164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Дифференциальные уравненияесли а± ib есть корень характеристического уравнения(З) кратности S, то2/ч.н. = х^ e''''[Pk{x) cosbx + Qk{x) s'mbx],где Pk{x) и Qk{x) — многочлены степени к = max{n,m} с неопределенными коэффициентами.4. Нсьходим неопределенные коэффициенты, подставляя т/ч.н. в исходное уравнение.Записываем ответ по формуле (1).ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решаются линейные дифференциальныеуравнения с постоянными коэффициентами любого порядка.ПРИМЕР.Найти общее решение линейного дифференциальногоуравненияу" -\-у = XsinX.(5)РЕШЕНИЕ.1. Записываем соответствуюш;ее однородное уравнениег/" + у = О(6)и иш;ем его решение в виде у — е^^, где Л — неизвестное число.Подставляя у = е^^, у' — \е^^ и у" = У^е^^ в уравнение (6) исокращая е^^, получаем характеристическое уравнениеЛ^ -h 1 = 0.2.
Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня Ai^2 = i^Имеем фундаментальную систему решенийУх •=• cos ж,у2 = sinxи общее решение однородного уравнения (6)Уо.о. = С\ cos ж + С2 sin ж.3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения(5). В нашем случае правая часть неоднородного уравнения имеетвид (4) с а = О, Ь = 1, 71 = О, m = 1.11.9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами277Так как характеристическое уравнение имеет комплексные корниа ± гЬ = ±i кратности s = 1 и max{n, т } = 1, то частное решениеищем в видеУч.н.
= x[{Aix-}- А2) cosX-\- {Bix-\- 52)sinx],где Ai, А2, Bi, B2 — неизвестные числа (неопределенные коэффициенты) .4. Находим неопределенные коэффициенты, дифференцируя г/ч.н.два раза и подставляя в уравнение (5).Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при cos ж,xcosx, sinx, ж sin а:, получаем четыре уравненияf2Ai -Ь 2Б2 = О,4Б1 = О,- 2 ^ 2 + 2Bi = О,- 4 A i = 1,из которых определяем Ai = —1/4, А2 = О, Bi = О, Б2 = 1/4.
Такимобразом,ХоX?/ч.н. — ~~г COS Ж + —sin Ж.По формуле (1) находим общее решение неоднородного уравненияXXу = Ci COS а; + С2 sin а; — - - cos ж + — sin х.Ответ, у = Ci cos х -\-C2smxXX~ cos х + -- sin х.44Условия ЗАДАЧ. Найти общие решения дифференциальных уравнений.1.yf' ^у = cosX.2.у" -\-у' -2у = 8sin2х.3.2/" - ^У' + 52/ = е^ cos 2х.4.у" + у = 3 sin х.5.у'' -\- у = 4:Х cos X.7.2/" - 4у = е^^ sin2x.9.2/" - 2/ = 2 sin X - 4 cos x.6.8.г/" - 9t/ = е^^ cos х.у" - 2г/ = 2xe^(cosx - sinx).10.
у" - ^y' + 252/ = 2 sin x + 3 cos x.278Гл,11. Дифференциальные уравненияОтветы.X1. у = Ci cos X -\- С2 sin X -\— sin х.22. у = Cie^ 4-С2е-2^ - - (3sin2x + cos2x).5X3. у = (Ci cos 2х + С2 sin 2ж) е^ -f •- е"^ sin 2ж.34. у = Ci cos ж 4- С2 sin ж — •- а: cos ж.5. 2/= CiCosa; + С г з ш х + xcosa; + x'^sina;.6. J/ = Ci e^^ + C2 e-3* + -5- e^'^(6sinx - cosx).О I7. 2/ = Cie-2^ +C2e2^ - -—(sin2x + 2cos2x).8. у = Ci e - ^ ^ + C 2 e ^ ^ + x e^ sin ж -f e^ cos x.9.
г/= Ci e^ + C2e~^ + 2со8ж - sinx.10. у — [C\ cos4a; + C2sin4x)e^^ -h - r r (14 cos ж + 5 sin ж).11Л0. Принцип суперпозицииПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения п - го порядка с постоянными коэффициентами(п)(1)У + РгУ^""'^^ + . . . -f Рп-1У' + РпУ = F{x),где F{x) = fi{x) + h{x) + . . . + Л(ж).ПЛАН РЕШЕНИЯ.Принцип суперпозиции.есть сумма нескольких функцийЕсли правая часть уравнения (1)^ ( ж ) = /1(ж) + /2(ж) + . . .
