Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 60
Текст из файла (страница 60)
При всяком и член ряда 6„ в зависимости от своего знака попадает в одну нз сумм Р нли Я„,. Следовательно, мы имеем одно из равенств: 6„= рь или 6„= -и. По построению ряда 2,6„величина г„меняет знак в том случае, если 6„= рь или 6„= -д~„. Тогда в обоих случаях имеет место оценка )г„~ = ~з„— А) < ~6„1 Для всех прочих п при добавлении очередного слагаемого ~г„~ значения частичной суммы з„от числа А убывает, позтому тогда справедливо неравенство ~г„! < (г„1~. Следовательно, всегда имеем )з» вЂ” А~ < рь +д~ +щ Здесь номер гп можно рассматривать как монотонно стремящуюся к бесконечности функцию от в, и поэтому для последовательности И„, где о'„= рь +д1 +щ„„в силу того, что рь и е1 -+ О при Ь и ! -+ сю, имеем 4„-+ О при и -+ оо.
Отсюда при и -+ оо окончательно получим г„= з„— А -+ О и з„— > А. Теорема- 2 доказана. Лекция 6 Ь 7. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ Мы уже встречались с некоторыми действиями над числовыми рядами такими, как почленное сложение, одновременное умножение всех членов ряда на одно и то же число, перестановки членов ряда. Все эти действия будем называть арифметическими операциями над рядами. Кроме того, здесь мы рассмотрим и другие математические операции, а именно: расстановку и раскрытие скобок, а также операцию умножении рядов. Начнем с наиболее простого — с расстановки скобок. Утверждение 1. Если в сходягдемся ряде ~а„некоторые группы слагаемых заключить в скобки, то его сходимость не нарушится и сумма не изменится.
Д о к а з а 7п е л ь с т е о. Любая формальная расстановка скобок в бесконечной сумме ~ ,'а„приводит к новой бесконечной сумме вида (а7+. + ах,) +(ак,+1+. +ах,) + . = 67+ Ьг+ где при з = О, 1,... имеем Ь, = аь,,+1+ .. + аь, и Ьо = О. Очевидно, что последовательность (В,) частичных сумм ряда ~ Ь, не что иное, как подпоследовательность (Аь,) частичных сумм ряда а„. Но так как всякая подпоследовательность сходится к тому же пределу, что и сама последовательность, то для Аь -+ А имеем, что В, = Аь, -э А при з -+ оо, .что и требовалось доказать.
Пример сходящегося ряда (1 — 1) + (1 — 1) + = О+ О+ = О показывает, что обратное утверждение не всегда справедливо. Однако имеет место, например, следующее утверждение. Утверждение 2. Пусть ряд, составленный из скобок, сходится к сумме В, точнее, пусть ~,6„= В, где Ь„= (а„'7+ + а„ь), причем й фиксировано, и пусть каждая из й последовательностей является бесконечно малой, т.е. а„, -+ О при и' — ~ оо и всех з = О,..., 6, Тогда в риде ~ 6„можно раскрыть скобки. Другими словами, ряд ам+ам+ +ам+ам+ = а|+Но+ . + ах+ИЬЫ+ где 4,1„1)+, — — а„„сходится, причем к той же самой сумме, что и ряд ~6„. Д о к а .з а п7 е л ь с 7а е о.
Оно тоже очень просто вытекает из свойств сходящихся последовательностей. Действительно, для 376 частичных сумм Р„и В рядов 2,!! и ),Ь при и = йп! имеем равенство Р» = В -» В при т -+ оо. Заметим, что разность о„ = Р„ — Р»,а при т = ~п/Ь] и а = и — Ьт равна оп — — !1»п,+!+ .. + !1»,а+, — — а,„!+ .+ а„,, А так как а,„, при любом а = 1,...,/с — бесконечно малая величина при гп -+ оо, то поскольку т -+ оо при и -+ со, имеем )оа) < (а~ !!!+ . + (а~и з ! < 1ап~!1+ + )альп!-+ О, а„-+ О, Р„= Р» + о„-+ В+ О = В, Утверждение доказано. Заметим, что если в некоторых скобках содержится менее Ь слагаемых, то можно подразумевать вместо отсутствующих слагаемых нули. Другими словами, доказанное утверждение справедливо и в этом, несколько более общем, случае.
