164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Л{xy-\-z'^)da,:х2 +2/2 = 1,2 = 0, z = lЕ - I (х, у, z) :х'^ + у^ = 1,Z = о, z = lЕ= l{x,y,z)^9-x^-y^da,1 0 . / / / Z л- х'^ + у"^ da,Е = < {х, у, z) :Ответы.1. 0. 2. 0. 3. 27г. 4. 0.27г/3. 9. 47Г. 10. 3 2 7 Г . ( А / 2 - 1 ) / 3 .339х'^ + у'^ = 2,2 = 0, z = 25.
Атг. 6. 127г.7. Зтг.13.3. Интегралпо сферической поверхностиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить поверхностный инт^еграл//f{x,y,z)da,где Т, — верхняя полусферах'^-{-у'^+ z'^ = г^,z>0.ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты^ ж = gcosipsmO,у = ^siiK^sin^,Z = gcosO.В этих координатах поверхность задается условиямиЕ = < {д,в,^р):д = г,0<^<7г/2,О < (^ < 27Г340Гл. 13. Поверхностные интегралы2. Так как da = г^ sinOdedip, имеем27Г7г/2/ / f{x^y',z)d(7 = r^ d(ff {г COS if sine у Г simp sinO, Г COS 9) sine de.E003. Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬповерхностный интеграл/АSгде Е — верхняя полусферах^ + 2/^ + г^ = 9,Z > 0.РЕШЕНИЕ.1.
Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координатыX = ^cos(^sin^,у = ^sin(^sin^,Z = QCOSO.в этих координатах: поверхность задается условиямиi : = < {д,в,^):0<^<7г/2,О < (^ < 27Г2. Так как d сг = 9 sin ^ d^ d(^ и /(ж, ?/) = ж^ + т/^ = 9 sin^ в, имеем27Г7г/2Пх'^ + у^) da =^ I dip / 9sin^ (9-98^(9^(9.Е003. Вычисляем повторный интеграл:27Г7Г/27г/2/ d ( ^ А 9sin^ (9-9sin<9(i6> =-1627Г M l - cos2<9) dcos(9 = ЮЗтг.000Ответ.E13.3. Интеграл по сферической поверхности341Условия ЗАДАЧ. Вычислить поверхностные инт,егралы.1./ / xdcT^2.
jj.da,ж^ + 2/^ + ^2 = 7,Z > 0}.ж2 + 2/2 + z^ = 4,Z > 0}.Еж^ -f 2/^ + 2:2 = 5,^>Еx'^ + y^ + z'^ =2,z> 0}.Еa;2-h2/2 + z2 = 1,;г>0}.Е = x2 +2/^4-^2 = 1,2>0}.:2 + у2 + -.2 ^ 9^^ > Q}^3.5.{2x-by)da,Q}.ffz^da,Е6.Ijy/^^^da,Е7.ff{x^-\-y^-2z)da,Е =Е8.ff{x^-}-y^-2)da,Е = x'^ + y'^ + z'^ =3,z> 0}.Е9.ff{21x-21y+ z)da,Е = ж2 + 2/2 + ^2 = 10,Z> 0}.Е10. f f {ху л-z'^) da,Е = a;2 + 2/^-f2;2 = 1,z > 0}.Ответы. 1.
0. 2. 87Г. 3. 0. 4. 207г/3. 5. 27г/5. 6. 7г2/2.7. 547Г. 8. 0. 9. ЮУДОТГ. 10. 27г/3.Г л а в а 14Т Е О Р И Я ПОЛЯПри изучении темы ТЕОРИЯ ПОЛЯ (ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ)вы познакомитесь с понятиями векторного поля, векторных линий,потока векторного поля через поверхность, циркуляции векторногополя, дивергенции и ротора векторного поля.
Вы научитесь вычислять поток векторного поля как поверхностный интеграл, а такжеиспользовать формулу Остроградского для вычисления потока череззамкнутую поверхность. Вы научитесь вычислять работу векторногополя как криволинейный интеграл второго рода, а также применятьформулу Стокса для вычисления циркуляции.С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить производные, единичный нормальный вектор поверхности, дивергенцию иротор векторного поля, определенные и повторные интегралы, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученныхвами результатов.14.1. Векторные линииПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти векторные линии векторных полейа = P{x,y)i +Q{x,y)j,илиа=P{x^z)i-{-R{x,z)k,a=Q{y,z)j-\-R{y,z)k.илиПЛАН РЕШЕНИЯ.1.
Запишем дифференциальные уравнения векторных линийdxР{х,у)dyQ{x,y)при Z = с .14.1. Векторные линииdxР{х,у)dzR{x,y,z_,при у = С,dyQ{x,y)dzR{x,y,z)при X = С.343Мы учли, что в первом случае dz = О, во втором случае dy = О ив третьем случае dx = 0^ поскольку равна нулю соответствующаякоордината векторного поля.2. Решая соответствующее дифференциальное уравнение, получим, что векторные линии (в пространстве) определяются системамиуравненииF{x,y) = Cuf F(a:,z)-Ci,\ у = С2.илиF{y,z)^CuХ=ПРИМЕР.С2.Найти векторные линии векторного поляа = 9zj — 4:ук.РЕШЕНИЕ.1.
Так как первая координата поля Р(х, ?/, z) = 0^ то dx = О и, следовательно, X ~ С. Поэтому запишем дифференциальное уравнениевекторных линий в виде:dydz-— = —-— при X = С.9zAy^2. Решая дифференциальное уравнение, получимОтвет. Векторные линии определяются системой уравненийХ=С2.344Гл. 14. Теория поллУсловия ЗАДАЧ. Найти векторные линии векторных полей.1. а = 2уг -\-6xj.2.
