Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Таким образом, указанный ряд сходится к сумме в = —,' при (в) < 1 и расходится при (а( > 1, а ф О. 3. Гармоиический ряд 2 1/и = 1+ 1/2+. + 1/и+... расходится, а ряд ~ , '1/и» = 1 + 1/2» + + 1/а" + ... сходится при о > 1. Заметим прежде всего, что расходимость ряда есть расходимость последовательности его частичных сумм, т.е. кадо доказать, что в„ = 1 + .
+ 1/п расходится. Для этого достаточно показать, что эта последовательность не ограничена. При п = 2в имеем подпоследовательность »1~ не ограничена и потому она расходится, как и сам гармонический ряд. Для доказательства сходимости ряда ',1 „ †' по теореме Вейерштрасса достаточно доказать ограниченность его частичных сумм 1+ 1~2»+ + 1/ » поскольку они монотонно возрастают. Рассмотрим какое-либо 6 с условием и < 2". Тогда справедлива следующая оценка 1 11 11 /1 1 1 11 1« < 12~ = 1 + + ~ + ) + ~ + + + ) + 2» 1,3» 4») 1,5 8» 7» 8» ) 1 1 (2»-1 1 1)» 2»»/ /1 11 /1 1 1 11 <1+1+ ~ — + — )+ ~ — + — + — + — )+... 1,2 2») 14 4» 4» 4 ) 1 1 (21» '>» 21» В / < <1+1+ — +2 — + +2» ' 1», <1+ 1 1 „, 1 1 Таким образом, частичные суммы (1„1 ограничены в совокупности, что и означает сходимость искомого ряда.
Установим теперь несколько простейших свойств сходящихся рядов. Утверягденме 2. Отбрасывание любого конечного числа членов в бесконечной сумме или добавление к яей любого конечного числа новых слагаемых не влияет на сходнмость ряда. ,7 о к а з а т е л ь с ш в о. Рассмотрим случай отбрасывания слагаемых, так как второй 'случай разбирается аналогично. Итак, пусть мы отбросили члены ряда 2 ап с номерами п1 « и», Оставшиеся слагаемые перенумеруем в порядке возрастания их прежних номеров.
Общий член получившейся таким образом последовательности обозначим через 6«. Тогда при любом п1 ) и» будем иметь уп т-» Х: а„= ~ ~6«+ап,+ +ап,. п»1 п=.1 Отсюда следует, что последовательности частичных сумм этих рядов уп' ю«-» е = 2 ап и е' = , '' 6„ = в — ап, — .. — ап„ сходЯтсЯ н РасходЯтсЯ и=1 «=1 одновременно.
Утверждение доказано. зш Утвервсдение 3. Если ~а„= з и с б 66, то ~ са„= ся. Утверждение 4. Если ~ аи = в и ~6„=1, то ~ (а»+6») = с+1. ,Ы о к а з а пс е л ь с сп в о утверждений 3 и 4 есть прямое следствие определения суммы ряда и арифметических свойств сходя- шихся последовательностей зи и г„как частичных сумм рядов ~ а„ и ~ 6» Доказательство закончено. Утверхкдепме 5 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд ~ аи сходятся, то аи -+ 0 при и -+ со. Другимя словами, а„есть бесконечно малая последовательность. Дохозапсельство. Имеема„=зи — зи ьОтсюдапри и -+ оо получим а« -э а — з = О, что и требовалось доказать. Примеры. 1. Ряд ~ и ( — 1)" ' = 1 — 1+ 1 — 1+...
расходится, так как а„= (-1)" 1 пе стремится к нулю. Заметим, что Л. Эйлер приписывал этому ряду сумму, равную 1/2. И хотя в рамках наших определений это неверно, сушествует иной, более общий взгляд на проблему, и он позволяет придать утверждению Эйлера строгий математический смысл. Речь идет о корректной и продуктивной постановке задачи суммирования расходящихся рядов. Например, можно сумму расходящегося рида рассматривать как значение особого линейного функционала, определенного на последовательности (аи), н т.п. Однако здесь мы этих вопросов, по существу, касаться не будем.
