Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 8
Текст из файла (страница 8)
»«о» Д о к а г а т е л ь с т в о. Действительно, при 1 = О имеем ໠— О = а» есть бесконечно малая последовательность, т.е. предел (а„) при п -+ со равен О. Утверждение 3. Если (а») сходится, то ояа ограничена. Д о к а з а ш е л ь с ш в о. Если (а„) сходится, то найдется число 1 такое, что о» = ໠— 1 — бесконечно малая последовательность. Значит, существует с > О такое, что при всех натуральных и имеем !е»! < с.
Но а„= 1+ а„, откуда !а„! = !1+ о«! < !1!+ !о«! < !1!+ с = сы т.е. (а») — ограниченная последовательность, что и требовалось доказать. Утверждение 4. Если !пп а» = 1 н а„ф. О, 1 ф О, то существует «-«оо пс к И, такое, что прн всех п > пс имеем !а»! > !1!/2 /или, что то же самое, 1/!а„! < 2/!1!). Это означает, что последовательность (1/а»), составленная из обратных величин, ограничена. Д о к а э а т е л ь с и е о, В силу условия имеем, что а» = ໠— 1— бесконечно малая последовательность. Тогда вне !1!/2-окрестности нули лежит только конечное число членов последовательности (о„). Пусть пс — самое большое значение номера таких членов; тогда при всех к > по имеем !о»! < !1!/2.
Отсюда при этих п получим (1 = ໠— а») !1! = !໠— о«! < !а»!+ ! — а»! = !а„!+ !а»!. Следовательно, что и требовалось доказать. Утверждение 5. Если ап — г 1ы 6» -+ 12 при п — ~ со, то с» с» а» х Ьп — ~ 12 х12 при и -о со. Другими словами, для сходящихся последовательностей предел их суммы равен сумме их пределов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия имеем о» = ໠— 1ы 4, = 6» — 12 — бесконечно малые последовательности. Следовательно, с» — (1~ ~ 1г) = (а„~ 6») — (!1 + 1г) = о» ~ !г = 7» бесконечно малая последовательность Значит, из определения преде- ла имеем 1пп с» с» 1г А!2, и-ссю что и требовалось доказать. Утверждение 6.
Если а» -+ 1ы 6» -+ !г при и -+ со, то с» = а»6» — г 1112 при и — ~ оо (предел произведения равен произведению пределов). Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем а» = 12+ а», 6» = 12+4„ с» с» а»Ь» = !2!2 + х !г+ !Уп!1+ а»Д = !с!2+ Г». Но 7» — бесконечно малая последовательность, так как она есть сумма трех последовательностей, каждая из которых есть бесконечно малая последовательность.
Отсюда !пп с» = 1212. и-с с» Доказательство закончено. Утвергкдеине. 7. Пусть !пп а» = 1ы !пп Ь» = 1г, 12 ~ О. Тогда и-сюс и-ссю а» 12 !пп — = —, т.е. если предел знаменателя не равен нулю, то предел Ь» 1' отношения равен отношеияю пределов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательности а» с» с» — и Ь„ 11 сг» 11 сгп(2 6»11 7» = с» — — с㻠— !1+оп — ап 12 сгп = 6» !2.
!2 6» 12 Ьп(г Из условия вытекает, что а», 13» есть бесконечно малая последовательность . Нам достаточно доказать, что тоже является бесконечно малая последовательность. Для этого запишем 7 в виде (11 + н»)12 (12 + !Уп)11 и»!2 !У»11 Ь.1, 12 6» ап!г — Р»12 Теперь заметим, что последовательность " " является бес1г конечно малой в силу утверждений 5 и б, а последовательность 1/6» ограничена в силу утверждения 4.
Но тогда по теореме 4 22 последовательность 7» является бесконечно малой. Таким образом, !пп с» = 11/1г, что и требовалось доказать. 40 Пример. Сумма членов бесконечно убивающей геометрической прогрессии. Пусть ви ива+ад+ .. +ааи '. Тогда а а и Яви = ад + . + ад" + ад", ви = 1 — д Так как при (д~ < 1 имеем (д") — бесконечно малая последовательность, то а в= 1пп ви оо и о оо Доказательство закончено.