+ Л ( ж )И Yi (г = 1,2,..., /с) — какое-нибудь частное решение каждого уравнения(п)У+ Pi2/^"-'^ + . . . 4- Рп-1У' + РпУ = fi{x)(г = 1, 2 , . . . , к),(2)11.10. Принцип суперпозиции279то в силу линейности уравнения (1) его общее решение имеет видy = yo^Yi+Y2+ ... + Yk,(3)где уо — общее решение однородного уравнения(п)У+ Piy^""'^^ + . . . + Рп-1У' + РпУ = 0.1.
Находим фундаментальную систему решений и общее решение2/0 однородного уравнения.2. Для каждого неоднородного уравнения (2) (г = 1, 2 , . . . , fc) находим частное решение ¥{ (используя, например, метод подбора илиметод вариации произвольных постоянных).Записываем ответ в виде (3).ПРИМЕР.Найти общее решение линейного дифференциальногоуравненияу" - 1002/' - 20е^°"^ + 100 cos lOx.РЕШЕНИЕ.1. Записываем соответствующее однородное уравнениеу'" - Шу' = О(4)и ищем его решение в виде у = е^^, где Л — неизвестное число.Подставляя у = е^^, у' = Ле^^ и у'' = Л^е^^ в уравнение (4) исокращая е^^, получаем характеристическое уравнениеЛ^ - ЮОЛ = 0.Характеристическое уравнение имеет три корня Ai = О, Л2 = 10 иАз - - 1 0 .Таким образом, имеем фундаментальную систему решенийУ1 = 1,2/2 = e l O ^j/3 = e - i « ^И общее решение однородного уравненияУо = С1 + С2е10а: + Сзе-^^^.2. Решаем неоднородное уравнение, используя принцип суперпозиции:а) ищем частное решение Yi неоднородного уравненияу'" - ЮОу' = 206^^^(5)280Гл.11.
Дифференциальные уравненияв виде Ух = хАе^^^, где А — неопределенный коэффициент (таккак а-\- ib = 10 — корень характеристического уравнения кратности5 = 1).Дифференцируя Yi три раза и подставляя в уравнение (5), находим Л = 1/10. Таким образом,у:'=1.е^0х.10'б) ищем частное решение Уг неоднородного уравнения?/'"-1002/' = 100 cos 10х(6)в виде У2 = Bi cos Юж + В2 sin Юж, где Bi и В2 — неопределенныекоэффициенты (так как а ± г6 = ±10г не являются корнями характеристического уравнения, то множитель х отсутствует).Дифференцируя Уг три раза и подставляя в уравнение (6), находим Bi = О и В2 = —1/20.
Таким образом,У2 = - — s i n Юж.Используя принцип суперпозиции (3), получаему = J/0 + П + 1 2 = Ci + Сге^"» + Сзе-1°== + ^ е^"^ - ^ sin lOx.Ответ. y = Ci + Сге^о^ + Сзе-^^^ + ^ е^^^ - ^ sin lOx.У с л о в и я ЗАДАЧ. Найти общие решения дифференциальных уравнений.1.2/" + у ' = 5х-Ь2е^.2.у"-h 2г/'+ 2/= е"^ cosx 4-же"^.3.2/" - Зу' = X + cos X.5.2/"Ч-4г/ = 2 s i n 2 x - 3 c o s 2 a : - h l .7.г/" + 2/ = 2х cos ж cos 2х.^•y'"-f-2/" = а;^4-1 + За;е'^.4. у" - 2у' + Юу = sin Зж + е^.8.6.у" + 9у = хе^"" +2xsmx.у"' - Ъу" + %у' - 4у = 26^^ + Зе^^.10.
у'^-h 2у"-f-у = е"^ И-sin а:-f sin 2ж.11.11. Метод Лаграноюа281Ответы.2. y = {Ci + C2X+ —-cosx)e~''.D1XX3. у = Ci + Сч^^ - ---(со8ж + Ssinx) — - — -•.10691е^4. у = (Ci cos Ъх + Сг sin Зх) е^ + —(sin3a; + 6 cos Зж) Ч- —.о7УX1445. у — С\ cos2x И- C2sin2a: - -7(3sin2x -h 2cos2x) + - .6. у — C\ cos Зж + Сг sin За: + ~ж sin ж - --- cos ж + —• (Зх - 1) е^^.416547.
