164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 35
Текст из файла (страница 35)
У = 4/15. 2. F = 4/15. 3. У = 8/5. 4. У = 157г/4.5. V = 157Г/4. 6. У = 27Г (8/3 - 5\/3/4).7. У = 27г (9 - 16\/2/3).8. У = 97Г. 9. У = 647Г/5. 10. V = тг/б.12.13. Вычисление массы телаЗАДАЧИ.Найти массу тела Г2 с плотностьюограниченного заданными поверхностлми.ПОСТАНОВКАfi{x,y,z),П Л А Н РЕШЕНИЯ.1.
Масса тела П с плотностью ii{x,y,z)771= / / /аопределяется формулой^{x,y,z)dxdydz.2. Зададим область О. неравенствами.3. Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.12.13. Вычисление массы тела329П Р И М Е Р 1. Найти массу тела 0^ с плотностью /i = 2ж, ограниченного поверхностямиX = 2у/2у,X = у/2у,z = l-y,z = 0.РЕШЕНИЕ.1. Масса тела Cl с плотностью /х = 2ж определяется формулойт =///2xdxdydz.2. Зададим область D. неравенствами. Поскольку 2л/2у > \/2^,для X имеем неравенства >/2у < х < 2у/2у. Поскольку у фигурируетпод знаком квадратного корня, у > 0. Для z возможны неравенстваО < Z < 1 — у или l — y<z<0.В первом случае О < у < 1.
Во второмслучае 2/ > 1, т.е. область неограничена, что неприемлемо.Итак,V^<x<П=l{x,y,z):2у^,0 < 2 / < 1,0<z<l-y3. Вычисляем т , сводя тройной интеграл к повторному:1т = / / / 2xdxdydz2^2^— I dy^01-уI 2xdxy%dz = 1.0Ответ, m = 1 ед. массы.П Р И М Е Р 2. Найти массу тела Q с плотностью fi "= z, ограниченного поверхностямиРЕШЕНИЕ.1. Масса тела О. с плотностью /i = z определяется формулойт = ///zdxdydz.Гл. 12.
Кратные330интегралыПоскольку Q — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно перейти кцилиндрическим координатамX = д cos if,у = QsiiKp,z — z.При этом (^, (^, z) G П', а искомая масса определяется формулойV = / / / zQdgdipdz.Заменяем в уравнениях поверхностей х на gcos(p и у на. д sirup. Получимд = 2,Z =Z = 0,^ .2. З а д а д и м область О.' системой неравенств0< ^<2,П ' = < (^,^,z):0<z<g^/2, > .О < 9? < 27Г3.
Вычисляем т , сводя тройной интеграл к повторному:27Г2т — \ dip \ gdg0Ответ.0^V2\ zdz —87Г3 'оV = 87г/3 ед. массы.П Р И М Е Р 3 . Найти массу тела Г^ с плотностью /i = 2О2;, ограниченного поверхностями= \ / 1 - а:2а;^ + у^ГРЕШЕНИЕ.1. Масса тела fi с плотностью \i = 20z определяется формулой771= / / /20zdxdydz.12.13. Вычисление массы тела331Поскольку о. — область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам:X = ^cos<^sin^,Z =QCOSO.При этом {д,в,(р) G П', а искомая масса определяется формулойт=4 1I I1I ••20д sin в cos в d(f dO dg.Заменяем в уравнениях поверхностей х на ^ cos (^ sin б, уна^д sin (р sin ви 2: на gcosO.
ПолучаемОбласть П' ограничена этими поверхностями.2. Зададим область fi' системой неравенствfi'=0<g<h0<6<arctg2,0<(р<27г1 {g.e.if):3. Вычисляем m, сводя тройной интеграл к повторному:27Г771 =d(p200arctg 2/в cos 00d^d^ // g^dg = 407гsin б0sin^l?О0Здесь мы воспользовались формулойsin^e^=arctg2Ответ, m = 47Г ед. массы.l + tg^^arctg 2 ^40=arctg 24= 47Г.332Гл.
