зтот функционал можно продолжить на пространство ступенчатых функций. Пусть отрезок [а,)У] содержитси в отрезке [а,6]. Тогда положим О, если х=а, Д<х<6, Хе(х) = 1, если а < х < 13.
Далее определим функцию 1е(т) = и(;У). Эта функция п(Ф) имеет ограниченное изменеяие на отрезке [а,6]. Зададимся произвольным с > О. Тогда в силу равномерной непрерывности Дх) на отрезке [а,Ь] будем иметь, что существует чясло б = б(е) > О такое, что для всех хы хз с условием ]х~ — хз! < Ю выпол.няется неравенство [1(х~) — 1(хт)! < ю Возьмем теперь размеченное разбиение 11: (о = хо < х~ < - .. < х„= ь, гл,..., с„) с диаметрам Ьп, меньшим 6.
Рассмотрим функцию и ~о(х) = ~((~)х~,(х) + ~ 1(сь)(~ „(х) — Х~~,(х)). ьл2 Отсюда имеем а 1(у) = ~((~)и(х~) + ~ 1(Сь)(и(хь) — и(хь ~)). Далее, из определения функции у(х) получим, что для любого х б [а, 6] справедливо неравенство !1(х) — у(х)! < е. Следовательно, имеем А это означает, что при Оп -е О величина 11 является пределом величин Ьр, но предел 1~р представляет собой интеграл Стильтьеса ь / 1(х) Ии(х). а На етом и завершается доказательство теоремы. Гл ХШ НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Лекция 18 Ь 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ В предыдущей главе было показано, что с помощью интеграла Стильтьеса можно выражать линейные фувкционалы, определенные аа простраистве непрерывных функций С[а, Ь]. На примере пространства С[а,Ь] мы поэиакомились с фупкциовальвым пространством.
Может возникнуть вопрос: почему множество С[а, Ь] непрерывных аа отрезке [а,Ь] функций называется пространством? Ответ достаточно прост. Дело в том, что термин "пространство" по существу эквивалевтеи термиву "множество". Отличие состоит в том, что термии простраиство "в чистом виде" употребляется редко, а чаще в сочетании с другими терминами, например: топологическое пространство, метрическое, липейц, иормироваяиое пространства и т.д. Все эти понятия играют важную роль в математике вообще и в математическом анализе в частности.
Здесь мы познакомимся с некоторыми из них. Рассмотрим следующую схему. Пространства Топологические Лияейяые (векторные) 'ъ Хаусдорфовы Лииейпые топологические Метрическве — + Нормированные Полные — + Банаховы — + Гильбертовы — + Евклвдовы На этой схеме показаиы те некоторые из рассматриваемых в математике прострац, определения которых мы дадим.
Стрелки имеют следуюшяй смысл: то пространство, аа которое указывает стрелка, является частным случаем того, из которого ояа "выходит". Перейдем к определению пространств, указанных на схеме. Пусть Х вЂ” некоторое множество, Е = Ех — множество, состоящее нз некоторых подмножеств множества Х, т.е.
Е С О(Х), где й(Х)— множество всех подмножеств Х. Пусть Е обладает следующими свойствами; 19. ХЕЕ, аЕЕ; 29. а) Если А и В Е Е, то А О В Е Е; б) Объединение любого числа элементов яз Е принадлежит Е. Для того чтобы указать, что элементами Е являются некоторые подмножества множества Х, говорят, что Е есть некоторая система подмножеств. Определение 1. Кажда» система подмножеств Е, удовлетворяющая свойствамм 19 и 29, называется топологией на множестве Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
