164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1. 5 = 2. 2. 5 = 1.3. 5 = 2. 4. 5 = 2.6 . 5 = 23. 7 . 5 = 1. 8 . 5 = 4. 9 . 5 = 2. 1 0 . 5 = 1.5. 5 = 11.Гл. 10. Ряды21410.2. Первая теорема сравненияПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Исследовать сходимость ряда с неотри-цат^ельными членамиоогде an = f{n, ui{n),U2{n)^,..) и ui{n),U2{n),...— функции с известными наименьшими и наибольшими значениями {например^ синус, косинус и т,.п.), причем функция f монотонно зависит от. uiyU2,...ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Проверяем, что limn-).oo ^^ = О (если lim„_).oo а^ т^ О, то рядрасходится, так как не выполнено необходимое условие сходимостиряда).2. Поскольку an > О, применяем первую теорему сравнения.Пусть даны два ряда с неотрицательными членами ^n=i ^^^Если an < Ьп', то из сходимости ряда Y^^=\^n следует сходимость ряда Х]п=1 ^»^*Если an > Ьп, то из расходимости ряда Yl^=i^nдимость ряда ^ ^ 1 а^п'следует расхо3.
Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данногоряда, мы должны установить справедливость одной из двух гипотез(проверяем их в любом порядке).I. Исходный ряд Y^^=i dn сходится.П. Исходный ряд Yl^=i ^п расходится.I. Проверяем первую гипотезу. Чтобы установить, что исходный^^1 an сходится, нужно найти с х о д я щ и й с я ряд }_^n=i ^^ ^^~кой, чтоan < Ьп.(1)В качестве эталонного ряда Yl^:=i^n используем один из следующихрядов:а) сходящийся гармонический ряд У2^-л — при р > 1;10.2. Первая теорема сравненияб) сходящийся геометрический ряд(с — некоторое положительное число).215] C ^ i ^Q^ ^Р^ О < ^ < 1Если существует сходящийся ряд Yl^=i ^п такой, что выполняется неравенство (1), то по первой теореме сравнения исходный рядYl^=i ^п сходится, в противном случае, проверяем вторую гипотезу.П. Чтобы установить, что исходный ряд Yl^=i^n расходится, надонайти р а с х о д я щ и й с я ряд Yl^=i ^п такой, что0'п>Ьп-(2)В качестве эталонного ряда Yl^=i ^п используем один из следующихрядов:а) расходящийся гармонический ряд Y^^=i — при р < 1;б) расходящийся геометрический ряд(с — некоторое положительное число).X ^ ^ i eg"приq > 1Если существует расходящийся ряд Y^'^=i ^п такой, что выполняется неравенство (2), то по первой теореме сравнения исходный рядS ^ i ^п расходится.ЗАМЕЧАНИЕ.
ДЛЯоценки общего члена ряда используем неравенства:—1 < cosn < 1,—1 < sinn < 1,7Г7Г1 < Inn < пГ (Vp > 0), -J < arctgn < — и т. п.ПРИМЕР.Исследовать сходимость ряда^n=ln2(2 + sinn)'^^РЕШЕНИЕ.1. Имеемl i m —Г-—:г = О,т.е.
необходимое условие сходимости ряда выполнено.216Гл. 10. Рлды2. Так как - 1 < sinn < 1 и 1 < 2 -f sinn < 3 при всех п > 1 и^^^^'71^(2 -Ь sinn)>0,то можно применить первую теорему сравнения.3. Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данногоряда, мы должны установить справедливость одной из двух гипотез(проверяем в любом порядке).I. Исходный ряд X ^ ^ i 0"п сходится.Поскольку —1 < sinn < 1, имеем 1 < 2+sinn < 3, y/ri^ -\-1 < 2п^/^,и, следовательно,лЛ^з^Г!n2(2 + sinn)2пЗ/2т?п^/2*Так как рядоог.п=1расходится как гармонический с р = 1/2 < 1, то гипотеза о сходимости исходного ряда не подтвердилась.Проверяем вторую гипотезу.П.
