Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Определение 2. Пара множеств (Х,Е) называется топологическим пространством. Часто говорят просто, что Х вЂ” топологическое пространство, если на нем задана топология Е. Каждый элемент о Е Е, т.е. каждое подмножество о С Х, принадлежащее системе Е, называется открытым множеством (в топологии Е). Любое подмножество А С Х такое, что Х ~ А Е Е, называется замкнутым множеством (в топологии Е).
Пусть х — некоторая точка, принадлежащая Х. Тогда любой элемент и Е Е, которому принадлежит точка х, называется окрест-. ностью точки х, т,е. любое открытое множество, содержащее точку х, называется ее окрестностью. Фиксированные окрестности точки х часто обозначают символом о,. Определение 3. Топологнческое пространство Т = (Х, Е) называется хаусдорфовым, если любые две различные точки х и у этого пространства имеют непересекающиеся окрестности и н ок Е Е, т.е. о, Поз — — И. Пример хаусдорфова пространства (И,Е).
Пусть множество Е состоит из всевозможных подмножеств вещественной оси 1к, имеющих в своем составе конечное или счетное число непересекающихся интервалов, Тогда пространство (й, Е) является хаусдорфовым, поскольку любые две различные точки х и у можно окружить непересекающимися открытыми б-окрестностями. Отметим, что изучение различных топологических пространств составляет предмет теоретико-множественной топологии. 297 Определенне 4. Пусть задав декартов квадрат Х = Х х Х некоторого множества Х я пусть иа множестве Х~ определена чясловая фуигцяя р(хм хз) со следующямя свайствамя: 1) для любых (хмхт) Е Х ямеем р(хм ха) > О, прячем р(х~,хз) = О, есля х~ = хз (пеотрицательиость); 2) для любых (гмхз) Е Кт ямеем р(гм аз) = р(хюг~) (сямметричяоста); 3) для любых х,у,г Е Х справедливо перавепство треугапьняка: р(х,у) < р(х,г)+ р(г,у).
Тогда пара (Х, р) яля само множество Х называется метрическнм пространством, а фуикцяя р(г~,хт) вазывэется метрикой этого пространства, или расстоянием ат точки х~ до точкв хз, яля функпией расстояння, Прнмеры. 1. Пусть Х вЂ” произвольное множество и О, если х=у, Р(г„у) = 1, если хну, тогда пара (Х,р) является метрическим пространством. 2. Пусть яа мяожестве веществепяых чисел расстояние задается по формуле р(х,у) = (г — у), тогда пара (Й,р) является метрическим пространством. Отметим, что метрику яа одном и том же множестве Х можно задавать по-разпому.
При этом получаются различные метрические простраяства. Напрямер, па плоскости Ж~ можно задать расстояние между точками й = (хмхз) и у= (ум уз) как по формуле рэ(х,у) = щах(<х~ — у~), <хт — уз~), так и по формуле р(х,у) = Для всякого числа г > О определим открытые г-окрестности точек х б Х в метрическом пространстве (Х, р) (обозначим их через а,(г)) как множество точек, содержащееся в Х и состоящее изо всех точек точек у Е Х с условием р(х,у) < г. Множества а, являющиеся объедяяепием любой совокупности, составленной из г-окрестностей разлячиых точек х Е Х, назовем открытымн.
Тогда можно показать, что система множеств Е = (а) задает яа множестве Х топологию и превращает это мвожество в топологическое хаусдорфово пространство. Задаияая топология называется топологией, порожденной метрнкой р. Определение 5. Последовательвость точек хы хт,..., х„,... метрического простравсгва (Х, р) называется последовательностью Коши или чаще фундаментальной послодовательностью, если опа удовлетворяет условию Коши, а имевяо: для всякого числа г > 0 пайдется комер пз — — оз(г) такой, что для всех вомеров пыпт > пз имеем р(хл11 ха~) ( г Определение 6.
Последовательность (х„Е Х) называется схоцяшейся к точке а Е Х, если числовая последовательвость р„= р(х„, а) сходятся к пулю пря в, стремящемся к бескояечяости. Этот факт записывается так: 1пп х„= а. Из неравенства треугольника легко можно показать, что такая точка о Е Х едииствеика. Определение 7. Метрическое простравство (Х, р) каэывается полным, если всяка» последовательвость Коши сходятся к векоторой точке а Е Х. Теперь обратимся к линейным пространствам, которые должны быть знакомы из курса высшей алгебры.
Определение 6. Мвожестзо Х = (х) яаэовем линейным пространством, если выполвеяы следующие условия: 1) для любых двух элементов х,у Е Х одиозиачио определеи элемент х такой, что х = х + у, называемый их суммой, причем: а) х + (у + х) = (х + у) + х; б) х + у = у + х; в) существует нулевой элемент О, такой, что для любого х Е Х имеем х + 0 = х; г) для всякого х Е Х существует обратиый элемент ( — х), такой, что х+( — х) = 0; 2) для любого вещественного чясла а и любого х Е Х определен элемент ах Е Х (произведеиие злемеита х Е Х иа число а Е Ж), причем: а) а()1х) = (АУ)х; б) 1 х=,х; 3) операции сложения и умножения связаны свойством дистрибутиввости: а) (а + ф)х = ах + 1ух; б) а(к+ у) = ах+ ау.
