164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 33
Текст из файла (страница 33)
5 = 2.2. 5 = 1.3. 5 = 28/3 - In 16.4. 5 == 7г/2 + 1/3. 5. 5 = 16/3. 6. 5 = 7/6. 7. 5 = v ^ - 1. 8. 5 = 27/24.9. 5 = 27Г/3 - \/3/б. 10. 5 = е - 1.12.7. Вычисление площадейв полярных координатахПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти площадь области D, ограниченнойдвумя окруэюностями2/2 + ai2/ + hx + а:^ = О,(fli = 0 , 02 = О, 6162 > О или2/^ + «22/ + ^2^:^ + ж^ = О,bi = 0 , 62 = О, aia2 > 0)и двумя прямымитп\у Н- kix = О, (mf + kl ^ 0),Ш22/ + /i^2a: = О, ( т | + А:^ т^ 0).308Гл. 12. Кратные интегралыП Л А Н РЕШЕНИЯ. И З определения двойного интеграла следует, чтоискомая площадь S численно равна5 = И I- dxdy.(1)D1. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать, переходя к полярным координатамX — р cos V?,у = р sin (^и записывая уравнения границ в полярных координатах.При этом область D перейдет в область D', а искомая площадьбудет равна5 =/ / р dp dip.D'2.
Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:\'* Pl{^) < Р < Р 2 Ы J *3. Переходим от двойного интеграла к повторному:S =dip /pdpи вычисляем его, пользуясь свойствами определенного интеграла.Записываем ответ, не забывая о размерности.ПРИМЕР.Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями2/2-42/ + а : 2 = 0 ,y^-Sy+ x^ =0,^ ^ ^ '^ " ^'РЕШЕНИЕ.1. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать, переходя к полярным координатамX = pcosip,у = psimp.12.7.
Вычисление площадей в полярных координатах309При этом область D перейдет в область JD', ограниченную линиями7Гg = 4:Siinp, Q = Ssmip,7Г^ = "^ , ^ = "2 *А искомая площадь будет равна5 = / / gctgdip.D'2. Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:I4 sin v? < ^ < 8 sm (^ J3. Переходим от двойного интеграла к повторному:7г/2S =8sin(^dip /7г/6gdg.4 81П<^Последовательно интегрируя, получим7г/2S =8sin(^d(p /J7г/67г/2Q .^d^= / 9J4sinv?J7г/67г/2dip = 24:14 sin (^sin^ (^dv? = 47Г + ЗУЗ.«^7г/6Ответ.
5 = (47Г + 3\/3) (ед. длины)^.Условия ЗАДАЧ. Найти площади фигур^ ограниченных заданными линиями.1. у'^-3у+ х^=0,2/2-52/ +ж^ = О,y = x/V3,2. 2/^ + 32/ + а^^ = О,2/^ + % + а^^ = О,2/ = а:,3. у'^ -Зу + х'^ =0,2/^ - 72/ + ^2 = О,2/ = VS^,4. 2/^ + 32/ + ^2 = О,2/^ + ^2/ + ^2 = О,у = х,5. 2/^ - 32/ + ic^ = О,2/^ - ^2/ Н- а^^ = О,у = х/\/3,х = 0.ж = 0.х = 0.у = х/л/З.х = \/Зх.310Гл.
12. Кратные интегралы6. у2 - 5ж Н- а;2 = О,у^ - 7ж + х^ = О,у = х/\/3,у = 0.7. 2/2 -Ь 4х + х^ = О,2/^ + бж + ж^ = О,2/ = ж/\/3,2/ = ^За^-8. 2/^ - Зж + ж^ = О,у2 _ 5д; _|- х^ = О,2/ = \/За;,9. у2 + 2х + х^ = О,у2 + 4х + х^ = О,у = х,10. 2/2 + 2х + х^ = О,у2 + 10а; 4- х^ = О, 2/ = \/За:,2/ = О-2/ = 0.2/ = 0.Ответы. 1 . 5 = 47Г/3 4- \ / 3 .2. 5 = тг + 2. 3. 5 = бтг/З -f 5v/3/2.4. 5 = 7г/3 - 2 4- ^/З. 5 .
5 = 27г/3. б. 5 = тг + 3\/3/2. 7. 5 = бтг/б.8. S = 47г/3 + \ / 3 . 9. 5 = 37Г/4 + 3/2.10. 5 = Зтг 4- 6\/3.12.8. Вычисление м а с с ы плоской п л а с т и н ыПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти массу плоской пластины D с поверхностной плотностью fi = 1л{х,у)у ограниченной заданными кривыми.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Масса пластины D с поверхностной плотностью /i(x,2/) определяется формулой771=fi{x,y)dxdy.D2.
