Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Следовательно, Я(а) — компакт, а потому на множестве Я(а) второй дифференциал как функция от приращения Ьх достигает своего минимума т, т.е. найдется вектор еа, )ее) = 1 такой, что Ыту(х)~ = т >О, Заметим, что для любого вектора Ьх,'Ьх = (Ьх)е, )е) = 1, имеем с1 ~(х)~ = )Ьх( й 7(х)~ По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано получим Ьд(х) = ф(а) + -с(ту(а) + оосъх)т) > -/Ьх)тт(1+ о(1)), 1 2 2 т.е.
найдется е > О, такое, что для любой точки х Е 0(а,г) выполняется неравенство Ь7(х) > О. Первый пункт рассмотрен: Пункт 2) рассматривается аналогично. Перейдем к третьему пункту. В силу неопределенности квадратичной формы И~у(а) получим т < 0<М, где М = эпр й г'(а), т = шГ И у(а), (ащ=1 )ащж1 зз1 причем величина М достигается на векторе еы а величина га — на векторе ез. Тогда функция д1 (г) = у(а+1е1) при 1 = О имеет локальный максимум, а функция дт(8) = у(а+1ет) — локальный минимум, а сама функция у(х) в любой окрестности точки а принимает значения, как большие г(а), так и меньшие 1(а), т.е. точка а не является точкой локального экстремума. Теорема 2 доказана.
з 9. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ Пусть заданы точка (а,6) = (аы...,а„мЬ) е й", некоторая ее е-окрестность и множество точек, принадлежащих этой е-окрестности и удовлетворяющих уравнению )(х,у) = О. Определение 1. Функция у(х), зависящая от (и — 1)-й переменной й = (хм..., х„~) и заданнан в некоторой Е-окрестности точки а, называется неявной функпней, соответствующей уравнению у(х, у) = О, если для любой точки х из этой 6-окрестиостя ямеет место равенство У(х,р(х)) = О. Определение 2. Функция у(х) называется гладкой в области Й С м", если для любой точки и б Й она является днфференцируемой н ее частные производные непрерывны.
Докажем теперь теорему о неявной функции. Т е о р е м а (теорема о неявной функции). Пусть: Ц функция )(х,у) непрерывна в некоторой е-окрестности Й точки (а, Ь) б' Кт; 2) т(а,6) = О', 3) для любоМ точки (*,у) Е Й частные производные -~ и Т~~ являются непрерывными функциями; 4) -ф-) > О. Тогда существует единственная функция у = р(х), определенная в некоторой б-окрестности точки а, такая, что: 1) 97(а) = Ь; 2) для любой точки х, принадлежащей Ь-окрестности, имеет место равенство у(х,у(х)) = О; Более того, оказывается, что эта фувкидя р(х) является гладкой, прн чем Д (х, у) /„ р'(х) =— "э( 'у))т=т( ) ззт Д о к а з а я1 е л ь с т в о. Так как бо(х, у) — непрерывна на П и ~„'(а,Ь) > О, то существует замкнутый, квадрат К Е П с центром в точке (а,6) и со сторонами, параллельными осям координат, длины 2И, внутри которого минимальное значение ~„'(х,у) равно т > О.
В силу того,что уо(х,у) > О, функцяя у(а,у) возрастает. Далее,так как у(а,Ь) = О, то у(а,Ь + И) > 0 и у(а,Ь вЂ” И) < О. В силу непрерывности функции у(х,у) существует число б > 0 такое, что для любого значения х Е [а — б, а+ б) томеем у(х, Ь+ И) > 0 и у'(х, Ь вЂ” И) < О. Отсюда следует, что на отрезке, соединяющем точки А1 = А1(х) = = (х, Ь-и) и Ао = Ао(х) = (х, Ь+ И), монотонная функция д(у) = У(х, у) обращается в нуль только.в одной точке у,.
Кюкдой точке х Е [а — б,а + б) поставим в соответствие точку у,. Оно определяет функцию у = у(х) = уо, для которой 1(х,~р(х)) = 1(х,ух) = О, при атом из равенства у(а, Ь) = 0 имеем Р(а) = у, = Ь. Функция Р(х) и является искомой. Надо только доказать, что у = 1о(х) дифференцируема внутри интервала (а — б,а+б), причем У.'(х, Р(х)) У„'(х,о (х)) Докажем сначала непрерывность у(х). Пусть точки х и хо принадлежат интервалу (а — б, а+б). Покажем, что Ьу(хо) = 1о(х) — Р(хо) -+ 0 при Ьх = х — хо -+ О.
Положим у Р(х) уо 'Р(хо) оку — ~Р(х). Имеем У(х,у) = У(хо,уо) = О. Следовательно, для функции д(1) = у(хо +1охх, уо+ соху) справедливы равенства д(0) = д(1) = О. Функция д(1) при любом $ е [0,1) имеет производную д'(4) = У,(хо+1охх,уо+1ЬУ)Ьх+Уо(хо+Гаях,уо+гоху)ЬУ. По теореме Ролля существует число В Е (0,1) такое, что д'(В) = О. Отсюда получим ~ю У.'Ы) с~х ~„' ~ф) где б = (хо+ В0х, уо + Воъу).
Следовательно, — ~ < —, М = так[у,'(х, у)[, т = пип [У'(х, у)[ > О, Ьу~ М ззз т.е. величина дк — ограничена. Поэтому имеем, что Ьу = б х.дд -+ 0 д при гдх -+ О, т.е. ~р(х) является непрерывной функцией. Кроме того, так как при сьх -+ 0 имеем, что Ьу -+ О, то б -+ (хо,уо). Далее, в силу непрерывности частных производных у,' и ~„' > О получим > . бьу У«(х~у))у=и!«! <р'(х) = !пп — =— с бхх 7у(х,у)~ < ! Теорема доказана. Замечания. 1.
