Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Т е о р е м а 1 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность (а„) сходилась, необходимо н достаточно, чтобы она была фундаментальной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если 1пп„, а„= 1, то для любого е > О существует по = по(е), такое, что для всякого и > по имеем (а„— 1~ < г/2. Следовательно, для любых т, и > по ~а„— а ! = ((а„— !) — (а — !)( < )а„— !(+ )а — !) < — + — = е. 2 2 Поэтому (а„) — фундаментальная последовательность. ,Уостаточпость.

По условию последовательность (а„) является фундаментальной. 1. Докажем, что (а„) ограничена. В самом деле, возьмем 1. Тогда найдется по —— по(1) такое, что для всех и > по имеем ~а„— а„,) < 1. Но тогда )а„( < )а„— а„,(+ (а„,! < ! + (а„,! = Ь. Отсюда (а„) < гпах()а1(,..., )а„, ), И) = с. 2. В силу теоремы Больцано — Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность а„„..., а„„, -Ф а при )г -Ф оо.

Условие ее сходимости можно записать так: 1!е > О В к1 — — к1(г) такое, что У !г > !о~ имеем (а„, — а) < е/2. Пусть А!1 — — по, и Н = шах по е/2,А!1 . Тогда для всех п > )У и пь > А! имеем (а„ вЂ” а) = (а„ вЂ” а„„ + а„„ — а( < (а„ вЂ” а„„) + (а„„ — а! < — + — = е, е 2 2 т.е. последовательность (а„) сходится. Теорема 1 доказана полностью.

Важно отметить, что теорема 1 допускает следующую переформулировку, полезную для доказательства расходимости конкретяых последовательностей. Т е о р е м а 2. Для расходимости последовательности (а„) необходимо и достаточно, чтобы она не была фундаментальной, т.е. существовало число е > 0 такое, что для каждого по Е И нашлись бы номера тп > по и и > по, для которых выполнялось бы неравенство )а — а„(> я Примеры. 1. а„= 1+ -'+ + -„'. Возьмем е = 1/2. Тогда при любом т имеем неравенство 1 1 т 1 хот хт — +'''+ от+ 1 2тп — 2тп 2' Последовательность (а„) расходится (здесь мы полагаем т = по, и = 2тп). 2.

Для решения уравнения Кеплера х — аз1пх = у (О < а < 1) используют метод последовательных приблиотсемипт хо = у, хт — — у+ аяпхо,, х„=у+аяпх„ Докажем, что существует о = 1пп х„и что х = о является едина-тсо ственным корнем уравнения Кеплера. Согласно критерию Коши для любого е > 0 существует число по = но(с) такое, что при всех и > по и при всех р > 1 имеем )хь+р — х„~ < е.

Оценим модуль разности )х„+р-х„!. В силу неравенства )япу) < )у) имеем )х„+р — х„! = а) явх„+р 1 — з1пх„т) < а)х„+р 1 — х„т) < < а )х„ьр з'-х„з( < а")хр — хо! = а"+')ага хр,! < а"+'. Далее поскольку )а) < 1, последовательность (а"+ ) является бесконечно малой последовательностью. Поэтому для любого с > О существует пт — пт(е) такое, что при всех и > пт имеем ~а"+'( < я Теперь в теореме 1 положим по — — пт.

В результате получим, что последовательность является фундаментальной и, следовательно, сходится к некоторому числу (. Поэтому, переходя к пределу при и -+ со в равенстве х„= у+ аяпх„ы получим О = у+ аяпО, т.е. х = ( есть решение уравнения Кеплера. Далее, если бт — другое его решение, то тогда ((т — 6 = а(з(пот — з1пф~ < аф — ф~, и если ~1 ф (, то отсюда имеем 1 < а, что не так по условию. Другими словами, х = ( — единственный корень уравнения, что и требовалось доказать.

