Главная » Просмотр файлов » Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу

Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 60

Файл №940510 Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу ВШ (1999)) 60 страницаАрхипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510) страница 602013-09-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

При всяком и член ряда 6„ в зависимости от своего знака попадает в одну нз сумм Р нли Я„,. Следовательно, мы имеем одно из равенств: 6„= рь или 6„= -и. По построению ряда 2,6„величина г„меняет знак в том случае, если 6„= рь или 6„= -д~„. Тогда в обоих случаях имеет место оценка )г„~ = ~з„— А) < ~6„1 Для всех прочих п при добавлении очередного слагаемого ~г„~ значения частичной суммы з„от числа А убывает, позтому тогда справедливо неравенство ~г„! < (г„1~. Следовательно, всегда имеем )з» вЂ” А~ < рь +д~ +щ Здесь номер гп можно рассматривать как монотонно стремящуюся к бесконечности функцию от в, и поэтому для последовательности И„, где о'„= рь +д1 +щ„„в силу того, что рь и е1 -+ О при Ь и ! -+ сю, имеем 4„-+ О при и -+ оо.

Отсюда при и -+ оо окончательно получим г„= з„— А -+ О и з„— > А. Теорема- 2 доказана. Лекция 6 Ь 7. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ Мы уже встречались с некоторыми действиями над числовыми рядами такими, как почленное сложение, одновременное умножение всех членов ряда на одно и то же число, перестановки членов ряда. Все эти действия будем называть арифметическими операциями над рядами. Кроме того, здесь мы рассмотрим и другие математические операции, а именно: расстановку и раскрытие скобок, а также операцию умножении рядов. Начнем с наиболее простого — с расстановки скобок. Утверждение 1. Если в сходягдемся ряде ~а„некоторые группы слагаемых заключить в скобки, то его сходимость не нарушится и сумма не изменится.

Д о к а з а 7п е л ь с т е о. Любая формальная расстановка скобок в бесконечной сумме ~ ,'а„приводит к новой бесконечной сумме вида (а7+. + ах,) +(ак,+1+. +ах,) + . = 67+ Ьг+ где при з = О, 1,... имеем Ь, = аь,,+1+ .. + аь, и Ьо = О. Очевидно, что последовательность (В,) частичных сумм ряда ~ Ь, не что иное, как подпоследовательность (Аь,) частичных сумм ряда а„. Но так как всякая подпоследовательность сходится к тому же пределу, что и сама последовательность, то для Аь -+ А имеем, что В, = Аь, -э А при з -+ оо, .что и требовалось доказать.

Пример сходящегося ряда (1 — 1) + (1 — 1) + = О+ О+ = О показывает, что обратное утверждение не всегда справедливо. Однако имеет место, например, следующее утверждение. Утверждение 2. Пусть ряд, составленный из скобок, сходится к сумме В, точнее, пусть ~,6„= В, где Ь„= (а„'7+ + а„ь), причем й фиксировано, и пусть каждая из й последовательностей является бесконечно малой, т.е. а„, -+ О при и' — ~ оо и всех з = О,..., 6, Тогда в риде ~ 6„можно раскрыть скобки. Другими словами, ряд ам+ам+ +ам+ам+ = а|+Но+ . + ах+ИЬЫ+ где 4,1„1)+, — — а„„сходится, причем к той же самой сумме, что и ряд ~6„. Д о к а .з а п7 е л ь с 7а е о.

Оно тоже очень просто вытекает из свойств сходящихся последовательностей. Действительно, для 376 частичных сумм Р„и В рядов 2,!! и ),Ь при и = йп! имеем равенство Р» = В -» В при т -+ оо. Заметим, что разность о„ = Р„ — Р»,а при т = ~п/Ь] и а = и — Ьт равна оп — — !1»п,+!+ .. + !1»,а+, — — а,„!+ .+ а„,, А так как а,„, при любом а = 1,...,/с — бесконечно малая величина при гп -+ оо, то поскольку т -+ оо при и -+ со, имеем )оа) < (а~ !!!+ . + (а~и з ! < 1ап~!1+ + )альп!-+ О, а„-+ О, Р„= Р» + о„-+ В+ О = В, Утверждение доказано. Заметим, что если в некоторых скобках содержится менее Ь слагаемых, то можно подразумевать вместо отсутствующих слагаемых нули. Другими словами, доказанное утверждение справедливо и в этом, несколько более общем, случае.

