164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Находим область сходимости ряда.По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством1/(^)1 < 1Если /(х) = ± 1 , ряд расходится (не выполнено необходимое условиесходимости). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами — 1 < f{x) < 1.242Гл. 10. Ряды2.
Делаем в исходном ряде замену f{x) = t и записываем его ввиде суммы двух рядов^ п Г + Ь^Г.п=кп=кСледовательно, достаточно найти суммы рядовоос»п—кп=к3. Известна формула для суммы членов бесконечно убывающейгеометрической прогрессиисо,]^n=fc4. Кроме того, имеем очевидное равенствосх)оосоп=кп=кп~к,5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (1),получаемОС^rJ°^г1dt^^n=k+кdt 1-t'^' ^n=k6.
Вычисляем производную и делаем замену t на f{x).Записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИряд имеет видооJ2{n' + bn + c)f{xr,п=кТО вычисляем сумму трех рядов, причем при вычислении суммы рядаE"VW"п—к10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием243применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ряда дважды.ПРИМЕР.Найти сумму рядаооji -г u;u;Inn=0и указать область сходимости ряда к этой сумме.РЕШЕНИЕ.1.
Находим область сходимости ряда.По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством |ж^| < 1. Отсюда — 1 < ж < 1. В граничных точках х = ± 1 рядрасходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.Следовательно, ряд сходится в интервале ( — 1,1).2. Делаем в исходном ряде замену х'^ = t и записываем его в видесуммы двух рядовсюооS{t) = б ^г + ^n=0nt" = 6Si{t) + S2{t).n=0Следовательно, достаточно найти суммы рядовооооn=0n=l3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечноубывающей геометрической прогрессии:ооЕ^' = г ^ '(2)w<i.п=0Следовательно, Si{t) =при всех t G (—1,1).4. Кроме того, имеем очевидное равенствоооооооп=1п=1п=1J244Гл.
10. Ряды5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (2),получаемn=lп~1^'Таким образом.S{t) = 63г{Ь) + S,{t) = Y ^ + ( Y ^ ^ W=W'* ^ ^"^' ^^'Заменяя t на x'^ ^ получим6 — 5ж^Ответ. 5 ( a : ) - — - - ^ ,же(-1,1).У с л о в и я ЗАДАЧ. Найти суммы функциональных рядов и указатьобласти их сходимости к этим суммам.оо1.^па;"+Ч2.п=1П=1ООоо3. п=05Z("+i)^'"^'-4-5.6.9.^п2"х".п=1П=1^viLli2^1.f2^.Е^n^x-i.n=0n=l0000n=0n=l^ n ( n + 2)x".n=l10.3П-1п=1^n(a:^ + l ) " - \n=l10.13. Ряд Тейлора245Ответы.х^2х1-5 = 7 г ^ ^ -е(-1Д)-2-5 = 7 r f i : ; ^ > - e ( - i , ^ ) -3-'5 = 7Т—3W' ^e(-i.i)-_9_4.5 = ^——^,хе(-з,з).161 +ж^•^ = Ц ^ ^ ' а:е(-1,1).10.5 = ^ ,xG(-^,o).10.13.
Р я д ТейлораПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Разложить функцию f{x) в ряд Тейлорапо степеням х [XQ = 0).П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Преобразуем функцию f{x) к виду, допускающему использование табличных разложений е^, sina:, cos ж, (1 + ж)"^, 1п(1 + х).2. Находим разложение функции в ряд Тейлора, используя табличные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда начисло.3.
Определяем область сходимости полученного ряда к функции /(ж).ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ необходимо разложить функцию в ряд Тейлорапо степеням ж — жо, сначала делаем замену переменной t = ж — жо,находим разложение по степеням t и возвращаемся к переменной ж.ПРИМЕР. Разложить функцию2 - ж - ж2в ряд Тейлора по степеням ж (жо = 0).246Гл. 10. РядыРЕШЕНИЕ.1. Чтобы использовать табличные разложения, разложим даннуюфункцию на элементарные дроби:11- X '2-х~х'^1х-\-2'2.