Уравнение Кеплера ввел в рассмотрение И: Кеплер (1571-1630) при изучении движения планет по эллиптической орбите (зодача двух тел). Глава Пй ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 9 ~ 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА с!ИСЛОВО)1) ФуНКцИИ Мы познакомялись с понятием предела числовой последовательно- сти. Последовательность — что функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Но еще большую роль в анализе играет по- нятие предела функции, определенной на всей числовой оси или на каком-либо ее промежутке либо луче. В дальнейшем мы будем рассматривать целый ряд понятий подобного рода. Эти понятия по своему духу близки как между собой, так и с уже рассмотренным нами понятием предела последовательности. Перечислим наиболее важные из них: 1) ! = 1пп у(х) — ' предел функции у(х) в точке хв, в +вьь 2) ! = !пп У(х) — правый предел функции у(х) в тачке хв, в-+*.+ 3) 1= !пп у(х) — левый предел функции ~(х) в точке хщ в-ьвьь- 4) ! = 1пп у(х) — предел функции у(х) при х -+ оо; вчсо 5) ! = 1нп у(х) — предел функции у(х) при х -+ ~оз; в-+~вь Будем считать, что функция у(х), о пределе которой будем го- ворить, определена на всей числовой прямой Й или на некотором множестве А, являющемся его подмножеством, т.е. А С Е.

Этим мно- жеством А, например, может быть интервал, отрезок, совокупность промежутков и вообще какое угодно бесконечное множество. Важно только, чтобы точка хш к которой устремляется аргумент функции ~(х) (т.е. х -+ хв), являлась ььределъноп щечкой множесньва А, а именно: чтобы в любой б-окрестности точки хв содержалось беско- нечно много точек нз множества А. В случае х -+ со или х -+ ~ос зто означает, что множество А должно быть: не ограничено, если х -+ оо; не ограничено сверху, если х -ь +со; не ограничено снизу, если х -+ — со. В дальнейшем нам понадобится следующее определение.

Определение. Множество точек х, принадлежащих А и удовлетворяющих неравенству 0 < )х — хв) < б, называется проколотой б-окресьпносшью ьпочкп хв (относительно множества А). При А = И проколотая б-окрестность точки хв состоит из двух интервалов: (хв — б, ха) 0 (хв, хо + б). Определения предела По Гейне По Коши Обозначения Число ! называется пределом функции,Цх) при х -+ хо если ! = 1пп !(х) в-о хо — 1пп у(х) Число ! называется правым пределом функции у(х) о "ооо+ при х -+ хо, если 1пп Дх) Число ! называется левым пределом функции Дх) о' ~оопрв х -+ хо, если ! = 1пп у'(х) Число ! называется пределом функпии у(х) при х -+ оо, если 1 = 1пп у(х) Число ! называется пределом функции !(х) при х -+ +оо, если — йп Дх) Число ! называется пределом функпии У(х) при х -+ -оо, если или У(х) -+ ! при и -+ хо или У(х) — ! при х -+ хо+ или Дх) -+1 при х -+ хо- или у(х) -+ 1 при х -е оо или !(х) -+1 при х -+ +со или У(х) -+ ! при х-+-оо 'ое>036=6(е) >О такое, что ох: (х б А, 0 < !х — хо! < 6) =о Щх) — 1! < е Чс > О 3 6 = 6(с) > 0 такое, что ох: (х Е А, 0 < х — хо < 6) =ь !у(х) — !! < е Чо > О 3 6 = 6(6) > 0 такое, что Ух: (х Е А, -6 < х — хо < О) ~ ~У(х) — !! < е 'ое > 0 Л с = с(е) > 0 такое, что Чх, (х ЕА, !х! > с) =ь !У(х) — 1! < о ' 'оо > О Э с = с(е) > 0 такое, что ох: (х Е А, х > с) =о !У(х) — 1! < о Че > 0 Л с = с(о) ( 0 такое, что Ух: (хЕА,х<с) ~ !у(х) ~1 < е 1о' последовательности (хп): хл ~ хо'Ь Е И х„ Е А и хо -+ хо ри и -Ф оо имеем Д(х„) -+ ! У последовательности (хо): х„ > хо чи Е И х„ЕА их„— ~хо .

