Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В силу непрерывности функции 1„,(хмхг) в точке х = а имеем р(аг + Иг) — ~р(аг) = ЬгИг(1еом(ам аз) + о(1)). згч С другой стороны чг(аг + 61) — Р(аг) = гу(аг + Ьг) — 4(аг), где ч (х) = у (а1 + Ьы х) — у (а,, х). Вновь применяя теорему Лагранжа, находим Ф(аг + Ьг) — Йаг) = Ьг(А„,(аг + "1 аз+ дг) — У з(аы аг+ дг)) = = Ьгбг~~,~,(а, + 026|, аг+ 026г) = 6162Ц,,(ам аз) + о(1)). Отс года Ьг62(у„„(амаг) + о(1)) = 6,62(/м,(ам аг) + о(1)), т.е. получаем справедливость равенства У„„(аы аг) = у„„(аы аг). Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2 (теорема Юнга).
Пусть функции Д,(хмхг) и Д,(хы хг) определены в некотороу окрестности точки й = а = (аы аг) и дифференцируемы в точке а. Тогда У„,,(аы аг) = У„„(аы аг). З о к а з а нг е л ь с га е о. рассмотрим функции 2Ь~1 = Г(аг + 6, аг + 6) У(а1 + 6, аг) — 1(аы аг + 6) + У(аы аг), 1е(х) = у(х,аз+ 6) — у(х,аг). Имеем гз 2' = 1Е(а1 + 6) — гр(аг). Из теоремы Лагрангка следует, что Ь~/ = 61е'(аг + дг 6) = 6 (Д, (аг + 01 Ь, аг + 6) — Д (аг + дг 6, аг)) .
В силу того что функция Д,(хы хг) дифференцируема в точке х = а, Д,(аг + дг6, аг+ 6) — У',(аы аг) = 026~'„,(а) +'Ьге,е,(а) + о(6), уе,(аг + 026,аг) — У~,(амаг) = 02Ч',~,(а) + о(6), Следовательно, А у = 6~~"„, (а) + о(62). С другой стороны Дг~ = 10(а + 6) — ф(а ), где Ф(у) = У(аг + 6, у) — 2 (аы у). Аналогично предыдущему получим 2.'5 у = Ь ~,''„, (а) + о(6 ). Таким образом, 1..е.(аы аг) = уе,е,(аы аг).
Теорема 2 доказана. 325 Положим теперь Сг, = Сьх, = ~Сх,. Тогда получим 4'У(х) = ~~ ~~' * Ых,Сх,. дгу(х) г=гз=1 Зто выражение называется вторым дифференциалом функции Дх) в точке х = а.. Аналогично определяется дифференциал д~г(х) порядка Сг: И" ~(х) = ~~~ ~ ~дх,...с(х„. дьу(х) ссм юы Очевидно, зто выражение можно символически записать так: Ы 7(х) = ~~~ Ых,— С(а), д где для получения развернутого выражения надо формально возвести выражение в скобках в степень как многочлен, 'считая символы как бы независимыми переменными, а затем к числителю в выражения — -в — ~-,— справа приписать С(а).
Отметим, что Ку(х) при г > 2, вообше говоря, не обладает свойством ннварнантности, т.е. если, скажем, вместо Их, в выражение для огу(х) подставить первые дифференциалы Ир,(С) функций *, = е,(С), то получится выражение, которое уже не будет вторым дифференциалом. Действительно, если Ь(С) = у(~о(С)), то ,Сгб(;) т;- ~- д,~ + ~,Р д'У д1 г , дх,д*„ югн Здесь мы воспользоввлнсь тем, что Но если у,(С) — линейные функции, т.е. Р,(С) = Лс„+ Л,„С, +" + Л„,С„, то Ы~уг, = 0 н инвариантность второго дифференциала все же име- ет место.
Аналогичное утверждение справедливо и для третьего дифференциала и т.д. В силу зтого, например, если х = а+ Се и д(С) = у(а+Се), то ГУ(а+ СеИ, = 4'д(СН, = др~(0)(СС)", т.е. функция д(С) является г раз дифференцируемой. Воспользуемся последним замечанием для вывода формулы Тей- лора для функции от и переменных. 327 Т е о р е м и 1 (формула Тейлора с остаточяым членом в форме Пеаио). Пусть фунКция ((х) дифференцируема к раз в точке и = а. Тогда при х, стремящемся к а, справедлива следующая формула У(х) =Р(х)+ ( ), где Р(х) = у(а) + ф(а)( — + —, Н ~(а)~ +...
1 "+ —, 1"У(п)~,вьв „~(й) = о(~х — а~"). Д а к а з а т е л ь с т е о. Применим метод математической индукции по параметру )г. При )с = 1 утверждение теоремы следует из определения дифференциала функции. Предположим теперь, что й>1. Из условия теоремы вытекает, что функция г(й) в некоторой окрестности У точки й = а имеет все производные до порядка (Й вЂ” 1) включительно. Кроме того, в точке а сама функция и все ее частные производные до Й-го порядка включительно равны нулю.
Далее, пусть й Е У и Ьх = х — а. Тогда имеем 1(У) = г(х) — г(а) = г(а+ Ьх) — г(а) = Р1 +. + Р„, где при а = 1,...,п величины Р, определены равенствами Р, = г(а, +аахм....а, +Ах„а,+ы...,а„)— — г(а1+ Ьхы..., а, 1+ 2ах, ма„..., а„) = у(а, + Ьх,) — у(а,). Отсюда, применяя формулу Лагранжа к каждой величине Р„при некоторых ~, с условием 0 < ~, < 1 получим Р, = у,'. (а, +4,Ьх,)Ьх, = г„'. (а+ в,)Ьх„ где 6, = (Ьхм..., Ьх, м с,Ьх„Оя..., 0). Следовательно, г(х) = г~,(а+91)Ьх1+ + ~' (а+ явь)Ьх„. Заметим, что точка а+ в, Е У для каждого в = 1,...,о.