Вычисляем полученный двойной интеграл. Записываем ответ,не забывая о размерности.П Р И М Е Р 1. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью/i = 16х + 92/2/2, ограниченной кривымиX = -,2/ = О,2/^ = 16х{у > 0).РЕШЕНИЕ.1. Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = 16x4-92/^/2определяется формулой.= лГ/* Л(l6x+92'2^^) dxdy.12.8. Вычисление массы плоской пластины3112. Вычисляем полученный двойной интеграл в декартовых координатах:а) зададим область D системой неравенств:Г О < ж < 1/4,\ О < 2/ < 4^Д.Неравенство О < ж следует из того, что у'^ = 1бж, т.е.
х неотрицательно;б) перейдем от двойного интеграла к повторному:1/4/ / I 1бж Н——- ] dxdy =^у/Хdx/ I 16а: Н—— | dy]в) последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла:1/44v^'.2тоо1/41/4 ^з> -^-/^'/^|4v^= ( ( 16жу + — )dx := 160 1 x^l'^ dx = 2.ООтвет, m = 2 ед. массы.2. Найти массу пластины D с поверхностной плотностьюyi = a:^/(a;^ + 2/^)) ограниченной кривымиПРИМЕР2/2-42/ + х 2 = 0 ,г/2-82/-Ьж2=:0,2/="^,х = 0.РЕШЕНИЕ.1.
Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = х'^/{х"^-\-у'^)определяется формулойD2. Вычисляем полученный двойной интеграл:Гл. 12. Кратные интегралы312а) так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатахX = Q cosу =if,QsiiKf.При этом область D перейдет в область D', ограниченную линиями7Г^ = 4sinv?,g = Ssmip,7Г^=-^^^"^2"'а искомая масса определяется формулойт =—22 ^^^У — 11 cos^ ^ gdg dip.D'DЗададим неравенствами область D' в полярных координатах:Г7г/6 < (у9 < 7г/2,(^14 sm (у^ < ^ < 8 sm (^ Jб) перейдем от двойного интеграла к повторному7г/25sm(^m = / / cos^ (р gdgdip = / cos^ (pd(fD'я/6g dg\44sinv3sin 03B) последовательно интегрируя, получим7г/2д> sirupm = / cos^ ipd(^7г/6I4sinv?4 sin (f7г/2gdg =8 sin<^cos^ (f7г/6dip=4 simp7Г/27Г/2= 24: f sin ip cos ipdip = ( 3(^ — - sin 4(^= 7Г +7г/67Г/6Ответ, т •= тг -\- 3 v 3 / 8 ед.
массы.3\/312.8. Вычисление массы плоской пластины313П Р И М Е Р 3. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью/i = х/у^, ограниченной кривыми2JC2»*'о^ + У^ = l,оX1^ + у^ = 3,/у = -,х =0X\(у>-,х>0).РЕШЕНИЕ.1. Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = х/у^ определяется формулойD2. Вычисляем полученный двойной интеграл:а) зададим область D неравенствами в декартовой системе координатD= ^ (х,2/):I16У > х/А,X>ОТак как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящимичерез начало координат, поставленную задачу проще решать в обобщенных полярных координатах{X = Ад cos (/?,у = Q sirup.При этом (^, (р) е D\ а.
искомая масса определяется формулойmJJD•^dxdy=У^-p^Agdgd<p.JD'J g^sm^'cpЧтобы найти область D', заменяем в неравенствах, определяющихобласть D, X на Agcosip и у на ^sin<^:1 6 ^ 2 C0S2 (^1<-~2 - 2/ о+ г sm (^ < 3,10gsirnp > Ад cos (/?/4, ^ cos <^ > 0.Решая эти неравенства относительно д и if, получаем1<д<уД,— < (^ < —Гл. 12.
Кратные интегралы314б) переходим от двойного интеграла к повторному:7г/2V3COS ipот =, . . Agdgd(p=d(p lQg~ ^'•^dg;sm (fJD' J Q^sin^'ipJJ7Г/4,B) последовательно интегрируя, получаем7г/2у/3d sirup fт = 16 I ^^^-^^^ / Q-^dg = 16/sin^if JV37г/24sin^ (f J= 4.2g'7г/47Г/4Ответ, m = 4 ед. массы.Условия ЗАДАЧ. Найти массу пластины D с поверхностнойплотностью fi, где D ограничена заданными линиями.1. /i = 2a; + 2/^,х = i, у = О, у = у/х.2.
fi = x'^ + y,х = 1, у = 0, у = 2^х.3. fi = x'^ + 2y,а: = О, 2/ = 4, у = х^ {х >0).4. /i==a;-f2/^,х = 0, 2/ = 1, у = х2/4 (ж > 0).5. /i =х-ух^ + 2/^'ж = О,2/ = О,х^ + 2/^ = 4,х^ + 2/^ = 9(х > О, у < 0).6. /х =22/-жх^ + 2/^'X = О,2/ = О,х^ + 2/^ = 3,х^ + 2/^ = 5(х<0,7. /х =у-хх2 + 2/^'X = О,2/ = О,х^ + у^ = 4,х^ + 2/^ = 16(х<0,8. /i(x,2/)=2/,2/ = О,2/ = а;\/3,2/>0).х^ + ^ = 1,2/>0).х^ + ^ = 9(2/>0,у<хуД),12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах9. ф,у)= ^,у = 0,у = х,^ + 2/2 = 1,315^+2/2^4(у > О, у < х).X10./х(а:,г/) = —,Xх = 0,у^х,VX— + ^ = 1,у_ + ^=25(ж > О, у > х).Ответы.
