Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ь, причем р(Р) < и(2а) = 4и и Устремим и к бесконечности,'получим р'(Ь) = О, а значит, и р(Ь) = О. Теорема доказана. это С л е д с т в н е. Пусть граяяца фигуры Р является спрямляемой кривой. Тогда Р измерима по Жордаяу. ,Я о к а э а т е л ь с т е о. В силу критерия измеримости и предыдущей теоремы получаем нзмеримость фигуры Р, что и требовалось доказать. 6 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬЮ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ И ИЗМЕРИМОСТЬЮ ПО ЖОРДАНУ ЕЕ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ Рассмотрим криволинейную трапецию Р, ограниченную кривыми у = у(х), у = О, х = а, х = 6.
Имеет место следующий критеряй кнтегрируемостя функции по Риману. Т е о р е м а. Пусть функция у(х) ограничена я яеотряцательна на отрезке [а,6]. Тогда для янтегряруемостя функции у(х) по Рямаяу необходимо я достаточно, чтобы криволинейная трвлецяя Р, отвечающая кривой у = У(х), была измерима по Жордаяу. ,О о к а э а т е л ь с т е о. Необходимость.
Нам дано, что функция у(х) интегрируема по Риману. Тогда в силу критерия интегрируемости имеем, что для любого е > О найдется разбиение отрезка [а, 6] такое, что Я(Т) — в(Т) < х, где Я(Т), в(Т) — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу, отвечающие разбиению Т. Заметим далее, что замкнутая простейшая фигура Ры соответствующая верхней сумме Дарбу Я(Т), объемлет криволинейную трапецию Р, а замкнутая простейшая фигура Рю соответствующая нижней сумме Дарбу в(Т), вписана в нее, т.е.
имеют место теоретико-множественные включения Рэ С Р С Р1 и отвечающие им неравенства в(Т) = а(Рэ) < и,(Р) < р'(Р) < р(Р1) = Я(Т). Поскольку справедляво неравенство Я(Т) — в(Т) = д(Р1) — д(Рэ) < е, то д" (Р) — р,(Р) < х. Отсюда в силу произвольности выбора числа е > О будем иметь, что р'(Р) = р,(Р), т.е.
криволинейная трапеция Р измерима по Жордвну. Необходимость доказана. ,Уостаточность. В силу критерия иэмеримости граница дР криволинейной трапеции Р имеет плоскую жорданову меру нуль. Следовательно, плоская мера Жордана ее части: кривой Ь вида у = Х(х), а < х < 6, — равна нулю. Поэтому для всякого г > О существует простейшая фигура ьГ такая, что Ь С Ц, рф) < е. Продолжим вертикальные отрезки сторон стаццаргных прямоугольников, составляющих фигуру Я, до пересечения с осью 0х, Эти точки пересечения дадут разбиение Т отрезка [а,6]. Обозначим через ьг1 простейшую фигуру, лежащую под фигурой Я в области у > О, а через Ят обозначим фигуру Я ОЯы Тогда имеем Я1 С Р С Щ, р(Яз) — ]а(Я1) = р(Я) < е.
Заметям, что фигуре Я1 соответствует нижняя сумма Дарбу, а фигуре Яз — верхняя сумма Дарбу. Следовательно, Я(Т) — а(Т) < е, т.е. имеем 1п1(Я(Т) — а(Т)) = О, значит, по критерию интегрируемости функция у(х) является интегряруемой. Теорема доказана. Примеры. 1. Соображения, использованные нами при доказательстве первой части предыдущей теоремы, показывают, что площадь криволинейной трапеции Р: у = у(х) > О, у = О, х = а, х = Ь, равна ь р(Р) = У(х) [х а 2. Площадь криволинейного сектора Р, граняца которого задана в полярных коордянатах уравнениями г = У(у), [а = о, у = А определяется по формуле ,а о к а з а ю е л ь с пь е о етой формулы опирается на свойство монотонности меры Жордана.
Разобьем отрезок [а,]]) на и равных частей точками а = ~ра < р~ < < р„=]]. Кривая г =- Д(р) точками Аь(гь уь), гь = /('рь), разбивается на и дуг, а сектор Р— на и малых секторов Рь. Пусть Тогда площадь Ь -го криволинейного сектора содержит круговой сектор радиуса уе и находится внутри сектора радиуса Рю Используя формулу площади кругового сектора и свойство монотонности площади, имеем 1 г уь~х~~ь < р(Рь] < -РьЬ~ю Д~рь — хц 2 — — 2 Откуда получим 2 1э т э» = — ~„~ьтЬу ь < д(Р) < — ~„Рт~1; = ~..
2 — 2 ьж1 ььп Суммы э„и Я„являются нижнимя н верхними суммами Дарбу для интеграла в 2,/ а Поскольку функция У(Р) — непрерывна, ут(Р) — непрерывна и интегрируема, а потому при и -+ оо имеем и„-э Г, 5„-+ 1. Отсюда получим р(Р) = А Утверждение доказано. Аналогично можно вычислять и объемы различных фигур, вписывая в них и описывая вокруг них простейшие фигуры, зависящие от некоторого параметра и, и устремляя потом его к бесконечности. Подобным образом находил площади и объемы еше Архимед, т.е.
мы применили метод нсчерпывания, принадлежащий Архимеду. Итак, понятие измернмости по Жордану позволяет значительно расширить класс фигур Р на плоскости и в пространстве, которым можно приписать значение площади или объема д(Р). Однако легко можно указать пример плоского множества Р, не измеримого по Жордану.
