Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Положим р, = р(Е,). «-1 Определение 2. Сумму Я„= 1 р,у, назовем интегральной сум«ка мой Лебега. Можно доказать, что всегда существует предел 1 = !пп Я«. Этот «-+о« предел называется интегралом Лебега от функции !(х) по отрезку ь [а,6] и обозначается так: (Ь) ! !(х) Их. « Поскольку для любой интегрируемой по Риману функции множество точек разрыва имеет меру нуль (критерий Лебега), в силу доказанного выше она измерима по Лебегу.
Более того, интеграл Лебегв от этой фуыкции равен интегралу Римана, Действительно, пусть Т: а = хе < х~ < < х„ = 6 — произвольное разбиение отрезка [а, Ц, Ь; = [х; м х;], Ьх; = х~ — х~ и »ы = Ы 1(х),М, = еир !(х). «еь «еь Тогда для интеграла Лебега имеют место неравенства »чЬх; ( (Ь) / !(х) ь(х < М;Ьхо Следовательно, в силу аддитивности интеграла Лебега, для верхней Я(Т) в нижней «(Т) сумм Дарбу получим «(Т) < (Ь) !(х) Нх ( Я(Т).
4 Отсюда, переходя к пределу при диаметре йт разбиения Т, стремя- щемся к нулю, будем иметь 1(т э(Т) = 1пп Я(Т) = (Я) /у(х) Их ат -~е лт -~е а Таким образом, мы доказали, что интеграл Лебега равен интегралу Римана, если последний существует. Заметим, что поэтому для интеграла Лебега используется то же обозначение, что и для интеграла Римана.
Перейдем теперь к рассмотрению неограниченных измеримых функций на отрезке [а,е]. Рассмотрим сначала случай неотрицательной функции у(х). Для любого вещественного числа у определим функцию Д(х) следующим образом; з (х) = Дх), если )у(х)[ ( у, у, если Щх)[ > у. Эта функция измерима. Тогда интегралом от функции Дх) на отрезке [а,6] называется предел ь ь Ях) пх = 1пп / уэ(х) пх. Если этот предел конечен, то функция Дх) называется суммнруемой.
Очевидно, что суммируемая функции может обращаться в бесконечность лишь на множестве лебеговой меры нуль. Пусть теперь функция ~(х) принимает значения произвольного знака. Тогда определим функции ~+(х) = шах(у(х), 0), у (х) = шах( — Дх), 1]). Будем говорить, что функция У(х) суммнруема, если суммируемы обе функции /+(х) и у (х), и интеграл от функции Дх) равен разности интегралов от функций у+(х) и у (х). Отметим, что в случае ограниченной функции Дх) на отрезке [а,6] понятия суммируемой и измеримой функций совпадают. Из определения суммируемой функции непосредственно следует, что: 1) вместе с Дх) будет суммируемой функция ]у(х)[, при этом модуль интеграла от подынтегральной функции /(х) не превосходит интеграла от модуля этой функции; 2) если /(х) — измерима и [Дх)~ — суммируема, то функция у(х) — суммируема; 284 3) если Дх) — измерима и модуль ее не превосходит суммируемой функции й(х), то функция у(х) — суммируема; 4) если у(х) — суммируема и у(х) — ограниченная измеримая функция, то их произведение является суммируемой функцией; 5) если У(х) — суммируемая функцг(я и у(х) не совпадает с ней на множестве меры нуль,, то функция у(х) — суммируема, и интегралы от этих функций равны между собой.
' Отметим еще, что для интеграла Лебега от суммируемой функции верны те же свойства, что и для интеграла Римана, но кроме этого добавляется еще одно важное свойство: свойство счетной аддитивности интеграла Лебега. Его можно сформулировать так. Пусть на отрезке [а1Ь] задано счетное разбяение единицы, т.е. задано счетное множество измеримых функций д„(х), принимающих всего два значения О и 1, причем для любого х б [а,Ь] одна и только одна функция у„(х) отлична от нуля.
Тогда для всякой суммируемой функции ((х) на отрезке [а,Ь] ямеем ь ь У(х) 11х = ~~' [ У(х)у.( ) 1х. пп1 Это свойство можно сформулировать и по-другому. Пусть отрезок [а, Ь] разбит на непересекающееся семейство измеримых множеств Е„. Тогда интегралы от функции ((х) по множествам Е„существуют и имеет место равенство Интеграл по множеству Е„можно записать и так: ь ,1(Х) ПХ = ДХ)уп(Х) 1(Х, где у„(х) — индикаторная функция множества Е„, т.е. (1, если хбЕ„, у«(*) = ~ ' ( О, если х М Еп. В заключение отметим, что в случае интеграла Лебега упрощается по сравнению с интегралом Римана предельный переход под знаком интеграла. Приведем точную формулировку этого утверждения.
