Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Далее возьмем один из получившихся кубов Ьы не допускающий конечного подпокрытия, и т.д. Последовательность кубов (6„) сходится к одной точке хо, которая является предельной точкой К и потому принадлежит К. Некоторое открытое множество У б (У) покрывает эту точку. В силу зы того, что это множество открыто, оно будет покрывать и некоторый куб 6„, что противоречит построению А„. Теорема 3 доказана.
Напомыим, что числовой функцией на множестве А называется отображение г: А — э )й. Далее под термином "функция" мы будем понимать только числовые функции. Докажем несколько свойств функций, непрерывных на компакте. Т е о р е м а 4. Пусть т'(х) непрерывна на компакте К С Е". Тогда: 1) у(х) — ограничена на К; 2) существуют хы хт б К такие, что у(х~) = М = зпр )(х), у(хт) = ш = ш1 у(х). аек эек ,7 о х а з а ш е л ь с ш е о. 1) Для каждой точки хб К найдется окрестность О(х,б(х)) этой точки, в которой функция у(х) ограничена. Эти окрестности образуют покрытие открытыми множествами.
Выделим из него конечное подпокрытие и получим, что у(х) ограынчена на всем компакте К. 2) Проведем доказательство от противного. Пусть ни в какой точке функция у(х) не принимает максимальное значение. Тогда функция д(х) = ~~+-1 является непрерывной на компакте К. Следовательно, по утверждению 1) этой теоремы она ограничена.
Отсюда имеем 1 1 0« Мь или у(х)<М вЂ” —, М вЂ” у(х) 1 т.е. число М- ~~ — верхняя грань значений функции у(х), меньшая, чем М. Это противоречит определению числа М. В случае нижней грани значений функциы )(х) доказательство проводится аналогично. Теорема 4 доказаыа. з 7. СВЯЗНЫЕ МНОЖЕСТВА И НЕПРЕРЫВНОСТЬ Определение 1. Множество А в метрическом пространстве Х называется связным, есля пря любом его разбиении на два непустых непересекающихся подмножества А~ и Ат ови будут иметь общую граничную точку, принадлежащую А, т.е, точку а с условиями: 1) абА; 2) в любой г-окрестности точки а есть как точки из множества Аь так и точки нз множества Ат, отличные от а.
Примерами связных множеств на плоскости являются отрезок, прямоугольник, круг. Связное открытое множество называется областью, а связное множество, являющееся компактом, — континуумом. зщ Т е о р е м а 1. Пусть А — связное множество в %", функция Р(х) непрерывна на А, я пусть существуют точки хм хз б А, Р(х~) = а, Р(хз) = 6, а < 6. Тогда для любого числа с Е (а,6) существует точка хз Е А такая, что Р(хз) = с. Д е и а з а ш е л ь с щ е о. Рассмотрим два множества Мз = (х Е А(Р(х) < с), Мз — — А ~ М~.
В силу связности множества А существует точка хз, являющаяся граничной точкой как для множества Мм так и для множества Мз. В каждой из окрестностей 0„= 0(хз,1/в) есть точка аь Е Мз н точка 6„Е Мз. Последовательности (а„) и (6„) сходятся к хз. Тогда из непрерывности функции Р(х) имеем: Р(хз) = Р( 1пп а„) = 1пп Р(а„) < с, Р(хз) = Р( 1пп 6„) = 1пп Р(6~) > с, т.е. в точке хз функция Р(х) равна с.
Теорема 1 доказана. Глава Х1Ъг ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекпня 21 1 1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ В Зл Еще раз обратим внимание на тот факт, что поскольку поыятие непрерывности функции определяется как предел функции по базе, ыад ыепрерывыыми функциями в переменных в точке х = Ус можно совершать арифметические операции с сохраыением их непрерывности с обычыой оговоркой о иеобращении в ыуль знаменателя частного % в точке х = Уе. Справедливы также теоремы о неравенствах для де непрерывных функций в точке У = Уо типа таких: если у(Ус) > у(хе), то в некоторой окрестности точки У = Уо имеем у(У) > й(У).
Будем, как и раньше, говорить, что функция у(У), задаыная на множестве А С Е", является непрерывной на мыожестве В С А, если г'(У) непрерывыа для любой точки У б В. Напомыим, что для функции, ыепрерывыой на компакте, справедливы теоремы об ограниченности функции на ием, о достижении ею точной верхней и точной нижыей граней и о равномерыой непрерывности, а для непрерывной функции, заданной на связном множестве, справедлив аналог теоремы о промежуточном зыачеыии. Но кроме этих свойств есть свои специфические особеныости фуыкций многих переменных. Пусть а = (аю...,а„) — некоторая точка из Е" и функция у(У) определена в некоторой окрестности точки а. Выделим одну из координат точки а. Пусть это будет координата с номером з, 1 < з < о, и обозначим через М С Е" множество всех тех точек, у которых все координаты, кроме в-й, совпадают с коордиыатами точки а.
