164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Получим систему т уравнений с тнеизвестными, которая имеет единственное решение.4. Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби,используя табличные интегралы, и записываем ответ''"(^'/^Wm \Х)= F{x) + Ailn\x~ri\где F{x) = JМп-т{х)ПРИМЕР.+ Л2 1п|а:-Г2| -h . . . + Л ^ In |ж - г^| + С,dx — многочлен степени п — т-\-1.Найти неопределенный интеграл2х^ - 40а; - 8/ х{х + А){х-2)dx.РЕШЕНИЕ.1. Подынтегральная функция — неправильная рациональнаядробь, так как п = т = 3. Выделим целую часть:2х^ - 40ж - 8 _х{х + 4)(ж - 2)4x2 + 24х + 8х{х + 4)(х - 2) *2.
Так как знаменатель последней дроби имеет три различных вещественных корня X = 0^ X = —4 и ж = 2, то ее разложение на152Гл. 7. Неопределенныйинтегралэлементарные дроби и м е е т в и д4^2 + 24а; + 8 _ AiА2A3~1:—7"Ьх{х-\-4:){х - 2)Xa : - f 4 х - 2'3. Чтобы найти коэффициенты ^ 1 , ^ 2 , ^ 3 , приводим к общемузнаменателю дроби в правой части тождества:4а;2 + 24^ + 8 _ Ai{x'^ + 2ж - 8) -f ^2(^2 - 2х) + Аз{х'^ + 4ж)х{х + 4){х - 2)х{х + 4)(а; - 2)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителяхслева и справа, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:A i + ^ 2 + Аз = 4,2Ai - 2А2 + 4Аз = 24,-8^1= 8.Эта система имеет единственное решение Ai = — 1, А2 = — 1, A3 = 6.Следовательно, подынтегральное выражение имеет вид2ж^ - 40ж - 8х{х + 4:){х-2)^/\1Лх)/\1а: + 4 /х—24. Интегрируем целую часть и элементарные дроби, используятабличные интегралы:/• 2 ж З - 4 0 х - 8 ,[^ ,П ,/^1,f/ ""77Г} ;:7 dx = / 2ах-\- I —ах-^ах—J х{х + А){х-2)JJ XJ х+АJ^,ах =х-2= 2ж 4- In |а:| + In |х -f 4| - 6 In |ж - 2| + С.Г 2x^-i0x-S,^, |х||д: + 4|^Ответ.
/ ————-г- dx = 2x + In—^ + С.J х(ж + 4 ) ( а : - 2 ){х - 2)^Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные1 [^^ + 2^ + 6• J {х-1){х-2){х-4)fх^ + 1J (x2-l)(x2-4)rf^интегралы.2 [• J {х-1){хf'dx+ 2){х + 3)1У a;4-13a;2 + 367.4. Интегрирование рациональных функцийГ ж^ + Зж^^ -- 33x 2 + 2J^ 2 ^,dx.7., 2ж^ - Sx^ + 4х - 4 ,/; — гт^х{х1){х - 4)TT-dx.х^ + 2x2 - 15х + 18^' Jх(х-3)(х + 3)dx.4 - 4х^ - 8x2 _|- 5х - 10'1 ) ( х - з ) ( х + 2) '^''{х^• J'.0./х^ + X2)(х + 2) *J х(х-2)|Ч^Г1532х^ - 4а;'* + бх^ - ISx^ + 8dx.ж^ - 5х^ + 4хОтветы.1. In{x-l)^{x-Af+ С.(х-2)73.
i12i n i( х^- +lU^^ +a1 ) 4 | х + 2|51| ( х - 1 ) ( х + 3)3|^-12 ^^—^^Tw—1 (^-зЯх + 2|360(х + 3 ) 2 | х - 2 | 3 ^х-15. — + х^ + In4х+1х2(х-2)5х^х^6. — + — + 4 х + 1п+ С.(х + 2)37. 2х + 1п( х - 4 ) ( х + 1)^X+ С.8. х + 1п9. х^ + In( х - 1 ) 2 ( х + 2)+ С.X—310. х^ + Inх2(х-2)2(х + 1)3(х-1)+ С.(х + 2):(х + 3)3(х-3)+ С.7.4. Интегрирование рациональныхфункций с кратными вещественнымикорнями знаменателяПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интегралIа„х" + an-ix""'^ + .