12. Кратные интегралыУ с л о в и я ЗАДАЧ. Найти массу тела с плотностью /х, ограниченного заданными поверхностями.1. /i = 2у^е^^,ж = О,у = 1,2. fi = y'^e-''y,х = 0,2/= - 2 ,3. /i = 2/2e^^/2,а;=:0,у = 2,У = X,2 = 0,у = 4а:,у = 2ж,Z = 1.z = О,z = О,z = l.z =-1.Г.2"^^ /^ = ^2 • 2 > 2:^ + 2/^-42/ = О,г=4-x^г = 0.ж'^ + У^-4а: = 0, z = 10~y^,z = 0.х-^ 4- г/5.
fJ^ = -^—5-'7^'^=х^/^'/1ж -j- ту222_L 2^ 2 ; = л / 1 - а ; 2 - у 2 ^2(^^ + у")z=.3:^ + 2/"^8. /i = 32z,3z = y/^Ty^.z = y^l-x^-y\9. /i = 52,z = \ / l 6 — ж^ — г/2, z10. /i = lOz,z = y^4 - x^ - 2/2, z =x^ + y^9д/х^Т^Ответы. 1. m = e - 2. 2. m = 2e~^.
3. m = 4e - 8. 4. m = 57г/2.5. m = 177Г/2. 6. m = 17l7r/4. 7. m = 197г/96. 8. m = 47г. 9. m = 2887Г.10. m = 327Г.Г л а в а 13ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫПри изучении темы ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вы познакомитесь с понятием интеграла по поверхности от функции трехпеременных и научитесь сводить его к двойному (а затем — к повторному), проецируя заданную поверхность на одну из координатных плоскостей.
Кроме того, вы научитесь вычислять интегралы почасти цилиндрической и сферической поверхностей.С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете найти координаты единичного нормального вектора поверхности (вычислить частные производные и длину вектора), вычислить полученные вами повторные интегралы, выполнить все численные расчеты и проверитьправильность полученных вами результатов.13.1.
Поверхностный интегралпервого родаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить поверхностный инт,егралII-f{x,y,z)da,Sгде Е — часть поверхности, описываемая уравнением F{x,y,z)и некоторыми неравенствами.=ОП Л А Н РЕШЕНИЯ. Поверхностный интеграл сводится к двойномупроецированием Е на координатную плоскость XOY по формуле/ / f{x, у, z) da = / / /(ж, у, z(x, у)) 1——г,S(1)Dгде D — проекция Е на плоскость XOY, j — угол между нормальюк поверхности Е и осью 0Z; z{x, у) определяем из уравнения поверхности F{x, у, z) = 0.334Гл. 13. Поверхностные интегралыЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ уравнение F{^x^y^z) =• О не определяет однозначно функцию Z = z(x,2/), то проецируем Е на другую координатную плоскость или используем криволинейные координаты (можнотакже разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивностью интеграла).1. Единичные нормальные векторы щ = {cosа,cos/?,cos7} к поверхности, заданной уравнением F{x^ у, z) = О, определяются формулойgradFПо = ±1 TFT|gradF|2.
Проекцию D поверхности Е на плоскость XOY находим, исключая Z из условий, определяющих Е.3. Находим Z = z(a:, г/), решая уравнение F(x, t/, z) = 0.4. Переходим от поверхностного интеграла к двойному по формуле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному.Записываем ответ.П Р И М Е Р . Вычислить поверхностный интегралIh{-X -h Зу 4- 4:z) da,Егде Е — часть плоскостих + 2г/-+-32г = 1,расположенная в первом октанте (т.е. о: > О, у > О, 2: > 0).РЕШЕНИЕ.1. Единичные нормальные векторы щ = {cos а, cos ^, cos 7} к поверхности, заданной уравнением F{x, г/, г) = О, определяются формулойgradFВ данном случае F{x, у, 2) = х + 2^ + 3z — 1.
Следовательно,^,{1,2,3}по = ± - д ^ ,.,|cos7| =3^ .2. Поверхность Е определяется условиями_ Г,а;+ 2?/+ 32 = 1,113.1. Поверхностный интеграл первого рода335Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий,определяющих S:(а:, г/, г)z = {l-xх>0,22/)/3,у>0,г>0(ж>0.- X - 2у)/3ОтсюдаD ={{x,y):< 2/ < 12,1О < а: < 1 - 22/ /3.