Если в качестве аргумента У рассматривать точки У б М, то мы получим функцию Р(х,) одной перемеыиой х„р(х,) = ~(а~,..., х„..., а„). Например, если ~(ею ха) = ха~+ с~хм то р(хт) = аз~+ а~хм Определение 1, Будем говорить, что фуякция у(У) непрерывна в точке а по переменной х„если х(х,) яелрерывир в точке х, = а,. Можно дать более общее определение непрерывности функции /(У)' по любому направлению. Определение 2. Направлением в )й" называется любой единичный вектор е б %". зы Определение 3. Множество всех точек й вида х = а+ $е называ- ется: а) открытым лучом, выходящим из точки а в направлении с, если Ф>0; б) замкнутым лучом, — если 1 > 0; в) прямой, проходящей через точку а в нвлравлении е, если 1— произвольное вещественное число.
Рассмотрим функцию ф(М) = у(а 1-Се). Определение 4. Будем говорить, что функции у(х) непрерывна в точке а по направлению с, если Ф(1) непрерывна в точке 1 = О. Имеет место следующее очевидное свойство. Если у(х) непрерывна в точке й = а как функция и переменных, то она непрерывна в точке а по любому направлению е. Обратное, вообще говоря, неверно. Примеры, 1. Пусть функция Дх,у) задана следующим образом: -Р-т если х~+ ут ф О, Дх,у) =' *+" О, если х=у=О.
Она непрерывна в нуле по х и по у, но разрывна в втой точке как функция двух переменных х, у. 2. Пусть функция у(х,у) задана соотношениями: ~ Я-„т, если ха+уз ф О, Дх,у) = +в ' ~~ О, если х=у=О. Она является непрерывной по любому направлению, проходящему через точку х = О,у = О, но разрывна как функцвя двух переменных в втой точке. Рассмотрим теперь отображение Г: %" -> )к . Этому отображению однозначно соответствуют га функций у1(х),...,~р„,(х), которые представляют собой координаты точки у = г(х) б й, т.е.
у = (1а1(х),...,у~(х)), у, = у,(х), в = 1,...,га. Утверисдение. Для непрерывности отображевяя Г: 2" — ~ %™ в точке хе б )кв необходимо и достаточно, чтобы все функции 1а,(х) были бы непрерывны в точке х = йе. Д о к а э а т е л ь с т е о непосредственно следует из определения непрерывного отображения, поскольку Переформулируем теперь теорему о непрерывности сложного отображенкя метрических пространств на случай функций многих переменных. згв Т е о р е м а 1. Пусть у:и" -+ В , у: й -+ 1к, и пусть отображение Г(х) непрерывно в точке х = йо, а функции у(у) непрерывна в точке уо = Дхо). Пусть также в некоторой окрестиостя точки хо оирсцелеиа сложная функция Л(х) = у(Дх)). Тогда функция Л(х) непрерывяа в точке й = йо.
Определение $. Функция г': А -+ и, А С %", иазываетси равномерно непрерывной на множестве А, если для любого с > О существует число б = б(е) > О такое, что для любых х,у б А с условием р(х,у) < б имеем (г(х) — г(у)~ < с. Т е о р е м а 2. Функция г', непрерывная иа компакте К, является равномерно непрерывной ив ием. Д о к а з а ш е л ь с т е о.
Зададимся произвольным с > О. Возьмем число с~ — — с/2 и для каждой точки х б К рассмотрим окрестность 0(х,бв(с~)) точек у с условием Щх) — г(р)( < с~. Тогда "усеченные" окрестности О(х, тб (со)) покрывают компакт К. По определению компакта из етого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. В качестве б = б(с) возьмем минимальыый из конечного числа радиусов выбранных шаровых окрестностей.
Если теперь возьмем любые х,у с условием р(х, у) < б, то оказывается для точки х, покрытой некоторой окрестностью 0(хо, ~~бе,(с~)), выполняются неравенства 1 ~У(х) У(хо)) < со, р(х, ха) < -бо~(с1). Кроме того, имеем р(х, у) < б < -'бв,(с~). Поэтому р(у,хо) < р(у,х)+р(х,хо) < б„(со), откуда следует, что )у(у) — Дхо)( < с~. Значит, ~Х(х) — У(у)! < )У(х) — У(хо)) + Щхо) — У(у)) < 2со = с Таким образом, для любого числа с > О мы указали б = б(с) такое, что для любых х,у б К с условием р(х,д) < б выполнено неравенство ~Дх) — Ду)) < с, следовательно, функция Дх) — равномерыо непрерывыа ыа компакте К. Теорема 2 доказана.
зго з 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ В %н Пусть числовая функцяя у(х) определена в некоторой окрестности точкя и = а б Й". Определение 1. Прнраэцением Ь|(х) функции 1(х) в точке х = а пазываетгя Разность ЬДх) = у(х) — у(а). Разность Ьх = х — а называется прнратцением аргумента х. Длина вектора Ьх обозначается через ~Ьх~ и равна р(х,а). Утверждение 1. Если функция у(х) непрерывяа в точке и = а, то приращение ее Ьу(х) стремится к нулю при Ьх, стремящемся к нулю, т.е. Ь,г(х) = о(1). Д о к а з а щ е л ь с тв в о очевидно следует из определения н свойств предела функции по базе множеств. Определение 2. Лянейвзл фуякиня от приращения аргумента Ьх называется дифференпиалом ау(х) функции у(х) в точке й = а, если приращение Ьу(х) пря Ьх -+ 0 можно представить в виде Ьу(х) = ф(х) + о((Ьх~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