Более сложным является вопрос о произведении числовых рядов. Нам потребуются новые определения. Определение 1. Занумеруем каким-либо образом счетное множество пар (т, и) натуральных чисел т и и, т.е. поставим каждой паре в соответствие свой номер й. Тем самым мы получим две последовательности: т = т(Ь) и п = п(Ь), принимающие натуральные значения. Такую нумерацию будем называть линейной нумерапией пар.
Если теперь 2,а„и 2,6„— два числовых ряда и Л» = а 1»16„1»1, то ряд ~', Ь» будем называть их произведением, отвечаюшим данной ли»=1 нейной нумерадии пар индексов (т,п) или данной'перестановке попарзых произведений а 6„. Задача (теорема Штейница). Пусть (с„) — последовательность, составленная из векторов Ь-мерного пространства Р!» (Ь > 2). Пусть для любого вектора т' б Рт~, у' ф О, ряд 2 а„, где а„= (,с„,Д„) скалярное произведение векторов с„и у, условно сходится. Требуется доказать, что для всех 6 б Р» существует перестановка гл с„1„; такая, что !пп 2 с„1„1 = Ь. е-!м Определение 2.
Ряд ~ Ь„, где Ь„= ~ а»6„»+!, называетсн ь=! »=! формальным произведением !или просто произведением) двух рядов 2 а„и 2 6„. Т е о р е м а 1. Если оба ряда ~ а„и ~ Ь„абсолютно сходятся, причем ~'а„= А, а ~'6„= В, то при любой перестановке попарных произведений их членов ряд ~ , 'Ьй абсолютно сходится к сумме АВ. й=1 „7 о к а з а я! е л ь с т в о.
Зафиксируем какую-либо перестановку попарных произведений Ь ь» (тп(Ь), п(Ь)). Докажем сначала, что ряд Ь» сходится абсолютно. Пусть Н„' — последовательность частичных сумм ряда ~ ,')Ь»( и пусть г — какой-либо номер. Тогда имеем Н,'. = У /а„,!»!Ь„!й!). й=! Положим !пэ = и!ахто(/с), пэ — — !пахп(6). В этом случае, очевидно, йбс й<г ~э о ьО Н„' = ~~~ (а„,<»>( ~6„<»1) < ~~! 1!ой/ У (Ьй~ < А'В', »=1 й=! где А' = ~ !а„/, В' = ~',!Ь„/. Таким образом, часткчные суммы ряда ~ ~Ь»~ ограничены в совокупности, а это значит, что ряд ~ Ь» абсолютно сходится к некоторой й=! своей сумме Н. Но тогда при любой перестановке его членов сходимость не нарушается и сумма не изменяется.
Переставим эти члены так, чтобы при любом Ь = и! частичная сумма Н» имела вид Нй — — (а!+...+аь)(Ь!+ ".+Ьь) = А„В„Тогда при о — й оо будем иметь Н„~ -й АВ. В силу сходимости ряда ~ Л» последовательность Н» его частичных сумм сходится к Н, и так как Н„ подпоследовательность Нй, то Н = АВ. Итак, если абсолютно сходятся оба ряда ~',а„и ~ 6„, то сумма произведений 'рядов равна произведению нх сумм. В общей ситуации на такое равенство рассчитывать не приходится. Действительно, если ряд ~ а„сходится условно, а в качестве ~" 6„взят простейший ряд вида ~ 6„= 1+ 0+ О+, то, исходя из определения, можно убедиться, что их произведение, отвечающее некоторой перестановке пар (т,п), дает ряд ~,с„, являющийся некоторой перестановкой ряда ~,а„.
Но согласно теореме Римана при перестановках такого ряда его сумма может измениться. Естественно, что прн определенных ограничениях утверждение предыдущей теоремы допускает различные обобщения. Например, справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 2 (теорема Мертенса). Пусть ряд ~ а„абсолютно сходится к сумме А и ряд ~;Ь„условно сходится к сумме В. Тогда формальное произведение ~', Ь„этих рядов сходится к сумме АВ.