Например, рассмотрим функцию Днрихле Х(х) на отрезке (О, 1): 1, если я — рациональное число, Х(я) = О, есля х — яррапиональное число. Пусть Р есть криволинейная трапеция, соответствующая этой функции, т.е. множество точек (я,у) на плоскости хОу, определяемое для всякого я, принадлежащего отрезку [0,1], условиями 0 < у < Х(я).
Очевидно, что любая простая фигура, содержащая Р, должна :одержать единичный квадрат, и поэтому верхняя мера ее и" (Р) равна еднняце. Но в то же время простые фигуры, вписанные в Р, могут, очевидно, состоять только из конечного числа отрезков, и они имеют поэтому нулевую площадь, следовательно, нижняя мера фигуры Р равна нулю. Знаэит, фигура Р неизмерима по Жордану. По здравый смысл говорит о том, что фигуре Р, тем не менее, разумно приписать меру нуль, и вот по какой причине. Как известно, рациональные точки отрезка можно занумеровать, потому фигура Р состоят из счетного числа отрезков.
Возьмем любое г > 0 и накроем первый отрезок прямоугольником, площадь которого равна е(2, второй отрезок — прямоугольником площадью е/2~, и т.д. Тогда вся фигура покроется счетным количеством стандартных прямоугольников, а их общая площадь не превышает величины 6 е — + — + — + к е 2 2т 2з гтз Так как фигура Р накрыта прямоугольниками, общая площадь которых не превышает е, то, естественно, считать, что и площадь фигуры Р тоже не превосходят с, а это может быть только и том случае, если она равна нулю. Мы подошли тем самым к способу определения понятия площади даже для тех фигур, которые неизмеримы по Жордану.
Развивая этот подход, приходим к понятию меры Лебега, которое можно построить для пространства любой фиксированной размерности, в том числе и для прямой Й. Глава Х11 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕВЕГА. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА Лекпия 15 3 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МЕРЫ ЛЕБЕГА Рассмотрим случай плоской меры Лебега. Определение 1. Пусть ограниченная плоская фигура Р покрыта конечным иля счетным множеством стаядартных открытых прямоугольников Ь„, о = 1,.... Совокупность Н = (Ь„) всех этих прямоугольияков назовем покрытием плоского множества Р (или фигуры Р). Величину рн= 1пп р(0 Ь,) назовем мерой покрытия Н. Множество Н называется простейшим множеством. Заметим, что ееличяна рн всегда неотрипательна, Определение 2.
Число р'(Р) = ш'1ря, где иифвмум берется по и всем возможным покрытиям простейшими мяожествами фигуры Р, называется верхней мерой Лебега фигуры Р. Очевидно, имеем 0 < р'(Р) < +со, поскольку в силу ограниченности фигуры Р найдется стандартный квадрат К со стороной 1 такой, что Р С К. Отсюда получим, что р'(Р) < 1т. Определение 3. Пусть СР = К1 Р, где К вЂ” стандартный квадрат, покрывающей фигуру Р. Нижней мерой Лебега плоского множества Р назовем число ..(Р) = р(К) —.Р(СР) Определение 4.
Плоское множество Р называется измеримым по Лебегу, если р'(Р) и. (Р) = р(Р), а число д(Р) называется плоской мерой Лебега. Докажем следующий критерий измеримости множества по Лебегу. Т е о р е м а 1. Пусть А — ограниченное множество. Тогда для измеримости по Лебегу множества А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: для всякого е > 0 су!цествовало бы простейшее множество В = В(е), такое, что справедливо неравенство р" (АсьВ) < г. Это значит, что любое измеримое по Лебегу множество с любой степенью точности может быть аппроксимнровано простейшими множествами, ,В о к а з о т е л ь с я! е о. Необходи,мосгвь.
В силу ограниченностя множества А существует стандартный квадрат К, покрывающий А, т.е. А С К. Нам дано, что множество А — измеримо. Следовательно, р*(А) = р,(А), те. д (А) +,в'(К ! А) = р(К). Далее, из определения верхней меры Лебега имеем, что для любого е > 0 существует последовательность открытых стандартных прямоугольников (Сп~, покрывающая множество,4, т.е. А С С = О Сп, и п=1 такая, что ,и'(А) < ~ ~р(С«) < р*(А) + — . «=1 Аналогично, найдется последовательность стандартных прямоуголь- ников (Р„~ такая, что К~А С О Р„=Р р(К!!А) <~~ р(Р„) <р*(К~А)+-. п=1 Отметим, что множества С и Р образуют покрытие квадрата К.
Далее, так как ряд ~ р(С«) сходится, то существует помер к = п=1 к(е/2) такой, что 2 , 'Р(С«) < е/2. «=а+! Положим В = О Сп, Р = О С„, Я= ВГ! ( О Рп) п=1 п«Ь.1-1 '«=1 Заметим, что множества В и Р образуют покрытие множества.А, т.е. В О Р 3 А, и, следовательно, множество Р содержит А !! В. Имеем также, что множество Я содержит В !, А. В самом деле, Ц = В П Р Э ВГ1(К ~А) = В~ А. Таким образом, РОЯ 3 (А~В) О(В ~А) = АЬВ. тта Опеним сверху величину д(Р 0 Я). Поскольку для любых двух простейших множеств Р и С справедливо равенство р(Р 0 С) = п(Р) + р(С) — р(Р г1 С), получим р(РО 9) = п(С Г1 В) = п(С) + р(0) — п(С 0 В) < Е с < р'(А) + — + р'(К ~ А) + — — р(К) = ю 2 2 Следовательно, для любого е > О мы нашли множество В = В(е) такое, что р*(АЬВ) < р(Р 0 ь)) < е А это и завершает доказательство необходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
