164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Применяем формулу замены переменной в неопределенном интегралег/(/?(sinx,cosx)dx = y2t1 — t^\fl(^3T7^,3^^j23-^df.3. Вычисляем первообразную радиональной функции t и возвращаемся к переменной ж, подставляя t = tg (х/2).ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ подынтегральная функция имеет специальныйвид, то лучше применить подстановки, требующие меньше вычислений:а) еслиi?(sin X, cos х) = jRi (sin ж, cos^ х) cos х,то применяем подстановку t = sinx. Действительно, подынтегральное выражение приобретает видiii(sinx, cos^x)cosxdx = i?i(t, 1 —t^) dt;б) если-R(sin X, cos x) = i?2(sin^ x, cos x) sin x,TO применяем подстановку t = cosx.
Действительно, подынтегральное выражение приобретает видi?2(sin^ X, cosх) sinx dx = — i?2(l — ^^) 0 dt]в) еслиi?(sinx,cosx) = il3(tgx),TO применяем подстановку t = tg x. Действительно, подынтегральноевыражение приобретает видRs{tgx)dx =ПРИМЕРR3{t)j^dt.1. Найти неопределенный интегралsinx/ 2 -f sin Xdx.7.6. Интегрирование тригонометрических выраоюений163РЕШЕНИЕ.1. Сделаем подстановку t = tg {х/2).Подставляя в подынтегральное выраокение2t,2получим2t2 + sina;dx =„ ,^l^2tт dt = v-TГ7-^ -г dt.1 + <2(f2 + f + 1)(^2 + i)2.
Применяем формулу замены переменной в неопределенном интегралеsinx_ Г2t/IT^^J WTrrWTT)3. Вычисляем первообразную рациональной функции t:2t42t Н-1-= arctgС(t2 + t + l)(t2-f 1) dt = 2 arctg"* t x/3^ —j=—hv/3IВозвращаемся к переменной x, подставляя t = tg (ж/2):sinx ^dx = x2 +sinx4^ 2tg(a;/2)H-l^7= arctg ^^ ^^^+ С\/3\/3/" sinx,Ответ. /dx = XJ 2 + sinx42tg(x/2) + l^7= arctg ^^ V+ C.уДV3/ПРИМЕР2. Найти неопределенный интеграл/3tg2x - 1•tg^x + 5dx.РЕШЕНИЕ.1. Так как подынтегральная функция имеет вид i?(tgx), сделаемподстановку tg х = t.Подставляя в подынтегральное выражениеtgx = t,dx =dt—^,164Гл. 7. Неопределенный интегралполучим3tgV-J._ 3t^ - 112. Применяем формулу замены переменной в неопределенном интегралеf 3tg^a; - 1У tg2a; + 5_ fZt^-l1У i2 + 5 1 + <24.
Вычисляем первообразную рациональной функции t:/3f2-l.4t6?t = —arctgt H—parctg --^ + С(^2 + 5)(1 + ^2)^ч/5"^ч/бВозвращаемся к переменной х, подставляя t = tgx:3tg2x-l ,^ + 5 dx = -x-^/ tg^x4(tgx\-7=arctg^V5V- \/5^+ С/*3tg2x-l ,4/tgx\^Ответ. / —5ax = -X H—;=arctg -—=r + 0 .У tg^x + 5у/Ъ\у/ъ)Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные/3.интегралы.dx~.2 sin X - cos X - 12.Сdx/.J cos 2x - sin 2x^^4./J COS X + 2 sin X -f 3fdx/.7 4 cos X - 3 sin X - 5^У 2 - sin X/" 2 sin X -f 3 cos x/ —7ydx,J sin x cos x + 9 cos^ x7.Гdx--7Г-.У 1 + sin^x8.^9.fdx,/ -: Trdx.J sinx(l-f cosx),^ /" cosx,10. /dx,J 14-cosx5.^f/.6.r.^^•f cos^ X Ч- cos^ X ,T-TT-dx.XУ srn^ X + sin^/ —-;7.7.