288 Т е о р е м а (теорема Лебега). Пусть на отрезке [а,6] последовательность измеримых функций ~„(х) сходится к функции Х(х) и пусть для некоторой суммируемой функция у(х) на отрезке [а,6] выполнено неравенство ]у„(х)] < у(х). Тогда предельная функция у(х)— суммируема и имеет место равенство 11т Уа(х) Ых = ~(х) Их, А' о к о з а вг е л ь с ш е о. По условию теоремы абсолютные величины функций у„(х), и "> 1, не превосходят суммируемой функции 1г(х), Следовательно, и абсолютная величина предельной функции у(х) не превосходит 1г(х), я значит, она является суммируемой функцией.
ь Нам надо доказать, что 1пп ] у„(х) ох = О, где у„(х) = у(х) — у„(х). з~ се Зададимся произвольным числом е > О. Для каждого и > 1 определим множество А„тех точек х, для которых ]у„(х)] > е~ = -ф;-). Тогда в силу упомянутого выше свойства счетной аддитивности меры Лебега справедливо равенство 1цп рА„= О.
В протявном случае паз-+се шлась бы точка х такая, что для бесконечного множества значений и' выполнялось неравенство ]у„(х)] > еь А это противоречит тому, что 1пп у„(х) = О. ь Представим интеграл,/ =, [ у„(х) ох в виде а У = 11 + 1г,где зг — — у„(х) Их,.7г = у„(х) йх, У = [а,6]. 11А. По теореме о среднем имеем ]з1[ < ~г(6 — а) = —, а для интеграла уг справедлива оценка ],Уг] < ~ ]у„(х)] ох < 2 [ р(х) ох. Пусть В~ = (х Е А„] 1о(х) > пг). Тогда в силу сходимостн интеграла Ф = ] 1г(х) ех имеем 1цп / у(х) Их = О.
гзе Следовательно, существует гпе Е14 такое, что для всех гн > гпе имеет место неравенство ) Р(х) Ия < -'. Далее, представим интеграл Ф в виде Ф = Ф~ + Фю где л.1в В силу теоремы о среднем имеем )Фт! < гпи(А„~ В ) < гпн(А„). Поскольку мера множества А„стремится к нулю при о -+ со, то при любом фиксированном гп > те можно указать не е И такое, что для всех о > ве справедливо неравенство )Фз! < гпд(А„) < —.
3 Следовательно, для любого г > О мы нашли па Е г! такое, что для всех и > по выполняется неравенство ь уо(к) оя < г, т.е. 1пп у„(я) Ыя = О. очоа у Теорема доказана. Отметим еще один факт, состоящий в том, что для ограниченной неотрицательной функции интегрируемость по Лебегу зквивалентна нзмернмости по Лебегу ее криволинейной трапеции. Для более полного изучения теории интеграла Лебега можно познакомиться со следующими оригинальными работами: Н.
ЬеЬезяпе. 1п1еяга!е, Ьопкпепг, Азге. 'Тпеее, Рабе, 1902; С. Ае 1а Ча))ее Ропезш. 1пгекга!м сне ЬеЬевяпе. Ропсбопв д'епзегпЫе. С!мам бе Ва!ге. Сапгй1ег — ЧВ1ага ег С", Рабе, 1916; А. Лебег. Интегрирование и отыскание примитивных функций, М. - Л,, 1934; Н. Н. Лузин. Интеграл и тригонометрический ряд, ГИТТЛ, М. - Л., 1951; ВЬ де ла Валле Пуссен. Курс анализа бесконечно малых.
Т.1, ГТТИ, М. - Л., 1933. Лекция 1Т 6 3. ИНТЕГРАЛ СТИЛЪТЪЕСА Имеется еще одно обобщение понятия интеграла Римана — это интеграл Стильтьеса. Он отражает другую особенность интеграла Римана по сравнению с интегралом Лебега. Если мера Лебега и интеграл Лебега вводилигь для того, чтобы расширить класс измеримых множеств и класс интегрируемых функций, то введением интеграла Стяльтьеса мы решаем другую задачу.
Дело в том, что на интеграл ь 1= ~1(х)Их а можно посмотреть вот с какой стороны. Прн фиксированном отрезке [а,6] интеграл 1 — это число, которое ставится в соответствие каждой интегрируемой функции. Тем самым, интеграл Ряманэ задает некоторую числовую функцию, определенную на множестве (1) всех функцяй, интегрируемых на отрезке [а,6]. Сузим класс функций и будем рассматривать непрерывные функции, определенные на отрезке [а,6].