Более сложным является вопрос о произведении числовых рядов. Нам потребуются новые определения. Определение 1. Занумеруем каким-либо образом счетное множество пар (т, и) натуральных чисел т и и, т.е. поставим каждой паре в соответствие свой номер й. Тем самым мы получим две последовательности: т = т(Ь) и п = п(Ь), принимающие натуральные значения. Такую нумерацию будем называть линейной нумерапией пар.

Если теперь 2,а„и 2,6„— два числовых ряда и Л» = а 1»16„1»1, то ряд ~', Ь» будем называть их произведением, отвечаюшим данной ли»=1 нейной нумерадии пар индексов (т,п) или данной'перестановке попарзых произведений а 6„. Задача (теорема Штейница). Пусть (с„) — последовательность, составленная из векторов Ь-мерного пространства Р!» (Ь > 2). Пусть для любого вектора т' б Рт~, у' ф О, ряд 2 а„, где а„= (,с„,Д„) скалярное произведение векторов с„и у, условно сходится. Требуется доказать, что для всех 6 б Р» существует перестановка гл с„1„; такая, что !пп 2 с„1„1 = Ь. е-!м Определение 2.

Ряд ~ Ь„, где Ь„= ~ а»6„»+!, называетсн ь=! »=! формальным произведением !или просто произведением) двух рядов 2 а„и 2 6„. Т е о р е м а 1. Если оба ряда ~ а„и ~ Ь„абсолютно сходятся, причем ~'а„= А, а ~'6„= В, то при любой перестановке попарных произведений их членов ряд ~ , 'Ьй абсолютно сходится к сумме АВ. й=1 „7 о к а з а я! е л ь с т в о.

Зафиксируем какую-либо перестановку попарных произведений Ь ь» (тп(Ь), п(Ь)). Докажем сначала, что ряд Ь» сходится абсолютно. Пусть Н„' — последовательность частичных сумм ряда ~ ,')Ь»( и пусть г — какой-либо номер. Тогда имеем Н,'. = У /а„,!»!Ь„!й!). й=! Положим !пэ = и!ахто(/с), пэ — — !пахп(6). В этом случае, очевидно, йбс й<г ~э о ьО Н„' = ~~~ (а„,<»>( ~6„<»1) < ~~! 1!ой/ У (Ьй~ < А'В', »=1 й=! где А' = ~ !а„/, В' = ~',!Ь„/. Таким образом, часткчные суммы ряда ~ ~Ь»~ ограничены в совокупности, а это значит, что ряд ~ Ь» абсолютно сходится к некоторой й=! своей сумме Н. Но тогда при любой перестановке его членов сходимость не нарушается и сумма не изменяется.

Переставим эти члены так, чтобы при любом Ь = и! частичная сумма Н» имела вид Нй — — (а!+...+аь)(Ь!+ ".+Ьь) = А„В„Тогда при о — й оо будем иметь Н„~ -й АВ. В силу сходимости ряда ~ Л» последовательность Н» его частичных сумм сходится к Н, и так как Н„ подпоследовательность Нй, то Н = АВ. Итак, если абсолютно сходятся оба ряда ~',а„и ~ 6„, то сумма произведений 'рядов равна произведению нх сумм. В общей ситуации на такое равенство рассчитывать не приходится. Действительно, если ряд ~ а„сходится условно, а в качестве ~" 6„взят простейший ряд вида ~ 6„= 1+ 0+ О+, то, исходя из определения, можно убедиться, что их произведение, отвечающее некоторой перестановке пар (т,п), дает ряд ~,с„, являющийся некоторой перестановкой ряда ~,а„.

Но согласно теореме Римана при перестановках такого ряда его сумма может измениться. Естественно, что прн определенных ограничениях утверждение предыдущей теоремы допускает различные обобщения. Например, справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 2 (теорема Мертенса). Пусть ряд ~ а„абсолютно сходится к сумме А и ряд ~;Ь„условно сходится к сумме В. Тогда формальное произведение ~', Ь„этих рядов сходится к сумме АВ.