Интегрированиетригонометрическихеыраж.ений165Ответы.1. - Ь 2 t g - - i | + a2\/2Intgz + H - \ / 2tga; + l - \ / 2сX+а\2tg--l3. axctg ( l + tg I ) + С"-4. -j= arctg5. 2 ( 3 + 9 t g | ) " 4 c .6. ln(tg2a; + 9) + a r c t g f ^ ^ + a7. —=arctg ( \/2tga;) + С 8. sin жV2V/„ 1 , 1 — cos X9. T In r +4 l + cosa; 2(1 +cos ж) + aч/З:sinx+а6 arctg (sin ж) + С.10. x-tg-+ C.7.7. Интегрирование выраженийsin^"^ X cos^" XПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти неопределенныйинтегралI'зт^'^хсов^'^хйх,где т^п — натуральные числа.П Л А Н РЕШЕНИЯ.Применяем формулы понижения степениsin^a: = - ( 1 — cos2a:),cos^ ж = - ( 1 4-cos2a;),Zi£jsinxcosrr = - sin2a:Ztдо тех пор, пока не придем к табличным интегралам или к интегралам, которые известным образом сводятся к табличным.ПРИМЕР.Найти неопределенный интегралhsin^ Ъх cos"^ За; dx.РЕШЕНИЕ.Применяя формулы понижения степени, имеем/ sin^ Ъх cos"^ Ъх dx = 2~^ / (2 sin За; cos За;)'* dx =166Гл.
7. Неопределенный интеграл= 2"^ I sin^ 6х dx = 2"^ [{1 - cos 12ж)2 dx == 2-^ j dx-2"^ f cos 12x dx + 2"^ f cos^ 12x dx =2~^Г= 2~^x - — - sin 12x + 2""'^ / (1 + cos 24x) dx == 2"^x - - — sin 12x + 2"'^x -f 2~'^ / cos 24x dx =2~^2~^= 2~^x - —-- sin 12x + 2"'^x H- — - sin 24x + С1224Ответ.311/ sin^ 3x cos"* 3xdx = 27^ - 3T27 si^l2^ + 37210 sm24x + C.Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные1./ cos^2xdx.3./ cos^ — dx.5./sin«2.cix.7./ cos'^xsin^xdx.9./ sin^ X cos^ X dx.2.4.интегралы./ cos^Sxdx./ sin"^ 4x dx.6./sin^8.cos^8.dx.8./ cos^ x sin"* x dx.10. / sin^ x cos"* x dx.Ответы.Xsin4x^1- 2 + - ^ + ^-^5xsinGxsinl2xsin^ 6x^2- 1б+-12- + ^ ^ - Ч 4 Г + ^-7.8. Интегрирование иррациональных выраоюений^Зхsin а:sin 2а:^,'• Т + -2-+ Чб-+^-ЗхsinSxsinlGx167^^- Т - Ч Г - + Ч2Г+^-^ 5хsin 4а; 3sin8xsin^ 4ж ^^ х5.+++ С.6.168128968Xsin 4а; sin^ 2хо ^^^^ ^^^- 16 ~ ~ б Г + ~ 4 8 ~ + ^^- 1 б ~ ~ 6 4Зжsin 4ж sin 8а; sin^ 2а;256 ~ 256 "^ 2048 "^ 320 ^ 'Зхsin 4ж sin 8а; sin^ 2х' 256 ~ 256 "^ 2048320 "^ 'sin 32а;^+ С.256^^^^ ^^ г^4 8 ~ + ^-7.8.
Интегрирование выраженийЩхр ах-\-Ьа ax-\-b' У cx+d^ V cx+d^ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти неопределенный/я(х. ^аа; + 6сх + dq ах -f ЬV са; 4- б^где R — рациональная функция и p^q^...интеграл.— нат,уральные числа.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. С помощью подстановкиах -\-Ьсх + dГ,где п — общий знаменатель дробей 1/р, 1/д,..., приходим к интегралам от рациональных функций.2. Вычисляем первообразную рациональной функции t и возвраnlax + bщаемся к переменной х, подставляя t = \-.V сх 4- аПРИМЕР.Найти неопределенный интегралI(VST24^2+- 4ч/2^=^)(хX - у/2Тх+ 2)2dx.168Гл. 7.
Неопределенный интегралРЕШЕНИЕ.1. Чтобы сделать подстановку, приводящую к интегралу от рациональной функции, нужно преобразовать подынтегральную функцию так, чтобы она содержала корни любой степени, но из о д н о г ои т о г о ж е выражения вида пт -41^-hПреобразуем подынтегральное выражение, выделяя Л/А Т ^ :2-хdx2. Применяем подстановку t — \2-х:Делая замену переменной в неопределенном интеграле, получаемJl^-i3. Вычисляем первообразную рациональной функции t:J4t+l2[J\2)^274i + lJ\^eЛ^t + ^^ы\u + l\ + c.Возвращаемся к переменной x, подставляя t = \l2-х.Z ~t~ X/^V2-^-V2 + x,—• ax =+ Ay/2^^){x + 2)2J ({VxT2V^Ответ. / ^ ,12-x42 + x1/2-Жl , / .