l . m = 448/15. 2. m = 11/7. 3. m = 448/15. А. т = 11/7.5. m = 2. 6. m = 3 ( \ / 5 - \ / 3 ) . 7. m = 4. 8. m = 52/3. 9. m = ( \ / 2 - l ) / 2 .10. m = 1 8 ( \ / 2 - l ) .12.9. Тройной интегралв декартовых координатахПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить тройной интеграл/ / /иf[x,y,z)dxdydz,где область О. ограничена некоторымиповерхностями.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Зададим область П системой неравенств, например,а < а: < Ь,У\{х) <у< У2{х),zi{x,y) <z< Z2{x,y).2.
Перейдем от тройного интеграла к повторному:f{x,y,z)dxdydz=Qdxadyyi{x)f{x,y,z)dz.zi{x,y)3. Используя свойства определенного интеграла, последовательноинтегрируем сначала по z (считая х is. у постоянными), затем по у(считая X постоянной), затем по х.Записываем ответ.Гл. 12. Кратные интегралы316П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬтройной интеграл1 I 1 х^ sh.
(ху) dx dy dzyгде О. ограничена плоскостямиXРЕШЕНИЕ.1. Зададим область Q неравенствами. Очевидно, что О < z < 1.Для у возможны неравенства О < у < х/2 или х/2 < у < 0. Если0 ^ 2 / ^ 2:/2, то X > О и для х имеем О < ж < 2. Если же х/2 < у < О, тож < О и область не примыкает к плоскости а; = 2. Значит, мы должныпринять, что О < у < х/2 и определить П системой неравенствО <ж < 2 ,О < 2/ < х/2,0<z<l.2. Перейдем от тройного интеграла к повторному:2/ / / ж^ sh {ху) dx dy dz =х/2dx / dy0Г21x^ sh (xy) dz.03. Используя свойства определенного интеграла, последовательноинтегрируем сначала по z (считая х и у постоянными), затем по у(считая X постоянной), затем по х:2х/21/ / / ж^ sh (ху) dx dy dz = I dx I dy I x^ sh [xy) dz =2x/2dx01x^sh (xy) dy0-I0dz =02X22 ch {xy)Xx/2x/2dx0x^ sh {xy) dy •02dx = / x ( c h ^chO Ых =12.9.
Тройной интеграл в декартовых координатах= sh-Ответ.х^ sh. {xy)dxdydz-2=317sh2-2.= sh2— 2.пУсловия ЗАДАЧ. Вычислить тройной интеграл по области П,ограниченной заданными поверхностями.1. / / / 4:y^ze^'^ dxdydz^п2. / / / 32/^z^e"'^^ dx dy dz,п3. I l l Sx'^z^e'^y^'^ dx dydz,х — О, у = 1, у = х, z = 0^ z = 1.ж = О, ?/ = - 2 , у = Ах, z = О, z = 1.x =^0, у = 2, у = 2x, z = О, z = - 1 .4. / / / 2y^z cos{7rxy) dx dydz, x = 0, у = 1, у = 2x, 2 = 0, г = 7Г^.6. / / / y'^z ch (ж^) dxdydz,x = 0, у = —1, у = x, z = 0, z — 2.7. / / / yz^ cos{xy) dx dy dz, x = l, ^/^'тг, 2 = 2, ж = 0, г/ = 0, z = 0.8.
/ / / ^^-2: sh (Зд;?/) dx dy dz,9. / / / y^z eh (2x2/) dxdydz,x = 1, у = 2x, 2/ = 0, 2 = 0, z = l.x = 0, у = 1, у = x, z = 0, z = A.10. / / / 3x2^ sin(a:y) dxdyd^;, a; = 2, у = 7г, 2 = 1, ж = 0, 2/ = О, z = 0.Ответы. 1. / = e - 2 . 2. / = 2 e - ^ 3. / = 4 e - 8 . 4. / = 4. 5. / = IGTT^.6 . / = 2 c h l - 2 . 7.7 = 8. 8 . / = ( s h 6 - 6 ) / 7 2 . 9. J = c h 2 - 1 . 10.7 = 2.318Гл.
12. Кратные интегралы12.10. Тройной интегралв цилиндрических координатахПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить тройной интеграл/ / /f{x,y,z)dxdydz,Qгде область Q ограниченаповерхностямиZ = gi{x^ + 2/^),Z = д2{х^ + у^).ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Поскольку Vi — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно перейтик цилиндрическим координатамX = Q cos v?,у = Qsm^,z = z.При этом {g^ip,z) G П', a искомый интеграл определяется формулойf{x,y^z)dxdydz=f{Q cos <^, Q sin (/?, z) g dgdtp dz.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