Исходный ряд Yl^=i ^п расходится.Поскольку — 1 < sinn < 1, имеем 1 < 2 -h sinn < 3, л/п^ -f 1 > vn^,и, следовательно,^^пЗ/2_n2(2 + sinn) - Зп21...Зп1/2-Так как ряд, 3nV2n=lрасходится как гармонический с р = 1/2 < 1, то в силу неравенства(3) по первой теореме сравнения расходится и исходный ряд.у/п^ + 2Ответ. Ряд ЕГ=1-^ТоТТТГ::^n2(2-fsinn)расходится.10.3. Вторая теорема сравнения217Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.у^^arctg(n^)n(n + 2)(n + 3)'n=l^"^ ^*^п=11г~^ 2 4- cos п^ ^ п"^ In пп=1п=2п=1оо5 — 2 COS п5/3•^-^v-^ 2 + Sin п2^ ^ П(п2 + 3)' •п=1 ^оv ^ cos^n,соY^ ^^^n=l ^Q^ ^ 4 —2sinn^n-lnn •жn=l v nоn=lInn^^-t- 1v^Inn^^^[^/пТЗОтветы.
1. Ряд сходится.2. Ряд расходится.3. Рядсходится.4. Ряд расходится.5. Ряд расходится.6. Рядсходится. 7. Ряд сходится. 8. Ряд сходится. 9. Ряд сходится.10. Ряд расходится.10.3. Вторая теорема сравненияПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Исследовать сходимость ряда с полоэюи-т,ельными членамиооп=1П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Проверяем, что limn_>oo <in = О (если lim„_^oo ctn ¥" О? то рядрасходится, TcLK как не выполнено необходимое условие сходимостиряда).2.
Проверяем, что а^ > О для всех п > 1.3. Делаем вывод о сходимости или расходимости данного ряда,используя вторую {предельную) теорему сравнения.218Гл. 10. РядыПусть даны два ряда Х^^х^п? X ) ^ i ^п) причем существуетпомер N такощ что при всех n>N ап>0 ubn>0.Если сущесппвует конечный и отличный от нуля пределlim — ,n—>оо 0 ^то ряды Yl^z=i ^п и S ^ i ^п либо оба сходятся^ либо оба расходятся.В качестве эталонного ряда Yl^=i ^п используем гармоническийряд Yl^=i —? который сходится при р > 1 и расходится при р < 1,или геометрический ряд X ^ ^ i сд*^ {q > 0), который сходится приq < 1 и расходится при g > 1. Таким образом, нужно найти последовательность А/п^ (или Bq"^) такую, чтоOn ~ — (или an ~ Bq^) при п -> оо.пРВывод: по второй теореме сравнения исходный ряд сходится, еслир > 1 (gf < 1), и расходится, если р < I {q> I).ПРИМЕР.Исследовать сходимость рядаооЕ arcsm __^П(гг2 + 3)5/2 •РЕШЕНИЕ.1.
Имеемlim arcsin --z—TTT-JT; == 0.n->oo(п2 + 3)5/22. Проверяем, что члены данного ряда положительны. Действительно,пarcsm —~т—-ттт^ > О(п2 -f- 3)5/2при всех п > 1, так как п/{п'^ -h 3)^/2 е (0,1).3. Делаем вывод о сходимости или расходимости данного ряда,используя вторую (предельную) теорему сравнения.Имеемп14arcsm (п2^ ^ -f^ 3)5/2n\F./o ^ ^"~4^Р^ п -> оо.Рядп=110.4. Признак Даламбера219сходится как гармонический с р = 4 > 1. Следовательно, в силу второй (предельной) теоремы сравнения исходный ряд также сходится.Ответ. РядЕГ=:1 ^J^csin^^^^ сходится.Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.1.y^ln^^^T-.2.п=1п=1оо3.У^ п f 1 - cos 4г Vоо2 J ^^'^ arctg —.4.-Y^ n^ sin -3-=n=lсюP:5.V ^ i ^ ^ + 3> nln—5 - .^n4 + 26.n=l^7.9.^>3-+ПzZ-.^8.^ .n+ 3n=l^> sm-—;-T-r.^^n(n + 2)3^ 3 ^.