2. Ряд ~ в1пп расходится. Чтобы доказать зто утверждение, ион достаточно установить, что равенство 1пп вшп = 0 не имеет места. и-+со Действительно, пусть е(пп -+ 0 прн п -~ оо. Тогда, так как зш и = з)п ((п — 1) + 1) = ьбп (и — 1) сов 1 + з1п 1 соз (и — 1), з(п 1 ф О, сов 1 ф. О, то, переходя к пределу в предыдущем равенстве, получим 0 = 1пп зшп = соз1 1пп а(п(п — 1) +вш1 1пп сов(п — 1) и-ссо »-ссо »-«со = О+вш1.
1пп сов(п — 1). «-осо Отсюда имеем !пп сов (и — 1) = О. Но тогда при и — > оо »-с со 1 = (в(п и) + (сов п) -ь О+ 0 = О, что невозможно. Следовательно, ряд ~ в1п и расходится, что и требовалось доказать. Рассмотренные примеры показывают, что даже простейшие признаки сходимости ряда оказываются полезными при исследовании рядов на сходимость.
С другой стороны, наличие общего критерия Коши для сходимости последовательности позволяет установить соответствующий критерий и для числового ряда. Т е о р е м а 1 (критерий Коши). Для сходнмостн ряда ~ ~и! аи необходимо н достаточно, чтобы для любого е > 0 существовал номер ио = ио(е) такой, что прн всяком натуральном р и всех и > иа(е) имело место неравенство и+р )аи+р — ри~ = ~ ат ( е. ее и+1 Д о к а 3 а т е л ь с т е о. Утверждение теоремы равносильно критерию Коши для сходимости последовательности аи частичных сумм ряда, что согласно определению и есть сходнмость его самого. Тем самым теорема 1 доказана, Теорему 1 можно переформулировать таким образом, чтобы иметь критерий расходимости ряда ~ а„в прямой форме.
Т е о р е м а 2 (крятерий Коши для расходимости ряда). Для расходнмостн ряда ~ , 'аи необходимо н достаточно, чтобы существовало хотя бы одно е > 0 с условием, что для любого ио > 1 найдутся натуральные и > ио и р, для которых справедливо неравенство и+р а >е. в=и+! и+р ам Определение б. Всякое выражение вида к„ер — ри = т=и+! называется отрезком ряда ~ аи. Примеры. 1. Ряд ~ Ри'5и сходится.
и=! Для доказательства воспользуемся теоремой 1. Имеем (сов(и+ 1) сов(и+р) 1 1 1 1 ( + ..+ < +. + (и+ 1)3 (и+ р)! и(и+ 1) (и+ р — 1)(и+ р) 1! Линц пи ь и "иие~ииви! ииии 353 1 1 1 1 1 1 1 — — +. + < и и+1 и+р — 1 и+р/ и и+р и Требуемое неравенство ~б„+р — б„~ < б будет выполнено, если, например, 1/и < б, т.е.
и > 1/е. положим ио(б) = (1/б) + 1, тогда ио(б) > 1/б и для любого натурального р н любого и > ие(б) выполняются неравенства 1/сс < 1/ссо(б) < б, )б»+р — б») < б, следовательно, по теореме 1 ряд сходится. 2. Гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + ... расходится, Применим теорему 2. При всех и и р = и имеем 1 1 1 1 1 бт» — б» = — + ..+ — > — + "+ — = —. и+1 2и 2и 2и 2 Таким образом, условия теоремы 2 будут выполнены, если положить б = 1/2 и при любом иб > 1 в качестве и и р взять числа и = р = ио.
Тем самым расходимость ряда установлена. 3. Ряд 1 1 1 +. + — + и1пи 21п2 и1пи расходится. Действительно, при любом натуральном 6 имеем Е 1 2" 1 > и 1п и 2" +с (й + 1) 1п 2 2(6 + 1) 1и 2 »=2" +1 Следовательно, при 6 > 1 получим 1 1 6 1 басс бас ) + .+ — ) — = —. 2(/с+ 1)!п2 46!п2 46!п2 4!п2' Положим б = 1/(41п2). Тогда, если в качестве и и и+р взять числа и = 2" и и+ р = 2~", то при любом 6 > 1 выполняются условия теоремы 2, и, значит, данный ряд расходится, Обратим есце рбз внимание на тесную связь между теорией сходимости рядов и последовательностей. Мы установили, что всякий ряд порождает последовательность частичных сумм, которая определяет его сходимость. Имеет место и обратный результат, а именно: всякую последовательность можно рассматривать как последовательность частичных сумм некоторого ряда. Действительно, если (6„)— некоторая последовательность, то с ней можно связать ряд ~" а„, полагая ас — — 6с и а„ас — — 6».ы — 6„при и > 1.