Из уравнения x-\-2y-{-3z-l= 0 находим z{x,y) = ( 1 - а ; - 2 2 / ) / 3 .4. Переходим от поверхностного интеграла к двойному по формуле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному:lj{~x+ 4у + 3z) da=[{-Xу/й+ 4у + Зг)dxdy^г=(1-ж-2у)/31/2= ^jj{l-2xОтвет.+ 2y)dxdy = ^ j d y{-X-]-Ay + Sz) da =1-2уI ( l - 2 x + 2y)da: ="Is"'Условия ЗАДАЧ. Вычислить поверхностныеl.jlxyzda,JJ{y-^z)da,интегралы.Е = <|(x,T/,z) : х > О, т/> 0,'z > О Г*Е = < (x,2/,z) :>0, у > 0 , z > O J^ .336Гл. 13.
Поверхностные интегралы3. 11 (зх + ^z)da,Е = I (х,у,z) :ГГ4. / / ( x + lSy-f 24z)d(7,ж4-2//2 + г/3 = 1,^>0,г/>0, z > 0Гa; + 22/ + 3z = l,E=U2^,y»'^):a^>0, y > 0 , z > 0Ea;2 + у2 + 2:2 = 1, I5.zda,E = ^ (ж,2/,^) :6.{x + у Л- z) da,z>0IE = < (x, 2/, 2:) :2^>0, 2 / > 0 , ; ^ > 07. / b d c T ,E=: <(x,2/,2;):S.
JJ{x^Е=|(х,2/,г):9.+ y^)da,{xy-\-yz-\- zx)da,0<г< 1Jx2 + 2 / 2 - ^ 2 = 0, I0<z<lJE=<(x,2/,z):0<z < 110. [fV^^T^da,^={{x,y,z):JJIОтветы. 1. V3/120. 2. \/3/3. 3. 35/6.6. \/3/2.7. 12(1 + б\/3)7г/15.8. \/27г/2.x^ + 2/2 - 42;2 = 0,0 < z < 1/24.
\/Т4/2.5. 27г.9. 0. 10. \/57г/3.13-2. Интегралпо цилиндрической поверхностиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить поверхностный//интегралf{x,y,z)da,Егде Е — часть поверхностей х^ Л- у^ — г^, вырезаемаяZ — О и Z = h.плоскостями13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности337ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейныекоординаты^ ж = gcos^p,Z —Z.в этих координатах поверхность задается условиями5]= <(^,^,z):0<^<27Г, > .О < Z < /i2. Так какda == rd(pdz^то27Г/ / f{xjy^z)da=rEhd(f0f {r cos (f J r sin if, z)dz.03.
Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬповерхностный интеграл/ /{х'^ + у'^) da,где Е — часть поверхности ж^ + 2/^ = 1, вырезаемая плоскостямиг = 0, z = 2.РЕШЕНИЕ.1. Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейныекоординатыX = gcosip,у = gsinif,Z —Z.в этих координатах поверхность задается условиями0 < г <2Гл. 13. Поверхностные интегралы3382.
Так как da — 1 - c?(p(izHX^ + y^ = l, то имеем27Г11 {х^ -^y^)d(T=2d(ps0dz.03. Вычисляем повторный интеграл:27Г{х'^ + y^)da=2d^оdz = A7r.оОтвет.Условия ЗАДАЧ. Вычислить поверхностные1. / / xda,интегралы.z = 0, z = 2Е2. ll{xЕ+ y)dcT,+ z) dcr,x2 + 2/2 = 4,Е =ж^ + у^ = 1,Z = 0, Z =:= 1Е =2E5. ff{2-x^~y^)d(7,z = 0, 2; = 4E =S (a;, 2/,^) •x2 4- у2 = 2,z = 0,z = lS (ж, 2/, 2:) :x^ + y^ = hz = 0, z = 2E6. ff{x'^ + z)da,E =7. II y/^Vy^dcj,E=Ex'^-\-y^ = h;г = 0, z = 3x2 -f г/2 = 4,2 = 0, z = l13.3. Интеграл по сферической поверхностиI.}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