3Т8 Я о к а з а ю е л ь с в» в о. Пусть Ни — последовательность частичных сумм ряда ~ Ьи. Имеем п »-к+1 ак ~ 6!. Нп =,~ /»т =,~ ~ акбт-к~-! = »и»»1 к»! Обозначим / = пг — 6+1. Очевидно, имеем 1 < 6 < и» < и, откуда получим 1 < гп — /с+ 1 = 1 <» — 6+ 1. Следовательно, и и-К+! и Ни = ~ ак ~~» 6! = ~~» акВ» к+!, Здесь Ви к+! — соответствуюпкая частичная сумма ряда ~ 6». Поскольку ряд ~ 6» сходится к сумме В, разность //! =  — В! является его остатком /»! = ~', 6», который стремится к нулю с и»а+! ростом /.

Поэтому, обозначив через Аи я аи остаток и частичную сумму ряда ~,'а„, будем иметь Ни = ~~' акВп-к+! = )' ак! — /»»-к+!) = »О а!, — ~ ак// к+! = А — о»В — ~~» акб„кк!. к=! «»1 к=! Осталось показать, что если Ни = А — Ни, то Н -+ О при и -+ оо. Но ои -+ О, поэтому Н„' = а»В -+ О при и -+ со. Рассмотрим теперь » сумму Н = ~ ак/» -к+»! и»1 и )Н'„') « ,'~ ,'!ак! !// — к+! 1 = »=! Е» Е» (ак! )/уд к+!)+ ~~~, Ы !А-к+»1= г'»+~! к<»/г «/!<к<и ~г < ~ )ак!.)/г -к+А < ~~' )ак!с< с ~~! )ак! = сТ.

»/г<!»<» и/2<К <и и/2<К<и 379 Так как //к -+ О, то при некотором с > О для всех 6 имеем неравенство )/гк! < с, откуда Но ряд 2 )а„~ сходится, поэтому, согласно критерию Коши, при всяком е > О и достаточно большом и > пе(е) справедливо неравенство Т < е, откуда вытекает, что Ез < сс.

С другой стороны, так как Д -+ О, то при достаточно большом 1 = и — а + 1 > п~(с) имеем ф( < е. А зто значит, что если и/2 > п~(е) и а < п/2, то )4 -ьч.~) < е, откуда Е~ = ~~~, )аь). ф -ь+~( < е ~~' (аь! < еА', ь<. д ь< уз где А' — сумма сходящегося ряда ~', ~аь(. Таким образом, при а=1 п > 2п~(с) + по(е) имеем В'„' < еА' + ес = е(А' + с). В силу произвольности с > О это означает, что В'„' -+ О при и -+ со. -Но тогда и В„= В'„+В„" -+ О, откуда Н„-+ АВ. Теорема 2 доказана. Леипия Т г 8. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ РЯДЫ Понятие произведения двух рядов можно рассматривать как пример более обшего понятия двойных рядов, изучению которых посвяшен этот параграф.

Определение 1. Числовая функция а(т, и) = а„, „= а двух натуральных аргументов и! и и называется двойной последовательностью. Для таких последовательностей мы также будем использовать обозначение (а„,„), Определение 2. Двойным рядом ат,» = „)' а«1,» = Х~' а«1,» «1=!»=1 называется формальная бесконечная сумма В вида 5 = а!! + а!г+ а!з + . + аг! + агг + агз+ + аз! + азг+ азз+ Определение 3. Конечная двойная сумма .4т,» — ~~~ ~~~ ам = а11 + +а!» + ' + ам! + ' ' '+ ам» Ь»1 1=1 называется (прямоугольной) частичной суммой двойного ряда вида ~ а „.

Исходная последовательность а „называется обпгим членом ряда. Далее нам необходимо дать определение сходимости двойного ряда как предела частичных сумм А Определение 4. Число ! называется пределом двойной последовательности (В „) (илл двойным пределом), если для всякого 8 ) 0 найдутся числа тэ(с) и пэ(8) такие, что для всех пар (пг,п) с условием т ) тэ(с) н и ) пс(к) выполнены неравенства (В л — !)<8.

Понятие предела двойной последовательности полностью согласуется с обшим определением предела функции по базе В. В данном 381 случае база В представляет собоЯ совокупность окончаний Ь каждое из которых образовано множеством пар (т,п) натуральных чисел т и и с условием т > та,п > пе. Предел А = 1ппА „по в этой базе и есть указаииыЯ выше двойной предел. Для самой базы В будем использовать обозначение т -+ оо, и -+ оо. Также будем писать: 1пп А,„и = А. т чьи ичоо Для двойных пределов выполнены все свойства предела по базе множеств.

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6432
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее