164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 37
Текст из файла (страница 37)
ПО определению поток П векторного поля а черезповерхность Е с полем единичных нормалей щ определяется формулойП = ff{a,no)da.(1)S1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнениемF{x^ у, z) = О, определяется формулойgradF'IgradFI*^0 = ± 1В данном случае F{x, у, z) = х^ + 2/^ — "^^ и, следовательно,14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра349Учитывая, что нормали должны образовывать острый угол с осьюОХ при ж > О, т.е. cos а > О при ж > О, и тупой угол с осью ОХ приX < О, т.е.
cos а < О при х < О, выбираем в этой формуле знак плюс.2. Находим скалярное произведение(а,По) =7=т=?V ^ + У^^fi^^y.z).3. Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным интегралом:11={a,no)d(7=f{x,y,z)dcT.ss4. Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейныекоординаты"^ X = gcosif,y = gsm(p,z — z.в этих координатах поверхность задается условиямид = г,О < (у9 < 27Г,0<z<h.Поскольку da = rd(pdz,имеемh27Гli = Гd(f0f {г cos(f J г s'm(p,z)dz.05.
Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ, не забывая о размерности.ПРИМЕР.Найти поток векторного поляа = xi + yj + zkчерез часть поверхностивырезаемую плоскостями 2 = О и z = 2. (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).350Гл. 14. Теория поляРЕШЕНИЕ.1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнениемF{x^y^z) == О, определяется формулой. grad FЩ = ±-."|gradF|'В данном случае F{x^ ?/, z) = ж^ + т/^ — 1 и, следовательно,По = ±\Jx^ + у'^Учитывая что нормали должны образовывать острый угол с осьюОХ при X > О, т.е. cos о; > О при ж > О, и тупой угол с осью ОХ приа: < О, т.е.
cos а < О при х < О, выбираем в этой формуле знак плюс.2. Находим скалярное произведение^(а. По) =P{x,y,z)x-VQ{x,y,z)y7=т=?/0.2"" V ^ + 2/ •3. Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным интегралом:П={a,no)da = / /у/х^~+^da.4. Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейныекоординаты"^ X = gcosif,у = gsiiKf,Z — Z.в этих координатах поверхность задается условиямиО < (^ < 27Г,О < Z < 2.Поскольку с/а = 1- с/<^с?гиж^4-2/^ = 1, имеем27Г^7Г2Zdz.оо14.4. Поток векторного поля через часть сферы3515. Вычисляем повторный интеграл27ГП=2dipоdz = Атг.оОтвет.
П = 47Г ед. потока.Условия ЗАДАЧ. Найти поток векторного поля а через частьцилиндрической поверхности Е, вырезаемую заданными плоскостями.1. а = х ? + y j + 2z'^k, Е = {х2 + 2/^ = 1}, z = О, z = 3.2. а = xi-\-yj-\- x^yzk,Е = {ж^ + 2/^=4}, г = 2, z = 5.3. а = (х-\-zy)X-{xz-y)^-^xk,4. а = а;?+ yj-\-xz'^k,Е = {ж^ 4-2/^ = 4}, z = О, z = 2.Е = {х^ + г/^ = 9}, z = О, z == 3.5. а = хг + yj - 2z^, Е = {ж^ + у^ = 4}, г = О, z =. 2.6. 5 = a:?-f yj-{-yz^k,Е = {ж^ + у^ = 3}, z = О, z = 2.7. а = (x-32/)?+(3a: + 2/)jH-z2^, Е = {ж^+2/^ = 5}, z = О, z = 2.8.
а = хГ+ yj-f sin^ zk,Е = {х^ + у2 = 4}, z = 1, z = 3.9. a = xi-{-yj-\- х'^к, Е = {ж^ + г/2 = 3}, z = 2, z = 4.10. а = 3?+ 2/J + zfc, Е = {х^ + 2/2 == 2}, z === 2, z = 4.Ответы. 1. бтг ед. потока. 2. 247г ед. потока. 3. 327г ед. потока.4. 547Г ед. потока. 5. IGTT ед. потока. 6.
127г ед. потока. 7. 207г ед.потока. 8. 1б7г ед. потока. 9. 127г ед. потока. 10. 47г ед. потока.14.4. Поток векторного полячерез часть сферыПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти поток векторного поляа = Р(х, 2/, z)i-\- Q{x, у, z)j + Я(х, у, z)kчерез часть сферы2,2,22а^ +2/ + z ^ = г^,352Гл. 14. Теория поллвырезаемую плоскостью z = О {z > 0) {нормаль внешняя к замкнутой поверхностей^ образуемой данными поверхностями).ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПО определению поток П векторного поля а черезповерхность S с полем единичных нормалей по определяется формулойП = ff{a,rio)da.(1)1.
Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнениемF{xj 2/, z) — О, определяется формулойgrad FПо = ±-:IgradFrУ сферы, очевидно, внешняя нормаль в каждой точке совпадает срадиусом-вектором этой точки, т.е.{x,y,z}По —V/X2 + i/2 + z22. Находим скалярное произведение:._ ^ .P{x,y,z)x-\-Q{x,y,z)y-hR{x,y,z)zV^^ -\-у^ + z^3. Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным интегралом:П={a,no)dcr=Е//f{x,y,z)da.Е4. Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты^ ж = ^ cos (^ sin б,у = ^sin(^sin^,Z = QCOSO.в этих координатах поверхность задается условиямиО < (/? < 27Г,О < ^ < 7г/2.14.4. Поток векторного поля через часть сферы353Поскольку dа = г'^ sm9dif dв^ имеем27ГIl = r^7г/2dipf{rcos(fsine^rsm(psme^rcose)smei5.
Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ, не забывал о размерности.ПРИМЕР.Найти поток векторного поля5 = жг + (у + z)j + (г - у)кчерез часть поверхностиx^ + y^ + z^ = 9,вырезаемую плоскостью z = О (>г: > 0) (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).РЕШЕНИЕ.1. Внешняя нормаль в каждой точке сферы a:^ +1/^ + ^^ = 9 совпадает с радиусом-вектором, т.е.По —2. Находим скалярное произведение._ _ .х"^ + у{у -\-z) + z{z - у)I(а. По) == V^2 4-2/2 + ^2.\Jx^ -\гу^ л- z^3.
Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным интегралом:П -= и {а, тгЬ) da ^ ff ^х'^ + у'^ + z'^ da.SЕ4. Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координатыX=QCOSifSinO^у = ^sinc^sin^,Z = QCOSO.Гл. 14. Теория ПОЛЛ354В этих координатах поверхность задается условиями^ = 3,О < V? < 27Г.Поскольку dcr = 9 sin^d^^c?^, имеем27Г7г/2" = / " " / 9-3sini9dl9 = 547r.ооОтвет.
П = 547Г ед. потока.Условия ЗАДАЧ. Найти поток векторного поля а через частьсферы., вырезаемую плоскостью z = О (^ > 0).1. а = (х + x'^z)i + yj + {z — х^)к,x^ 4- 2/^ + 2^ = 4.2. а-x^ -f 2/^ + z^ = 4.хгЛ- {у + y'^z'^)] + {z -zy^)k,3. а = {х + z)i + УЗ -\- {z — х)к,x2 + 2/^ + ^2 = 4.4. а = {х -\- х'^у)г + {у — x^)j -f- zk^x^ H- 2/^ + z^ = 1.5. а = {х + yz)i + yj + {z -x2+2/2 4-z2 = 1.xy)k,6. a = жг 4- (2/ 4- xyz)j -\-{z - xy'^)k,x2 + 2/^ + 2:2 = ;^7. a = {x - xy'^)i + {x'^y + у)з + zk,x2 + 2/2 4-z2 = 1.8.
a = (x + 2/>2:^)г + yj Л- {z -x^ + 2/^ + ^^ = 9.xyz)k,9. a = (x + 2/'2;)г + (^ — xz)j + zk,x^ + 2/2 + 2;^ = 4.10. a = (x + xy'^z)i -\- {y — x'^yz)j + 2;^,x2 + 2/^ + 2^2 = 9.Ответы. 1. 1б7г ед. потока. 2. Хбтг ед. потока. 3. Хбтг ед. потока.4. 27Г ед. потока. 5. 27г ед. потока. 6. 27г ед. потока. 7. 27г ед.потока. 8. 547Г ед. потока. 9. 1б7г ед. потока. 10.
ЪАтт ед. потока.14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского35514.5. Вычисление потока по формулеОстроградскогоПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти поток вект^орного поляа = Р{х, у, г)г + Q{x, у, z)j + R{x, г/, z)kчерез замкнут^ую поверхность Е [нормаль внешняя).ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПОТОК векторного поля через замкнутую поверхность Е в направлении внешней нормали вычисляется по формулеОстроградского11=divadxdydz,(1)где Q — область, ограниченная поверхностью Е, и_9Рдх'SQдуORdz— дивергенция векторного поля а.1.