Заметим, что величину в можно представить в виде а в= 1пп в»= —. и-~сю " ! д где ви = ~ ь ад называется и-й частичной суммой ряда, а величина ги оо в — ви — остатком ряда. 6 4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ Утверждение 1. Пусть 1пп аи = 1; тогда, если для всякого и и-о о» имеет место неравенство аи ) с !или аи > с), то 1 ) с. ДО К а З а т Е Л Ь С П1 Е О.ИЗуСЛОВня ИМЕЕМ, Чта аи= аи — 1 — бесконечно малая последовательность, причем ои = а»в с — 1 1 > с — 1. Если допустить, что с — ! > О, то тогда при в =— 2 получим, что в-окрестность нуля вообще не содержит' ни одной точки последовательности 1о„).
Это противоречит тому, что 1о„) есть бесконечно малая последовательность. Значит, с — 1 < О, ! > с, что и требовалось доказать. Утверждение 2. Пусть 1пп аи = 1; тогда, если аи < с !или аи < с) и-о оо привсехнеИ, то1<с. Д о к а з а т с л ь с т е о, Если 6„= -аи, то 6„-4 -1 при н -+ оо, 6» > — с !или 6» > — с). Тогда из утверждения 1 имеем, что -1 > -с, т.е.
1 < с, что и требовалось доказать. Утверждение 3. Пусть й1п„„аи = 11, 1ппи, 6» = 1ю Тогда: 1) дЛя аи < 6» ИМЕЕМ 11 < 11, 2) дЛя аи < 6» ИМЕЕМ 11 < 1т. Д о к а в а т е л ь с т е о. Рассмотрим си = 6» — аи. По условию с» ) О (или си > О ) прн всех и и си — 1 б = 11 — 11 при и -4 оо. Согласно утверждению 1 в обоих случаях имеем б > О, т.е. 11 > 11, что и требовалось доказать. 41 Утверждение 4, Если (аи) — бесконечно малая последовательность и при всех натуральных и имеем ф„) < ои, то )»« — тоже бесконечно малая последовательность.
УтвеРигдение 5. ПУсть аи < си < 6« длЯ всех и б (с1, и пУсть 1пп„,ю» аи»и 1, 1)гп«,сю 6« = !. Тогда существует предел !пп„, си существует и равен 1. Д о к а з а сп е л ь с пс е о. Из условия следует, что 0< си — аи < Ьи — аи. Но справедливо соотношение (6« — аи) -э О, т.е. Ьи — ои — бесконечно малая последовательность, Но тогда по утверждению 4 (си — аи) — тоже бесконечно малая последовательность, т.е.
(си — аи) -+ О. Следовательно, си = (си — аи) + а„-+ О+! = ! прн и -+ со, что и требовалось доказать. Примеры. 1. Если а > 1, то !пп„Оса = !. Действительно, Оса = 1+ ои, аи > О. Тогда а — 1 а = (1+о«)и > 1+ паи, 0 < ои < —. По утверждению 5 имеем !пп ои»и О, откуда следует, что 1пп ~/а = и-+ ю и-+сю 1. 2. 1пп ~/и = 1. и-+сю Действительно, положим Осй = 1+ ои. Тогда п(п — 1), п(п — 1); !г 2 и = 1+пои+ о~+ . > — о„, О < ои < ))с— По утверждению 5 имеем 1!пс аи п-сю» !пп О'и = 1.
и — с си 3. Пусть !пп аи си а. Тогда и-ссю О, откуда следует, что а1+ .+а« 1пп = а. «-с си и Действительно, пусть 6 = аи — а. Тогда доказать, что Г 6+ +ь1пп «-ссю в 1пп 6« сю О, и достаточно п — с и Д о к а з а т е л ь с пс в о. Из условия следует, что любая е-окрестность нуля вместе с точкой ои содержит и точку )»„, так что вне этой е-окрестности могут находиться 1»«только с такими номерами, для которых )а„~ > е.