Поэтому к частным производным в правой части последнего равенства можно применить предположение индукции с заменой значения параметра и яа к — 1. Тогда при всех в от 1 до и будем иметь г (а + в,) = о()х — а) ). Отсюда следует, что г(х) = оЦх — а~~). Теорема 1 доказана. 328 Т е о р е м а 2 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция 1(й) имеет (в+ 1)-и дифференциал для любого и Е О(а,в), где в — некоторое положительное число. Тогда для любой точки 6 Е 0(а, в) существует точка с = а+В(Ъ вЂ” а), 0 < В < 1, такая, что У(Ы = У(г(+ К вЂ”,' с( У(а) (( +'Дс) ак=к а (й+1)' ам=ь а Д в к а з а ш е л ь с ас в о. Пусть д(1) = Д(а+с(Ь вЂ” а)). Тогда по формуле Тейлора для одной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа имеем д'(О) дрй(0) д(ь+'((В) д(1) = д(0) + — + .
+ — + 1! к1 (й+ 1)! ' где 0 < В < 1 — некоторая постоянная, Поскольку справедливы равенства д(0) = У(а), д'(0) = сй(а)~в с а,...,ВОО(0) = с(~Да)( 1ь+ с1(В),(ь+ ( ~(-) ) подставляя их и предыдущее соотношение, получим утверждение те- оремы. Теорема 2 доказана. Замечание. Подчеркнем разницу в условиях существования формулы Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа (теоремы 1 и 2). Она состоит в том, что в первом случае (с-кратная дифференщсруемость функции Д*) предполагается только в точке Я = а, в то время как во втором случае требуется ((с + 1)скратная дифференцируемость ее в окрестности О(а,в). Обратим внимание на то, что в случае функции одной переменной Й-кратная дифференцнруемость ее в точке к = а обеспечивает (й — 1)-кратную дифференцнруемость в окрестности, в кратном же случае это условие дает существование в втой окрестности только частных производных до ((с — 1)-го порядка включительно.
Лекция 24 $8. ПРИЛОЖЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Определение точкв локальпого экстремума для функции многих перемепиых дословно совпадает с апалогичпым понятием для фупкции одпой переменной, и, вообще, для фупкций, определенных в любом метрическом пространстве, только е-окрестность точки, в которой функция имеет экстремум, определяегся соответствующей метрикой. Определение 1. Точка а б 1й" называется точкой строгого локального максимума функции У(х), если существует г-окрестпость 0(а, е) точки а такая, что для любой точки х ф а и и б 0(а, е) имеем неравенство У(х) < У(а); если У(й) < У(а), то точка а — точка нестрогого максимума; если У(х) > У(а), то точка а — точка строгого минимума; если У(й) > У(а), то точка а — точка нестрогого минимума.
Строгие локальяые максимумы и минимумы в точке называются локальными экстремумами в точке,.а иестрогие — нестрогими локальными экстремумами в точке. Т е о р е м а 1 (пеобходимое условие экстремума). Если а точка локального экстремума (иестрогого) функции У(й) и существует дифференциал бУ(х) ее в этоМ точке, то для любого приращения Ьх имеем 4(х)( „= О, или йгад У(х)(х е — — О.
Д о к а з а ш е л ь с ш е о. Очевидца, достаточно доказать, что прв о = 1,...,п выполняются равенства Рассмотрим функцию д(1) = У(а+1е,), где с, — паправляющий вектор оси Ох,. Тогда ясно, что д(1) имеет в нуле точку локального экстремума, откуда д'(О) = О. Но так как †, = д'(О) = О, ОУ(а) дх, то это доказывает утверждение теоремы 1. Определение 2, Точка а, в которой градиент фулкции У(й) обращается в О, называется стационарной точкой функции У(й), Заметим, что второй дифференциал с1зУ(х) функции У(й) в точке х = а 6 Ио является квадратичной формой от и переменных ~(х1 ° ° ~1хе.
ззо Определение 3. Стацмомармая точка а функции Дх) называется регулярной, есл» в этой точке существует второй дифференциал Ру(х), м он является мевырождемвой квадратичной формой от переменных Ихм..., ах„, т.е. определитель матрицы этой квадратичной формы отличен от нуля. Перейдем теперь к выводу достаточного условия экстремума функцин.
Т е о р е м а 2 (достаточное условве экстремума). Пусть а есть регулярная стационарная точка функции /(х), т.е. дифференциал этой функции в точке а обращается в нуль и существует второй дифференциал в этой точке с мевырождеммой квааратмчмой формой от переменных <(хы..., Их„. Тогда Ц если в этой точке а~у(х) является положительно определенной квадратичной формой, то в точке и = а функция у(х) имеет локальный минимум; 2) если а~у(х) — отрицательно определена, то а — точка локального максимума; 8) если ат7(х) является неопределенной формой, то точка а не является точкой локального экстремума. До ха з а т е л ь с 1в е о.
Рассмотрим пункт 1). Обозначим через А матРицУ квадРатичной фоРмы азУ(х) от пеРеменных Ьхе а = 1,..., и, а через Я(а) — множество точек й б %" с условием ~Ьх~ = 1. Множество Я(а) ограничено и является замкнутым, так как совпадает со своей границей до(а), и поэтому содержит эту границу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