ри и -+ оо имеем 1(х„) -+ ! 'о'последовательности (х„): х„ < хо Чи Е И х„ Е А и хи -+ хо ри и — ~ оо имеем у(х„) -ч 1 'о бесконечно большой последовательностя (х„): х„ Е А, ри и -+ оо имеем У(х„) -+ ! У бесконечно большой пос- ледовательности х„> 0: хо ЕА, ри и -+ оо имеем У(х„) -+ ! У бесконечно большой пос- ледовательности х„( 0: хо Е А, ри и -+ оо вмеем У(х„) -+ ! Д,чя всех этих видов пределов справедливы теоремы, аналогичные теоремам о пределах последовательности. Например, если, у|(х) -+ 1|, ~г(х) -+ 1з (при одном н том же виде стремления аргумента х), то: 1) ~~ (х) ю гз(х) -+ 1|, х 1ю 2) Л(х))з(х) -+1|1ю 3) Я-+~~ при 1зф0. Если с(х) — постоянная, т.е. с(х) = 1 для любого х б А, то с(х) -+ 1, Доказательства этих теорем, по существу, повторяют доказательство утверждений для сходящихся последовательностей.

Но тем не менее их надо провести, а это заняло бы у иас очень много времени. Для того чтобы этого избежать, мы дадим общее определение предела, под которое будут подходить все рассмотренные нами пределы, в том числе и предел последовательности. Речь идет о так называемом пределе по базе множеств. 1 2. БАЗА МНОЖЕСТВ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ Определение 1. Пусть А есть область определения функции 1(х).

Тогда совокупность множеств (6) = В, где 6 С А, иазывается базой множеств или просто базой для множества А, если для ее элементов выполняются следующие условия: 1) В состоит из бескоиечиого числа непуся|мх множеств (6); 2) У Ь!, Ьз б В 3 Ьз б В такое, что Ьз С Ь| О Ьз.

(Здесь надо помнить, что Ь|, Ью Ьз суть подмножества множества А.) Элементы множества В называются окончаннямн базы В. Само множество А будем называть основным множеством базы В. Далее для любых двух окончаний 6| и Ьз базы В с условием Ьз С Ь| будем говорить, что Ьз следует за 6|, а Ь| предшествует 6ю Оцределенне 2. Число 1 называется пределом функднн у(х) по базе В, если для любого с ) 0 существует окончание 6 б В такое, что при всех х б 6 имеем неравенство ~Дх) — 1( ( с. Обозначение: 1пп1'(х) =1 или 1(х) -+1 (по базе В).

и В этом случае еще говорят, что 1'(х) сходится к 1 по базе В. Аналогично определяются следующие пределы: 1ппу(х) = оо (хоо). в Следует заметить, что с точки зрения формальной корректности определения 2 предела функции по базе В, вообще говоря, требование бесконечности множества окончаний в базе В является избыточным. В случае конечного количества окончаний данное определение малосодержательно и не отражает в достаточной степени существа понятия предела. Важно отметить, что если вместо основного множества А базы В взять любое ее окончание 6о, то совокупность В' окончаний базы В, следующих за 6о, с учетом сделанного выше замечания, тоже образует базу мяожеств.

При этом из существования предела !ипу(х) =! в следует, что существует предел 1!пту(х) = ! и наоборот. В силу этого в свойства на практике между базами В и В' фактически не делается никакого различия. Примеры баз. 1. А = И. База Во (обозначение: и -+ со) состовт из множеств 6 = Л„в > 1, где 61, — мяожество натуральных чисел (о, о+1,о+2,...). Тогда предел по базе Во — это предел последовательности (а„): х = и, у(х) = а„ и 1ипУ(х) = 1ип а„. но «~оа 2. А = !и. База В1 состоит из всех проколотых 6-окрестностей точки хо, Ю > 0 (обозначение: х -+ хо).

Тогда 1ипу(х) — это предел и, при х-+ хо, т.е. 1ипу(х) = 1ип Дх). в, а-~хо 3. А = !я. База Вт (х -+ хо+) состоит из всех интервалов вида (хо,хо+6), где Ю > О, !ипДх) = 1!п1 у(х). *-~хо+ 4. А = В. База Вз (х -+ хо-) состоит из всех интервалов вида (хо — б,хо), где б > О, 1ппДх) = 1ип 1(х). 5. А = !й.

Характеристики

Список файлов лекций