/ 2 - ^И4 V 2 + x + —In16 \ 4VW2 —+—x -Ы^+ a7.9. Интегрирование иррациональных выраоюенийУсловия ЗАДАЧ. Найти неопределенныеIу/2х - 1 dx^/^i^. /уг {x + Z)dx6-I zV2x + 3'ЦтГгинтегралы.dxУ Vx + i + V ( x + 1 ) 3 'J ~^/хП/х'X169с/ж8^/FHTS-I+ 8)(1Ч- ^§/^Т8)б?Ж.(2-а;)\/Г^I X\-dx.J\ x+l(^'^У V(x - 7)Чх - ъу''•1-х+1)2 - ч / ^ + Тс?ж.Ответы.1.
(1 + \/2х ~ \f -f ln( v^2x - 1 - 1)2 + С. 2. 2 arctg \ / ^ n + С.3. 6 ^ + 3 ^ 4 - 2 v ^ - 6 1 n ( l - f ^ ) + a+ C.5.V2a; + 34.- 2 arctg yj\-x6.yJx'^ - 11/^(x-2) + ~ln|x+\/x2-l| + aX+ c.1/6-3-739. 6 a r c t g ^ ^ ^ T 8 - 6 1 n ^ / ^ T 8 + 3 1 n | l + ^ ^ i T 8 | + a10. In2л/х + 1 + 1( y / J T T - i ) -" •- - ^ arctg+ч/ЗX + 2 +v/xTIX+aa7.9. Интегрирование выраженийПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.а)Найти неопределенные интегралы вида:/ i^(x, V а^ — х2) б?х;б)f Я(х, \/a2 4-x2)dx;в)/ Д(х, v х^ — а^) dx;2(?e jR — рациональнаяфункция.170Гл. 7. Неопределенный интегралП Л А Н РЕШЕНИЯ.1.
Чтобы избавиться от радикала, используем тригонометрические или гиперболические подстановки:а) X = asintили х = aiht]б) X == atgtили X = asht]в) х =или X = acht.cost2. Применив формулу замены переменной в неопределенном интеграле, получим интегралы вида/Ri {sin t, cos t)dt.3. Вычисляем последний интеграл с помощью известных подстановок или методом понижения степени.4. Возвращаемся к переменной х и записываем ответ.ПРИМЕР.Найти неопределенный интеграл^2: dx./РЕШЕНИЕ.1. Чтобы избавиться от радикала, воспользуемся подстановкойж = 3 sin t. Тогда dx = 3 cos t и \/9 — x^ = 3 cos t.2. Сделаем замену переменной в неопределенном интеграле:Гх'^^rdsiii^tScost^^ л /* .
2 . ^ ./ .dx=—====dt = 9 sm"^ t dt.У V9-a;2J V9-9sin2^j3. Применяя формулы понижения степени, получим9 /*/sin^ tdt=--9/ {l-cos2t)dt=- t - -9/*/ cos2t dt=99-t--sm2t-i-C.4. Возвращаемся к переменной x, подставляя t = arcsin(x/3):..2/V9r.2: dx = - arcsm - - - sm I 2 arcsm •5-) + С7.9. Интегрирование иррациональных выражений171ЗАМЕЧАНИЕ. Ответ можно упростить, если воспользоваться тем,что sm2t = 2 s i n t v 1 - sin^ t и sint = x/3:9/._: dx = - axcsin - - — v 9 — x'^ + C.V g^'^T^23 2 "^^Ответ•/^^. X X/ - — -Jax = - arcsm — - -r v 9 - x^ + G.v/9^:^232 "^Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные1.интегралы./* \ / 4 - х2 dx.2./ \ / 2 + х2 dx./ V х^ — 4 dx.4./'^^.У х\/х2 — 16./"/^J XV 4 -f х^8./dx/,dx.f ^^J WP^'х/(2 + х2)3Ответы.1.
2arcsin - -f - \ / 4 - x2 + a2^^2. ln(x + V2 + x2) + - \ / 2 + x2 + C.3.2^5. 31nx 2 - 4 - 2 1 n | X -f \/x2 - 41 + с4. arccos —h СX3 - \/9 - x2X-+ \/9-x2 + a16. ^ i n7 2 In x 4- л/х2 — 4 + ± , / ^ 2 _ 4 + Г7. 82^^0^, r2\/2 + X210. - arccos - +2 1X\/4 + x2 - 2XiL — + Г7.Vl-x2X— + C.x2/+a172Гл. 7. Неопределенный интеграл7.10. Интегрированиедифференциального биномаНайти неопределенныйПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Iинтегралx'^{a + bx'')Pdx,(1)где т, п и р — рациональные числа.П Л А Н РЕШЕНИЯ. Выражение х^{а + Ъх'^У dx называется дифференциальным биномом. Условия его интегрируемости в элементарных функциях получены П. Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