Используя табличное разложение1_ _°°= 1 + 1 +1^ + ... + Г + ... - ^ Г ,te(-1,1),п=0получим1°^- — = $]x^1- . тX ~1 —^—'xG(-i,i),п=0п=0^ ^ 11_ 1 ^ ( - i r x - ^ - {-1Гх^^/99.ПZ ^^ 29.П+12 +. ж29. 11 -+4 -ж/229 ^Z ^2"'п=0а:е(~22)'-^^l^'^^п=0Таким образом,_ ^ _ ^2 ~ 2-^ 1 ^ "^ 9пН ^ • ^3. Областью сходимости полученного ряда является пересечениевышеуказанных областей сходимости, т.е. (—1,1) П (—2,2) = (—1,1).n=0 ^^У с л о в и я ЗАДАЧ.
Разложить функции в ряды Тейлора [XQ = 0).±.3.^6 — ж — ж-^/'^\sin(x + - ) .2.1п(1-2:-20х2).4.05.X3 + 2ж'7.же2^^+1.9.In(12x2-h7x + l).6.^16 4-х.^27-X*10.соз^Зх.10.14. Приблиоюепные вычисления с помощью рядов247Ответы.1- Е (Зп+1^+У?- ) - " . хе(-2,2).2^"^-'п=0оо2- Е(_1)п-14п_5п ^ж'%1 1Xе"5'5п=13- f Е 7 ^ ^ - - + ^ Е ^ ^ - >п=0 ''4. ^ ,g>(-l)"(2n-l)!!.,,„^,а;'"+\3 ' ^-^_ 15 V ^"-^^ ^Z-^п=0ж €(-3,3).п!2"32"+1п=1( - ! &.е(-.,..).'3 3жG"2'2Чп+1• ^^|^В-'г-'^'"•:•!;""''-'•-<^|-'».1Ч.п=22П7. е ^ — х 2 ^ + \ж€(-оо,+оо).п=0'• ^3 E' " ! .п!34^+1. i ! r - V .е(-2Г,.П.' ^п=19- Е(-1)4» + 3" „п/ 1 1\ 4 4\П(У2П( —1)"610.14.
Приближенные вычисленияс помощью степенных рядовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислитьинтеграло6f{x) dx/•ос т,очност,ъю а, г(9е f{x) разлоэюима в степенной ряд, имеющий радиус сходимост,и R > Ь.248Гл. 10. РядыПЛАН РЕШЕНИЯ. Практические вычисления обычно сводятся ксуммированию того или иного числового ряда. В данном случае такой ряд получается, если разложить подынтегральное выражение встепенной ряд и проинтегрировать его почленно.1. Разлагаем подынтегральную функцию в степенной ряд по степеням X/W = X^Cnx"",n=0и определяем его область сходимости.2. Степенной ряд можно интегрировать почленно по любому отрезку, принадлежащему интервалу сходимости. Поэтому, интегрируя почленно полученный ряд и используя формулу Ньютона-Лейбница, получаемf{x) dx=Y^^"^" dx = Y^Cn - — т .3.
Вычисляем сумму числового ряда с заданной точностью (оценивал остаток ряда).ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ разложить подынтегральную функцию в рядне по степеням ж, а по степеням ее — 6/2, то ряд будет сходится быстрее, т.е. для обеспечения заданной точности может потребоватьсяменьше слагаемых, однако в итоге вычисления оказываются болеесложными.П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬинтеграл0,1/ •cos(lOOx^) dxос точностью а = о, 001.РЕШЕНИЕ.1. Разлагаем подынтегральную функцию в ряд Тейлора по степе-10.14.
Приближенные вычисления с помощью рядов249ням х:/1ПП 2х,(102^2)2(102а:2)4^ /(lO^rr^)^^п=0(2п)!^ ^^п=0^^(2п)! •^^Разложение справедливо при всех х.2. Интегрируем почленно полученный ряд:0,10,1оо '^~^п=00,1^~^^^"Jоп=0 ^/V/3. Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся,11dn" = 77771м > ^п+110(4n +, 1\/г>l)(2n)!" ^ ' = 10(4п + 5)(2п + 2)!и limn->oo ttn = О, то справедливо неравенство\Rn\ < dn+l =110(4n + 5)(2n + 2)!Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточновзять два члена ряда, так как4.