3Т8 Я о к а з а ю е л ь с в» в о. Пусть Ни — последовательность частичных сумм ряда ~ Ьи. Имеем п »-к+1 ак ~ 6!. Нп =,~ /»т =,~ ~ акбт-к~-! = »и»»1 к»! Обозначим / = пг — 6+1. Очевидно, имеем 1 < 6 < и» < и, откуда получим 1 < гп — /с+ 1 = 1 <» — 6+ 1. Следовательно, и и-К+! и Ни = ~ ак ~~» 6! = ~~» акВ» к+!, Здесь Ви к+! — соответствуюпкая частичная сумма ряда ~ 6». Поскольку ряд ~ 6» сходится к сумме В, разность //! =  — В! является его остатком /»! = ~', 6», который стремится к нулю с и»а+! ростом /.
Поэтому, обозначив через Аи я аи остаток и частичную сумму ряда ~,'а„, будем иметь Ни = ~~' акВп-к+! = )' ак! — /»»-к+!) = »О а!, — ~ ак// к+! = А — о»В — ~~» акб„кк!. к=! «»1 к=! Осталось показать, что если Ни = А — Ни, то Н -+ О при и -+ оо. Но ои -+ О, поэтому Н„' = а»В -+ О при и -+ со. Рассмотрим теперь » сумму Н = ~ ак/» -к+»! и»1 и )Н'„') « ,'~ ,'!ак! !// — к+! 1 = »=! Е» Е» (ак! )/уд к+!)+ ~~~, Ы !А-к+»1= г'»+~! к<»/г «/!<к<и ~г < ~ )ак!.)/г -к+А < ~~' )ак!с< с ~~! )ак! = сТ.
»/г<!»<» и/2<К <и и/2<К<и 379 Так как //к -+ О, то при некотором с > О для всех 6 имеем неравенство )/гк! < с, откуда Но ряд 2 )а„~ сходится, поэтому, согласно критерию Коши, при всяком е > О и достаточно большом и > пе(е) справедливо неравенство Т < е, откуда вытекает, что Ез < сс.
С другой стороны, так как Д -+ О, то при достаточно большом 1 = и — а + 1 > п~(с) имеем ф( < е. А зто значит, что если и/2 > п~(е) и а < п/2, то )4 -ьч.~) < е, откуда Е~ = ~~~, )аь). ф -ь+~( < е ~~' (аь! < еА', ь<. д ь< уз где А' — сумма сходящегося ряда ~', ~аь(. Таким образом, при а=1 п > 2п~(с) + по(е) имеем В'„' < еА' + ес = е(А' + с). В силу произвольности с > О это означает, что В'„' -+ О при и -+ со. -Но тогда и В„= В'„+В„" -+ О, откуда Н„-+ АВ. Теорема 2 доказана. Леипия Т г 8. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ РЯДЫ Понятие произведения двух рядов можно рассматривать как пример более обшего понятия двойных рядов, изучению которых посвяшен этот параграф.
Определение 1. Числовая функция а(т, и) = а„, „= а двух натуральных аргументов и! и и называется двойной последовательностью. Для таких последовательностей мы также будем использовать обозначение (а„,„), Определение 2. Двойным рядом ат,» = „)' а«1,» = Х~' а«1,» «1=!»=1 называется формальная бесконечная сумма В вида 5 = а!! + а!г+ а!з + . + аг! + агг + агз+ + аз! + азг+ азз+ Определение 3. Конечная двойная сумма .4т,» — ~~~ ~~~ ам = а11 + +а!» + ' + ам! + ' ' '+ ам» Ь»1 1=1 называется (прямоугольной) частичной суммой двойного ряда вида ~ а „.
Исходная последовательность а „называется обпгим членом ряда. Далее нам необходимо дать определение сходимости двойного ряда как предела частичных сумм А Определение 4. Число ! называется пределом двойной последовательности (В „) (илл двойным пределом), если для всякого 8 ) 0 найдутся числа тэ(с) и пэ(8) такие, что для всех пар (пг,п) с условием т ) тэ(с) н и ) пс(к) выполнены неравенства (В л — !)<8.
Понятие предела двойной последовательности полностью согласуется с обшим определением предела функции по базе В. В данном 381 случае база В представляет собоЯ совокупность окончаний Ь каждое из которых образовано множеством пар (т,п) натуральных чисел т и и с условием т > та,п > пе. Предел А = 1ппА „по в этой базе и есть указаииыЯ выше двойной предел. Для самой базы В будем использовать обозначение т -+ оо, и -+ оо. Также будем писать: 1пп А,„и = А. т чьи ичоо Для двойных пределов выполнены все свойства предела по базе множеств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