Но так как (ои) — бесконечно малая последовательность, то их число конечно, и поэтому (ф„) — тоже бесконечно малая последовательность. Доказательство закончено. Так как (Ьп) — бесконечно малая последовательность, то существуег с > О такое, что при всех и имеем )6»( < с при всех и. Кроме того, для любого е > О существует по = по(е) такое, что при всех и > по справедливо неравенство )6»~ < е. Следовательно, ! Ь! + + Ьп, + Ьп„+1+ + Ьп гпо (и — по)е < — + <2е если только спо/и < е, и > спо/е, т.е. и > шах(по,спо/е).
Отсюда уже легко следует требуемый результат. Доказательство закончено. Т Е О р Е М а 1 (тЕОрЕМа ШтОЛЬца). Пуеть: 1) у»41 > уп > О. 2) !ппп, уп = +оо, 3) существует !пп„; -'„-"~':-*„-а = 1. Тогда существует прсдел Хп 1пп — = 1. " ~с» Фп .Ч о к в з и щ е л ь с щ в о. Из условия теоремы вытекает, что -'лхс:-'а = 1+ а„, где ап — бесконечно малая последовательность. Рекс -Р» Поэтому для всякого е > О существует сЧ = ссС(е) такое, что при всех п > 1Чс имеем )ап) < е/2, Полагая значение номера равным последовательно /1с,..., и, получим следующую систему равенств: хп+1 1усс41 = хп 1уп + а»(у»+1 у»), хсч+1 — 1усч41 = хсч 1уас + ал(ум+1 уч).
Сложим зти равенства: х»+1 — 1У, +1 = хсч — 1увс + ап(У»+1 — У ) + . + а,ч(усч+1 — Увс). Заметим, что все разности вида уье1 — ую й = 1,..., Ф в этом равенстве положительны. Псетому выполняя очевидные арифметические преобразования и переходя к неравенствам, получим М»+1 — 1У +1 ! < 1хос — 1уч!+ ~а»И~У»+1 — У ~+ "+)а.чЬос+1 — усч!, 1Х 41 — 1у 41) < (Х~Ч вЂ” 1УОС(+ (Е/2)(У„41 — уп)+ . +)Е/2((УСЧ+1 — ул), ! хп+1 )хас 1усч ~ е 12»+1 Усч — — 1~< ' +-'и У +1 ~ У +1 2 У»+1 43 Поскольку !1нт у„= +ос, то существует п~ = н~(е), такое, что для »-> оо всех и > п~ справедлива оценка ~ел — !уь ~ е < —.
у+~ 2 Положим но = щах(амХ), Тогда для любого п > п~ будем иметь ею+1 — — ! ~е. Уе+! Следовательно, при п -~ оо имеем е„/у„-~ !. Теорема 1 докачана. Лекпия 7 у 5. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА. ЧИСЛО "е«И ПОСТОЯННАЯ ЭЙЛЕРА Определение 1. Последовательность называется невозрастающей, если х„.!л < х„для всех п б И (обозначение: х«Ц1 неубывающей, если х„.ь~ > х„для всех натуральных п (обозначение: х„7); убывающей, если х««л < х„для всех п б И (обозначение: х„Щ; возрастающей, если х„+~ > х„(обозначение: х„!'Ц. Т е о р е м а 1 (теорема Вейерштрасса). Пусть (а„) — неубывающая и ограниченная сверху последовательность. Тогда (а„) сходится и !пп а„= апр(а„).
«-+со ,У о к а з а т е л ь с т в о. Так как (а„) ограничена сверху, то существует апр(а„). Пусть ! = зир(а„). Покажем, что 1пп а„= !. «-+«о Другими словами, требуется доказать, что а„= а„— ! есть бесконечно малая последовательность, т.е. что для любого е > О существует номер па — — ва(е) такой, что при для всех п > па имеем 1о„! < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