Производя вычисления, получаем0,1I cos(100x2) d x ^ ^ - Y ^ T ^ = 0,090.о0,1Ответ.1 со8(100ж2) dx ^ 0,090 ± 0,001.250Гл. 10. РядыУ с л о в и я ЗАДАЧ. Вычислить интегралы с точностью а = 0,001.11.1/ е""^ dx.о2.0,53.//о0,5jdx.4.J 1 + х^о/ \ / l + х^ dx.J "^о0,52/35. je^-'U..6^О1ш^'о17./1dx.J VTT^0уД/39.sinx'^dx./ x^SiTctgxdx.JОтветы.
1 . 5 ^ 0 , 7 4 7 .8./\/xcosxdx.J0110. / ^,Jdx.V^T^2 . 5 ^ 0 , 3 1 0 . 3 . 5 = 0,494. 4 . 5 ^ 0 , 1 9 0 .5.5^0,508. 6.5^0,490. 7.5^0,662. 8.5^0,608.10. 5 ^ 0 , 4 9 5 .9.5^0,012.Г л а в а 11ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯПри изучении темы ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ выпознакомитесь с различными типами уравнений первого и второгопорядков и освоите методы их решения. Вы изучите линейные уравнения с постоянными коэффициентами, структуру их общего решения и методы его нахождения (метод Эйлера, метод подбора частныхрешений, метод Лагранжа).С помош;ью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить интегралы, решить системы уравнений, продифференцировать найденныерешения и выполнить численные расчеты (например, при решениизадачи Коши), а также проверить полученные вами результаты.11.1.
Понятие рехпенияПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Доказать, что функция у — у{х) удовлет^воряет дифференциальному уравнению F{x^y,y') = 0.П Л А Н РЕШЕНИЯ.Для доказательства того, что функция у = у{х) удовлетворяетуравнению F{x^y^y') = О, достаточно вычислить производную у'{х)^подставить у(х) и у'{х) в это уравнение и убедиться в том, что получается тождество, т.е.
F(x^y{x)^y'{x)) = О для всех допустимых х.ПРИМЕР.Доказать, что функция у — —^х^ — х'^ удовлетворяетуравнению/^ууРЕШЕНИЕ.2-у4^х.Имеем,_х(2х^ - 1)Подставим у и у^ в левую часть уравнения и проведем необходимые252Гл.11. Дифференциальные уравненияпреобразования:xf-y/^^^'^)(-Щ£^]-{х"" -х^) = х{2х^ -х) -хЧх^== х\Получаем тождество х"^ = х"^.Ответ.нению.Функция у = —\/х^ — х^ удовлетворяет заданному уравУ с л о в и я ЗАДАЧ. Доказать, что функция у = у{х)ряет дифференциальному уравнению f{x^y^y') — 0.1.?/ = же~^/^,3.у = x\J\ — ж^,уу^ = X — 2х^.4.у = л/ж^ — еж,(ж^ + y'^)dx — 2xydy = 0.5.2/= e*s^^/^^6.у=.
,ху'= (1~ х'^)у.2/'sina; = 2/l^l2/•y - z y ' = 6(l + x^y')•7.y=-V2/z2-l,8.2/=9.2/ = е^+^^ + 2е^,10.2/ = 2 + с \ / 1 - ж 2 ,ГТ'удовлетво1 + у2+хуу'=0.У-Ж2/ = а ( 1 4 - ж у ).у' - у = 2же^+^'.(1-а:2)г/'-Ьж2/ = 2а:.11.2. Уравненияс разделяющимися переменнымиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти интегральные кривые дифференциального уравнения видаE{x)F{y)dx= G{x)H{y)dy.(1)11.2. Уравнения с разделяющимися переменными253П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. В области, где G{x) 7^ О и F{y) ф О разделяем переменные, т.е.представляем уравнение (1) в виде2. Вычислим интегралы в уравнении^н.„_ {^ь)/Ш-/dyи преобразуем его к виду ^[х., у) = С.3.
Ответ записываем в таком виде: интегральные кривые определяются уравнением (р{х,у) = С при всевозможных значениях С.ЗАМЕЧАНИЕ.ЕСЛИ ОДНО ИЛИ оба уравнения G{x) = О и F{y) = Оимеют решения ж 1, Ж2,... иух, у2) • • •? то равенствах = xi, ж = Х2,... иу = yi^y = У2,' • - нужно присоединить к ответу, так как они являютсяинтегральными кривыми дифференциального уравнения (1).ПРИМЕР.Найти интегральные кривые дифференциального уравнениябх dx - Qydy = 2x^2/ dy - Зху^ dx.РЕШЕНИЕ.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