а = 2xi + 3yj.3. а = 2yi — Axj.4. а = zi — хк.5 . 5 = 2yj -f 3zk.6. a = zi — izk.7. a = 2zj + 9yk.S. a = Sxi + 6yj.9. a = 3yi — 2xj.10. a = yj + zk.Ответы.2x2 + 2 / 2 - C i ,Z=C2.z = Ci/y,X = Go.14.2. Поток векторного поляПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти поток векторного полла = Р(ж, 2/, z)i-\- Q{x, у, z)j + R{x, у, z)fcче^^ез поверхность Е, описываемую уравнением F{x,y,z)—0и некоторыми неравенствами {нормаль образует острый угол с осью 0Z).ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПО определению поток П векторного поля ачерез поверхность Е с полем единичных нормалей щ определяетсяформулойП = ff{a,no)da.(1)S1.
Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнениемF{x^y,z) = О, определяется формулойПо = ±1gradF7-=г7 = ±{cosa,cosp, cos7^•gradF14.2. Поток векторного поля345Учитывал что нормали должны образовывать острый угол с осью 0 Z ,т.е. что cos 7 > О, выбираем в этой формуле знак плюс или минус.ИмеемПо = cosm Ч- cosPj + cos'yk, cos 7 > 0.2. Находим скалярное произведение(5, щ) = Р{х, у, z) cos а -Ь Q{x, у, z) cos /3 + R{x, у, z) cos 7 = f{x, у, z).3.
В силу формулы (1), поток определяется поверхностным интегралом:П={a,no)da=sf{x,y,z)da.s4. Переходим от поверхностного интеграла первого рода к двойному, проецируя Е на плоскость XOY:П== / / fix,y,z)da=//f{x,y,z{x,y))dxdyI COS7I'где D — проекция E на плоскость XOY; z(x, у) определяем из уравнения поверхности F{x^y^z) — 0.ЗАМЕЧАНИЕ. Если уравнение F{x,y^z) = О не определяет однозначно функцию Z = z{x^y)^ то проецируем Е на другую координатную плоскость или используем криволинейные координаты (можнотакже разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивностью интеграла).5. Вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному.Записываем ответ, не забывая о размерности.ПРИМЕР.Найти поток векторного поляа = —xi 4- 2yj -h zkчерез часть плоскостиx + 2y + 3z = l,расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол сосью 0Z).346Гл.
14. Теория поляРЕШЕНИЕ.1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнениемF(a:, ?/, z) = О, определяется формулой, grad FПо = ± 1|gradF|*В данном случае F{x^y^z) = х -{- 2у -\- 3z — 1 и, следовательно,{1,2,3}По = i у/иУчитывая что нормали должны образовывать острый угол с осью0 Z , т.е. что cos7 = ± 3 / \ / l 4 > О, выбираем в этой формуле знакплюс. Имеем2. Находим скалярное произведение:{а,по) = —=={'-x + Ay-^3z).Vl43. Согласно формуле (1), поток определяется поверхностным интегралом:П = И -^{-х+ 42/ -I- 3z) d<T.4.
Переходим от поверхностного интеграла к двойному, проецируя Е на плоскость XOY:П = / / •у={-х-f 4у + Зг) dadxdyDz={l~x-2y)/3 1^0^71'где D — проекция Е на плоскость XOY и cos 7 =Поверхность Е определяется условиямиIa ; > 0 , 2/>0, 2:>014.2. Поток векторного поля347Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий,определяющих Е:/\z^{l-x-2y)/3,\а;>0, j / > 0 , z > 0 JГх>0,у>0,]Отсюдаp=L,,).0S»<l/2.[^ '^^10<х<1-22/ J5. Вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному:и= jh-xdxdy|cos7|+ Ay + Sz)z=il-x-2y)/31/2= ^JJ{l-2x+ 2y)dxdy=^J dy J0D1-2у{l-2x+ 2y)dx = j ^ .0Ответ.
П = 1/18 ед. потока.У с л о в и я ЗАДАЧ. Найти поток векторного поля а через частьплоскости^ располоэюенную в первом октанте {нормаль образуетострый угол с осью 0Z).1.а = xi-hyj,X -\-у -{• Z = 1.2.a = 2xi-\-zkjх -\-у -\~ z = 1.3.а = yj -f- zk^2х -i-y + z = 1.4.a = xi-{-yj^X -\-y -\-2z — 1.5.a — yj -\- zk,6.d = xi-\-yj^2x + 2y + z = 1.2x ~\-у-\-2z = \.Гл. 14.
Теория поля3487. а = жг 4- 2yj^х -\- у + z = 1.8. а = yj + zk^2х-\-2у-\-z= 1.9. a = xi + 2yj + zk,x/2 + y + z/S = l.10. a=:xi + yj + 2zk,ж/З -f 2//2 + г = 1.Ответы. 1. 1/3 ед. потока. 2. 1/2 ед. потока. 3. 1/6 ед. потока.4. 1/6 ед. потока. 5. 1/8 ед. потока. 6. 1/8 ед. потока. 7. 1/2 ед.потока. 8. 1/8 ед. потока. 9. 4 ед. потока. 10. 4 ед.
потока.14.3. Поток векторного полячерез часть цилиндраПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти поток векторного поляа = Р{х, у, z)i-V Q(x, у, z)J-f Я(х, у, z)^через часть поверхности2 , 22х^ -{-у = г^,вырезаемую плоскостями г: = О и z = h {нормаль внешняя к замкнутой поверхности^ образуемой данными поверхностями).П Л А Н РЕШЕНИЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