n^ + l> V^arcsm—^—-.n=ln=l0000En^(eV-^-l).-^10. E"tg'^-n=ln=lОтветы. 1. Ряд сходится. 2. Ряд сходится. 3. Ряд сходится.4. Ряд расходится. 5. Ряд сходится. 6. Ряд сходится. 7. Рядсходится. 8. Ряд сходится. 9. Ряд расходится. 10. Ряд сходится.10.4. Признак ДаламбераПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Исследовать сходимость ряда с полоэюи-тельными членамиооп=1где an ^ Ьп и Ьп содерэюит произведения многих сомнооюит^елей{например., факппориалы).ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ при вычислении пределап—^ооOn220Гл.
10. Рядыможно сократить многие множители в числителе и знаменателе дробиbn-\-i/bny то обычно применяют признак Даламбера.Пусть дан ряд с полоэюителъными членамис»п=1Если существуетпределlim —— = д,п->ооOnто при Q < 1 ряд сходится, при д > 1 расходится. (Если ^ = 1, топризнак Даламбера ответа не дает.)1. Проверяем, что а„ > О при всех п > 1.2. Упрощаем, если требуется, выражение для а^, т.е.
будем исследовать сходимость ряда X l ^ i ^п такого, что а^ ~ Ьп при п —> оо, азатем воспользуемся второй теоремой сравнения.3. Вычисляем bn+i4. Вычисляем пределl i m % : i = ,.(1)5. Применяем признак Даламбера и вторую теорему сравнения.ЕслитеоремеЕслитеореме^ < 1, ряд Yl^=i ^п сходится. Следовательно, по второйсравнения сходится и исходный ряд Yl^=i ^п^ > 1, ряд Yl^-i Ьп расходится. Следовательно, по второйсравнения расходится и исходный ряд X ) ^ i ^п-ПРИМЕР.Исследовать сходимость рядаоо^i1.• 44 .• Y7 ••.. .. .
••{6П(3n—- Z)2),^sm -n=lРЕШЕНИЕ.1. Проверяем, что члены ряда положительны.а„ =при всех п > 1.1.4.7- ... • (Зп -•2 ) . 1— sin 2 ^ > 0п!Действительно,10.4. Признак Даламбера2212. Поскольку sinx ~ X при ж ^ О, можно упростить выражениедля an'.Ь 4 • 7 > ...» (Згг - 2) . _ 1 _п!^^^ 2^+1 ""Ь 4 • 7 • . . . • (Зп - 2)2^^+1гг!т.е.
будем исследовать сходимость ряда X ^ ^ i ^п? где_ 1 • 4 • 7 • . . . • (Зп - 2)2-+1п!и затем воспользуемся второй теоремой сравнения.Поскольку Ьп содержит произведения сомножителей типа факториалов, следует применить признак Даламбера.3. Вычисляем bn-{-i'_ 1 • 4 • 7 • . . . • (Зп - 2)»(Зп -f 1)Ьп+12^+2(гг + 1)!4.
Вычисляем д по формуле (1)Q = hm —— =n—>oo} ^Ofi1. 4 • 7 • . . . • (3n - 2) • (3n -f 1)2"+in!2"+2(n + 1)!1 • 4 . 7 • . . . • (3n - 2)=3n + 13n->oo2(n+l)2lim -7-7 =-.5. Применяем признак Даламбера и вторую теорему сравнения.Так как д = 3/2 > 1, то ряду > Ь 4 • 7 •.. • • (Зп - 2)п=1расходится. Следовательно, по второй теореме сравнения расходитсяи исходный ряд.v ^ 1 • 4 . 7 •... • (Зп - 2) . 1Ответ. Ряд 2^jsm ^^^ расходится.п=1222Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