Множество всех таких функций прянято обозначать символом С[а,6], причем для каждой функции 1 б С[а, Ь] определяют величину [(1[[ = гпах [1(х)[, называемую нормой функции 1(х) в пространстве «е(«,ь) С[а,6). Пусть ~ б С[а,Ь], тогда, как мы знаем, 1 — интегрируема по Риману на отрезке [а,6) и ь 1(1) = ~1(х) Нх. а 1(1) — линейная числовая функция, т.е.
для любых 1,д б С[а,6] и любых о, 11 б Ж справедливо равенство 1(о1+ ду) = о1(1) + д1(д). Напомним, что числовые функции, определенные на множес'гве, элементами которого являются функции, во избежание путаницы, называют функционалами. Более того, функционал 1, ставящий всякой функции 1 б С[а,Ь] в соответствие число 1(1), называется линейным функционалом, если выполняются следующие свойства: 1~. Аддитивность: 1((~ + ~з) = 1(Л) + 1(~з) ЧЛ, Л б С[а, 6]; 2~.
Однородность: 1(сЯ = с1(Х) Ус б К, Ч,( б С[а, 6); За. Ограниченностьа существует М ) 0 такое, что для любой функции ь б С[а, Ь] справедливо неравенство [1(1)[ < М[Я. Наименьшее из таких чисел М называется нормой линейного функционала 1 и обозначается ][1[[, 288 Таким образом, интеграл Римана 1(1) задает линейный функционал ыа пространстве С[а, 6]. С помощью интеграла Римана на пространстве С[а,6] можно построить много других линейных функционалов. Например, для любой фиксированной интегрируемой по Риману функции у(х) ыа пространстве С[а,6] можно задать линейный фуыкцыонал 19(У) = / 1(х)у(х) их, а Заметим, что, если функция С(х) такова, что для всякого х Е [а,6] справедливо равенство у(х) = С'(х), то 19(1) можно представить в ваде ь 1„(1) = 1(х) йС(х).
а Для развития теории иытегрироваыия и для ыекоторых ее приложений, например, для теории вероятностей, вариационного исчисления, теоретической механики, важно иметь ответ на вопрос: любой ли линейный фуыхционал ьь(,1) на пространстве С[а,6] можно представить в таком виде, т.е. всегда ли найдется такая функция у(х), что ь ь р(1) = 19(1) = 1(х)а(х) Их = 1(х) ИС(х). В ч Легко поыять, что если мы имеем дело с обычным интегралом Римана, то ответ отрицательный, так как тогда, например, функциоыал ьь(1) = 1(хь), где хь — фиксированная точка отрезка [а,6] (в частностя, хь — — -'ттх) в таком виде представить нельзя. Но можно расширить понятие интеграла Римана таким образом, что уже любой линейный функционал р(У) на пространстве С[а,6] можно будет представить в виде ь к(У) = / У(х) йС(х).
а Расширение понятия интеграла Римана в указаыном направлении и достигается введением понятия интеграла Стильгьеса. Для етого нам потребуется определить новый класс функций. Определение. Функция и(х) называется функцией с ограниченным изменением или, что то же самое, функцией ограниченной вариаиви ыа отрезке [а, 6], если существует вещественное число ! О ~изми пэ мвзематичсскои 1ню изь 289 М > 0 такое, что для любого разбиения Т: а = $е < 11 « . 1„= 6 выполняется иеравенство Величкна, равная эпрУ(у;Т) = У,"(т), называется полным измет пением или полной вариацией функции у(х) на отрезке [а, 6].
Отметкм следующие свойства функций с ограниченным изменением на отрезке. 1с. Сумма двух функций с ограниченным нзменением есть функция с ограниченным изменением. Действительно, пусть Ь(х) = у(х)+у(х). Тогда для любого разбиения Т отрезка [а,6] справедливо неравенство У(Ь, Т) < У(у, Т) + У(у, Т). Отсюда следует, что полное изменение У„(Ь) функции Ь(х) не превосходит суммы полных изменений функций у(х) к у(а).
2э. Ограниченная монотонная функция иа отрезке [а, Ь] — функция с ограниченным изменением. Рассмотрим только случай неубывающей функции у(х) на отрезке [а,6]. Имеем У~(у) = т(Ь) — т(а). 3~. Пусть а < с < 6 и функция' у(х) имеет ограниченное изменение на отрезке [а, 6], тогда имеет место равенство У,"(7) = У, (У) + У,"(У) Возьмем любые разбиения Т1 и Тт отрезков [а, с] и [с, 6] и положим Т =Т1 ОТю Тогда У(у,Т) = Щ,Т1) + УЦ,Тэ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