у = Ci cos ж + С2 sin X -f - cos ж + — sin X - -• cos 3x + — sin 3x.448328. y = Cxe" + (C2 + Сзх) e2^ + e^^ + ^ a^^e^^3 21 3 ^ 1 4 / 31510. у = (Cix + C2) cos X + (Сзж + C4) sin X + - e^ — - x^ sinX + - sin 2z.489l l . l l . Метод ЛагранжаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициент,амиу" +Piy' •^Р2У = f{x)с начальными(1)условиямиу{хо) = Уо,у\хо) = 2/0-(1')П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентамиу"-\-Р1у'+Р2У= 0.(2)282Гл.
11. Дифференциальные уравненияНаходим фундаментальную систему решений yi{x) и У2{х) и общеерешение однородного уравненияу = Ciyi{x) -^ С2У2{х).2. Применяем метод Лагранэюа (метод вариации произвольныхпостоянных).Если известна фундаментальная система решений yi{x), 2/2(^) однородного уравнения (2), то обш,ее решение соответствующего неоднородного уравнения (1) может быть найдено по формулеу = Ci{x) yi{x) + С2{х) У2{х),где функции С[{х) и С2{х) определяются из системы линейных алгебраических уравнений( С[{х)уг{х) +\C[ix)y[{x)С!,{х)у2{х)=0,+C!,ix)y',{x)^fix).Интегрируя, находим функции Ci{x) и С2{х) и записываем общее решение неоднородного уравнения.3.
Используя начальные условия (1'), находим решение задачиКоши.Записываем ответ в виде у = у{х).ПРИМЕР.Найти решение задачи Кошиу" + 2/ =COSXс начальными условиями у(0) = 1, у'{0) = 0.РЕШЕНИЕ.1. Записываем соответствующее однородное уравнение:У" + У^ 0.Находим фундаментальную систему решений yi = cos х и у2 = sinx иобщее решение однородного уравненияу = Ci cos X + С2 sin X.2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольныхпостоянных):11.11.
Метод Лагранэюа283а) ищем решение данного неоднородного уравнения в видеу = Ci{x)cosx4- C2(x)sinx;б) записываем систему уравнений для определения функций С[{х)и С!,{х):{С[ (ж) cos ж + С2 (х) sin ж = О,C[{x){—smx)4- C2(a;)cosa: = l / c o s x .Решая ее (так как решение иш;ем в окрестности точки а: = О, тоcos а: > 0), получимC[{x) = -tgx,С!,{х) = 1.Интегрируя, находимCi{x) = Incosx + Ci,С2{х) == ж + Сз;в) записываем полученное обш;ее решение данного неоднородногоуравненияу = (In cos х + CI) cos X -\- {х + С2) sin ж.3. Используя начальные условия, определяем константы С^ и С2.Так как2/(0) = (Incos О + Ci) cosO + (О -f с;) sinO = О,то Cj = 1 .
Так каку'(0) = (IncosO + Ci) sinO 4- ( - - ^ ) cosO -f sinO + (0 -f C^) cosO = 0,\ cos 0 /TO C2* = 0.Ответ. 2/= cosx(lncosa; + 1)-h xsinx.Условия ЗАДАЧ. Найти решения задач Коши для, дифференциальных уравнений.1. 2/" + 2у' + у = — ,X2/(1) = О,у'(1)=0.Гл. 11. Дифференциальные уравнения2842. у" + уsmx2/(0) = О,2/'(0) = - 2 .2/(0) = О,2/'(0) = 0.У(0) = 2,2/'(0) = 1.2/(1) = е,2/'(1) = Зе.7. 2/"-2/ = t h x ,2/(0) = 2 + ^ ,у'(0) = 1.8. у" -2уу(0) = 3,у'(0) = 0.2/(1) = е - 4 ,у'(1) = е - 2 .у(-1) = - - 1 ,еу'(-1) = - - 1 .е3. y" + 4y = 2tgx,4. у" + Ау =1cos 2а;5. y" + j/ = tgx,6.
у" -2у'+ у = —,X= Ах'^е''\9. у " - у =10. у" -2у-\-у4x2 + 1Ху/ха;2 + 2а; + 2=Ответы.1. 2/ = (1 — хН- xlnx) е~^.^7Г..1I.I2.2/ = — cos а: + sm ж — х cos х 4- sin ж In | sm ж|.3. 2/ = —X cos 2х — - sin 2х + sin2хIn | cosх\.111^4. w = -- cos 2х In cos 2х + — sin 2х.42-I/X7Г\|Ъ.у — cos X + sm X 4- cos In ctg 177 + т I •6. ?/ = X e^ (1 + Inx).7. у = {f 4- e-^)(l + arctge^).8. у = e ^ ^ -f e " ^ ^ + e^'.9. у = e^ - 4 у ^ .10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