Примерами линейных простраиств являются и-меркое векторное пространство, прострапство непрерывных функциЯ С(а,з]. Элементы линейного пространства называются векторами. Определение 9. Линейное пространство К называется нормированным, если для любого вектора х определена его яорма ЦхЦ, обладающая следующими свойствамв: 1) ЦОЦ=О; 2) для любого х ~ 0 имеем ЦхЦ > 0; 3) для всякого вещественного числа а имеем ЦахЦ = [аЦ[хЦ; 4) для любых элементов х,у Е Х справедливо неравенство треугольника: Цх+ УЦ < ЦхЦ+ ЦУЦ.
Заметим, что пространство С[а, 6] функций, непрерывных на отрезке [а,6), является нормированным пространством с нормой ЦуЦ = птах Щх)[. хе[а,ь! Утверждение. Функция р(х, у) = Цх — УЦ, определенная на декартовом квадрате Хт, где Х вЂ” нормированное пространство, является метрикой на пространстве Х. Д о к а з а тп е л ь с га е о. Покажем, что функция р(х,у) является метрикой. Для этого надо проверить, что функция р(х,у): 1) пеотрицательпа; 2) симметрична и 3) удовлетворяет неравенству треугольника. Действительно, имеем: 1) Р(х У) = Цх — УЦ > 0 и Р(х, у) = Цх — УЦ = 0 тогда и только тогда, когда х = у; 2) р(х, у) = Цх — УЦ = [ — 1) Цд — хЦ = р(у, х); 3) пусть а = х — х, 6 = т — у, тогда имеем р(х, у) = [[а + ЬЦ < ЦаЦ + ЦЬЦ = Цх — хЦ + Цх — хЦ = р(х, х) + р(г, у).
Утверждение доказано. Определение 10. Полное нормированное пространство называется баиаховым пространством. Теперь мы переходим к оцределеняю гильбертова пространства. Для этого пам потребуется определение скалярного произведения. Пусть на множестве Х задана структура линейного пространства. Определим функцию 1'(а,6) ца декартовом квадрате Х~, т.е.
па множестве пар (а,6), где а Е Х, 6 Е Х. Пусть далее функция у(а,Ь) обладает следующими свойствами, 1о. Для любого элемента а Е Х имеем у(а,а) > О при а ф 0 (положительность). 2о. Для любых элементов а,Ь б Х имеем у(а,Ь) = 1(Ь,а) (симметричность), Зс. Для любых элементов а, Ь, с Е Х имеем )'(а, Ь+с) = ~(а, Ь)+ 1(а, с) (аддитивность) . 4с. Для любых элементов а, Ь б Х и любого вещественного числа Л справедливо равенство у(Ла, Ь) = у(а, ЛЬ) = Лу(а, Ь) (однородность). Функцию у(а, Ь) со свойствами 1э — 4с называют скапнрным произведением. Будем записывать ее просто как (а, Ь), Оказывается, что функция Л/(а,а) = ))а)! является нормой, и само пространство Х с этой нормой, таким образом, является нормированным. В самом деле, неотрицательность и однородность функции фа, а) очевидна.
Осталось проверить неравенство треугольника. Сначала докажем неравенство Коши." (х, у) < (х, х)(у, у). Положим х~ — — А, у~ = к;(. Тогда последнее неравенство слепует из того, что ((х~,у~)( < 1. Действительно, без ограничения общности можно считать, что (хну~) > О, к тогда имеем 0 < (х~ — уы х~ — у~) = (хы х~) + (уы у~) — 2(хм д~) = 2 — 2(хы у~), откуда получим (хну~) < 1, что и требовалось доказать, Докажем теперь неравенство треугольника: Используя неравенство Коши, имеем )(х + у((~ = (х + у, х + у) = (х, х) + (у, у) + 2(х, у) < < йх)!'+))у()'+2йх)( )(у)(= Цх))+)(у)0'.
Полное метрическое пространство Х с метрикой р(х,у) = ))х — у)! называется гнльбертовым пространством. Следовательно, гильбертово пространство — частный случай банахова пространства Х с нормой (ф) = ;/(х,х). Конечномерное гильбертово пространство называется евклндовым пространством. Рассмотрением этях пространств мы и ограничимся, и в дальнейшем более подробно будем изучать метрические пространства.
Лекция 19 о 2. ХАУСДОРФОВОСТЬ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА В ЕСТЕСТВЕННОЙ ТОПОЛОГИИ Сначала введем понятие открытого множества в метрическом пространстве. Определение 1. При любом г ) О открытым шаром 0(а,о) радиуса о с центром в точке а в метрическом пространстве (Х, р) называется множество, состоящее яз всех точек г б Х, удовлетворяющих условию р(а,г) < о. Определение 2.
Шар 0(а,о) называется также г-окрестностью точки а. Определение 3. Множество точек К(а,г), определяемое условием р(а,г) < г, называется замкнутым шаром радиуса е > О с центром в точке а. Заметим, что при е1 < гг имеем 0(а,г1) С 0(а,гт), К(а,о~) о. К(а,гт). Определение 4. Точка а е М С Х называется внутренней точкой множества М, если ояа имеет г-окрестность, целиком составленную из точек множества М. Определение б. Множество М называется открытым, если любая его точка является внутренней., Пример. Для всякой точки а б Х любая ее г-окрестность будет открытым множеством. Действительно, если точка у б 0(а,г), то имеем ро — — р(а,у) < г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