Лекция 2 э 2. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Определение 1. Ряд 2;а„яазывается рядом с неотрипательными членамн, если пря всех и имеем а„> О. Ряды с неотрицательными членами — это простейший тип числовых рядов. Их свойства используют при изучении рядов общего вида, и поэтому изложение теории рядов обычно начинают имепво с рядов с иеотрицательиыми членами. Для общего члена такого ряда будем преимущественно использовать обозначение р„(вместо а„). В основном иас будут интересовать вопросы сходимости этих рядов. Т е о р е м а 1. Для сходямости ряда 2',р„, где р„> О пря всех и, пеобходима я достаточна ограниченность последовательяости его частичных сумм.
,7 о к а з а ш е л ь с т в о. Пусть в„— и-я частичная сумма ряда 2,'р„. Поскольку р„> О, имеем, что последовательность (в») ие убывает. Теперь требуемый результат вытекает из критерия Вейерштрасса для сходимости монотоииой последовательности. Доказательство закончено. Пример. Пусть Ь„-+ +ос и (Ь„) ие убывает и положительна. Тогда ряд 2 (Ь»+~ — Ь„) расходится, а ряд ~ ~~~- — ~-' — ) сходится.
Действительно, для частичных сумм о„и 1» этих рядов имеем 1 1 1 о» = Ь»+~ Ь» "++со~ 1» = — — — < —. Ь, Ь„+, Ь, Теперь требуемый результат вытекает из теоремы 1. Т е о р е м а 2 (признак сравнения). Пусть 2 р„ и 2 й„ вЂ” два ряда с яеотрицательвыми членами и пусть, яачяяая с яекоторого по, для всех и > по имеем О < д«< р» Тогда: а) сходямость ряда 2,р„влечет за собой сходимость ряда 2 ,'о»; 6) из расходямостя ряда ~', а» следует расходимость ряда ~ р„. Д о к а з а т е л ь с и в о.
Без нарушения сходимости можио отбросить первые по членов каждого ряда. При всех и > по полагаем » » о»= ~' рп~1»= Х~' Чт. из»»а+! лз»»»+1 Тогда для любого п > по имеем О < 1„< зп. В случае а) последовательность (зп) ограничена, следовательно, и )»») тоже ограничена и РЯд 2а„сходитсЯ. В слУчае б) последовательность 2» -+ +оо, поэтому з„— 1+ос, т.е. ряд ) р„расходится. Теорема доказана. Определение 2. Ряд 2, р„в теореме 3 называется мажорантой для ряда ~ о„, а ряд ~ а„— мииорантой для ряда Яр„. Говорят е»де, что РЯД 2 Рп мажоРиРУет РЯД Я а», а послеДний, в свою очередь, его мииорирует. Аналогичное определение имеет место и для неотрицательных числовых последовательностей. Схема применения признака сравнения состоит в подборе подходящей мажоранты для доказательства сходимости ряда или миноранты для доказательства его расходимости.
Обычно в качестве мажоранты и миноранты используются ряды с обшим членом более простого вида, чем у исходного ряда, либо ряды общеизвестные, например гармонический ряд, геометрическая прогрессия и т.д. Пример. (Признак разрежения Коши). Если последовательность рп > О НЕ ВОЗраСтаЕт, та рядЫ 2 , 'р„н 2 2" р2» СХОдИтСя И раСХОдятСя »»1 2»1 одновременно. ,7 О К а З а т Е Л Ь С Я» Е О. ПОСКОЛЬКУ Рп > О, ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ частичных сумм ряда 2', рп не убывает, а любая ее подпоследовательность зп, сходится и расходится одновременно с зп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