Случай Уу(х, у) ( 0 сводится к рассмотренному заменой функции у ва у = — У. 2. График функции у = р(х) является частью линии уровня х = 0 для поверхностн х = у(х,у). С л е д с т в и е (общая теорема о неявной функцин). Пусть: !) функция у(х,у) яепрерывна в некоторой е-окрестности Й точки (а,Ь) = (ам...,а„г,Ь) Е Й~; 2) У(а,Ь)=0; 3) для любой точки (й, у) Е П частные производные — ~,..., у~~б— и -~~ являются непрерывными фувкцнямя; 4) В байь~ > 0 Тогда существует единственная функция у = уэ(х), определенная в некоторой б-окрестности точки а такая, что: !) гр(а) = Ь; 2) для любой точки й, принадлежащей б-окрестности, имеет место равенство Дх, р(х)) = О; 3) функция р(х) является гладкой, причем У.'.(* у)~„«,<,! ~о' (х) =— "( 'у)~у=у(э) .,~7 о к а э а т е л ь с т э о, по существу, дословно совпадает с доказательством теоремы.
Надо только вместо точек (а,6 х 6) рассмотреть точки (а,бх 6), а вместо интервала (а — б,а+ б) — шар 0(а, б). В.качестве приложения предыдущей теоремы рассмотрим задачу об арнфметнческнх свойствах неявных функций, представимых степенными рядами. Приводимый здесь результат является частным случаем одной теоремы Эйзенштейна. Т е о р е м а 2. Пусть задано алгебраическое уравнение г (х,у) = 0 с целымя коэффициентами, причем г"(0,0) = 0 и Р'„'(0,0) ф О. Пусть также степенной ряд у = у(х) = 2 а„х" является решением этого «=0 ЗЗВ уравнения, т.е. у = у(х) — алгебраическая функция.
Пусть, далее, коэффнцяенты ак, и > О, — рациональные числа. Тогда существует такое целое число 1, что при замене х на 1х коэффициенты степенного ряда, получившегося нз ряда у = у(х), будут целыми числами, за исключением, быть может, ао. ,7 о к а з а ш е л ь с тп в о. В силу теоремы о неявной функции существует единственная функция уо — — уо(х), удовлетворяющая уравнению Р(х,у) = 0 в некоторой окрестности точки (0,0). Следовательно, зта функция совпадает со степенным рядом у = у(х). Запишем многочлен Р(х,у) в виде Р'(х,у) = Ро+ Р1у+.
+ Р у где Ро — — Ро(х),...,Р,„= Р (х) — многочлены от переменной х. Так как Р(0,0) =- О, то Ро(0) = О. Из условия Р„'(О, 0) ф 0 получим: Р1(0) ф 0 Представим многочлены Ро — — Ро(х),...,Р,„= Р„,(х) в следующей форме: Ро — Уох+ Ь~х + Р =у +б *+..., у,~О, Р =у +Ь х+., Положим теперь < х — у21 у=у|и, где 1 и и — новые переменные. Сократим равенство Р(у~«1,уга) на у1«.
Получим 'С»о1+ Но1 + + (1+ 011+ НъР +...)в+ (0т + Нд~1+...)и = О, где 0о Но,...,быНп ° °,С,о, Н„„... — целые числа. Из последнего уравнения имеем г»о1+ Но1 + б +Н ь+... ит 1+ П,1+ Н,1«+... 1+а Ь+Н1 +... Далее при )») ( 1 воспользуемся равенством 1 — = 1 — «+» — ° + (-1)" »" +... 1+« Тогда предыдущее выражение для величины и принимает вид: и = (А11+А«М~+'...) + (Во+ В11+...)из+.... ззо Будем искать функцию и = и11) в следующей форме: и = т11+ тз1 + тз1 +. Коэффициенты ты тз,тз,... тогда определяются из равенств т1 =Ам тз = Аг+ Вотм 3 тз = А. + 2В~~~~~+ В1т Отсюда следует, что числа тпм тз, тз, ...
— целые. Теорема 2 доказана. В частности, из последней теоремы следует, что функции ь ее = ~~~ —; 1п(1+х) = ~~~ ( — 1)" а=о а=1 не являются алгебраическими. Лендмя 2б 6 10. СИСТЕМА НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ Рассмотрим отображение У: Н" -э И: Ий) = (Л(й)," г (й)) Пусть все функции )с(й),., ., у (й) являются гладкими в е-окрестности 0(а,г) точки а. Тогда такое отображение называется гладким. Определение 1. Пусть функции (с (й),, (ь(й) дифференцируемы в точке й б ЬГ.
Тогда матрица имеюсцая т строк и п столбцов, называется матридей Якоби ото- бражения у(й) = (ус(й),..., у„,(й)). Строки матрицы Якоби представляют собой градиенты функций ,(л (й), /с = 1,..., т. Пусть т < и. Рассмотрим какие-либо сл различных столбцов матрицы Х Они образуют подматрицу 1(6ы..., 6,„) порядка т х тп матрицы 1, где Ьы..., /с — номера выбранных столбцов, Определение 2. Определитель Н.матрицы,У(6ы...,6,„) называется якобианом (одним из ялобианов) отображения ((й) и обозначается так: 0(Л, ",У-) В(ял, ,ял„) Определение 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