Вычисляем дивергенцию diva.2. Задаем область О, неравенствами.3. Вычисляем поток по формуле (1) как тройной интегралЗаписываем ответ, не забывая о размерности.ПРИМЕР.Найти поток векторного полячерез замкнутую поверхностьностью цилиндрах 2 + у 2 = 1,(нормаль внешняя).Е,являющуюся полной поверхz = 0, z = l.Гл. 14. Теория поля356РЕШЕНИЕ.1. Вычисляем дивергенцию векторного поля:дудхdz2. Задаем область П неравенствами.Поверхность Е, ограничивающая область Г2, состоит из трех поверхностей и может быть записана в виде0<z<1f и^ ^2^^2<1 \ и\ х^^2^..2+ 2/2 < 1Из этих условий находим систему неравенств, определяющих область П:^ = { {x,y,z):ж2 -f- 2/^ < 1, 10< z< 1Форма области П такова, что удобно перейти к цилиндрическим координатам. ИмеемО < 9? < 27Г, "1П = <0 < z <13.
Вычисляем поток по формуле (1) как тройной интеграл:П={2x +2y-\-l)dxdydz.QПереходя к цилиндрическим координатам, получаем27Г1П=dz01d(p0д{2д cos v? + 2^ sin <^ -f 1) dg — 27г.0Ответ. П = 27Г ед. потока.14.6. Работа силы357Условия ЗАДАЧ. Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность^ образованную заданными поверхностями {нормальвнешняя).1. a = {xy'^ + yz)i-{-{x^y + z'^)j + {x^ + z^/3)k,ж^ + 2/2 + z^ = 1,2 = 0 (г>0).2. a = {y-{-z'^)i + {x'^-^2yz)j-^{y'^-}-2z^)k,x'^ + y'^ = l-z,3. a={2xy-{-y'^z)i-{-{2xy-}-x'^z)j-\-{xy-\-z'^)k,z = 0.x'^+ y'^-\-z'^ = V2,z = 0 (z>0).A. a = {x'^-\-y'^ + z'^)i + {xy + z)j + {x + 3z)k,x"^-\-y'^ = z'^, z = 4:.5. a = (3x2 -f у)г + (ж^ - 2x'^y + z)j + {x^ - y'^)k,x^ + y'^ = 1,2 = 0, z = l.6.
a = (x^ 4- 2/z)z + xj + yk^z = 1 — x — y, x = 0, у = 0, z = 0.7. d= (z^ + xz)i-}- {xy - z'^)j + yzk, ж^ H- 2/2 = 1, z = 0, z = л/2.S. a = (ж2 + X2/ + 2;2)i* + {x^ + 2/^ + l/'^^)/ + (у^ + z'^ + xz)k,x'^ + y'^ + z'^ = 1, x^^-y^^. a = {xz-\-y^z)i-^{x?'z-2y)2^-xyk,x^-^y^^z^= z^ (2:>0).= \, z = 0 (z > 0).10. a = (ж2/ + 2/^ + >2^)?+ (2^^^; + 2/^2^)/ + (x^ + xz)^,x^ + y^ = 4,2 = 0, z = 1.Ответы. 1. 27г/5 ед. потока. 2. тг ед. потока.
3. тг ед. потока.4. 647Г ед. потока. 5. —7г/2 ед. потока. 6. 1/12 ед. потока.7. 7г ед. потока. 8. Зтг/З ед. потока. 9. — 137г/12 ед. потока.10. 27Г ед. потока.14,6. Работа силыПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти работу силыF = P{x,y)i + Q{x,y)jпри перемещенииN{x2,y2)'вдоль кривой L от точки M(xi,2/i) к точке358Гл. 14. Теория поляП Л А Н РЕШЕНИЯ.1.
Работа А силового поля равна криволинейному интегралу второго рода по кривой L:А=f{F,dr)=IP{x,y)dx-VQ{x,y)dy.2. Вычисляем криволинейный интеграл.Записываем ответ, не забывая о размерности.ПРИМЕР.Найти работу силыF ={х-у)г+]при перемещении вдоль кривой Lх^^у^= А (г/>0)от точки М(2,0) к точке iV(-2,0).РЕШЕНИЕ.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