. . + ахх + аоdx.brnX"^ + Ь^_1Х^-1 + . . . + bix + Ьо154Гл. 7. Неопределенный интегралП Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Введем обозначения:Рп{х) — апХ^ + an~ix'^~^ + . . . + aix + ао,Сравним степени числителя Рп{х) и знаменателя Qmix)Если подынтегральная функция — неправильная рациональнаядробь, т.е. степень числителя п больше или равна степени знаменателя т , то сначала выделяем целую часть рациональной функции,поделив числитель на знаменатель:Здесь многочлен Pk{x) — остаток от деления Рп{х) на Qmix), причемстепень Pk{x) меньше степени Qmix)2. Разложим правильную рациональную дробь——-^—г на элеQm{x)ментарные дроби. Если ее знаменатель имеет вещественные корниГ1, Г2,..., Г5 кратности ni, П2,.
•., rig соответственно, т.е.Qm{x) - (Х - П)"^ {Х - Г2Г • • • (^ - ГтГ' ,ТО разложение на элементарные дроби имеет видРк{х) _ AllQni[x)x-TiМ2[x-TiYж - Г2^ini(a:-ri)^i'"(a: - гг)^,. ..H*Asl(ж - гз)"^As2.T^ -fX — Tg r 7{x — Гз)"^,. . . i- •^sus{x — r^)"'^3. Чтобы найти коэффициенты А ц , Ai2,..., Asn^ ? приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях слеваи справа. Получим систему ni+n2 + .. --{-TIS уравнений с ni-f П2 + .. .Ч-Пднеизвестными, которая имеет единственное решение.7.4. Интегрирование рациональных функций1554.
Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби, используя табличные интегралы, и записываем ответ/ Qmix)= F(x) + A n In I x - n l + ^ i M H + . . . + ,f^"'. ,X - ri[1 - ni)[x - ri)^^ ^где F{x) = f Mn-rn{x) dx — многочлен степени n — m + 1.ПРИМЕР.Найти неопределенный интеграл/х^ -f бх^ + 13а: + бdx.(х-2)(а: + 2)зРЕШЕНИЕ.1. Подынтегральная функция — правильная рациональная дробь.2. Разложим ее на элементарные дроби. Так как знаменательимеет два действительных корня: ri = 2 кратности единица и Г2 = —2кратности три, разложение на элементарные дроби имеет видх2 + ба:2 + 13ж + бAll^21^22^23( х - 2 ) ( х + 2)зх-2х+2(ж+ 2)2(х + 2)з'3.
Чтобы найти коэффициенты Л ц , . . . , А23, приводим к общемузнаменателю дроби в правой части тождества:х^ + бж^ + 13ж + б _( х - 2 ) ( х + 2)3"^ Aii(x + 2)^ + ^21(3: - 2)(х + 2)2 + А22(а: - 2)(а: + 2) + ^23(0: - 2)( х - 2 ) ( х + 2)зПриравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителяхслева и справа, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиAll + А216А11 + 4^21 + А2212Лп - 2^21 += 1,= б,^23 = 13,8^11 - 4^21 - 4^22 - 2^23 = б.Гл. 7. Неопределенный интеграл156Эта система имеет единственное решение:Ail = l, ^ 2 1 = О, ^ 2 2 = О, ^23 = 1.Следовательно, подынтегральное выражение имеет видх^ + бх^ + 13а: + 6(ж-2)(х-Ь2)з1х-21+ (ж 4-2)3'3. Интегрируем сумму элементарных дробей, используя табличные интегралы:/т: dx+7:^тт dx = Ь |х - 21 -ттт + С.J х-2У (х + 2)з'' 2(х + 2)2х^ + бх^ + 13х + 6Ответ.
/ —• ' ~ „,,'—^^--—^dx—bi\x-2\-^,/.„+ С.Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.1--т?7Т7Trdx.у х2(х + 1)(а;-1)f x' + l dx.J x(x-l)3fx^ + lх^ - бх^ + 9х + 7dx.(х-2)3(а;-5)У^2/x'2 +4dx.2.' J (X-1)(X + 1)2dx.6dx.10у ( x - l ) 3 ( x + 3)/• x2 - 2x + 3dx.• У x(x-l)2(x-3)a;2 - X 4-1/•2)25x3 _ 172.2 + 18a; - 5J x2(xdx.8• У(a: l)3(x - 2)У {x-l)3(x + 1)dx.Ответы.1.1+- +ax+1x-1X ~\ -3. InX(x-l)2. In |x - 5| ++a4.
1,„|(. + 1)(.-,)3| + _ 1 - ^ + c.2(x - 2У+a7.Ъ. Интегрирование рациональных функцийх-~15. тгт: Ь32ж+34(ж-1)21X6. -7 Inа:-248(ж-1)157+а-^ + С.4(ж - 2)2ж7. l i n K ^ - f c : ^ - bх-1-i. + a8.1п|(х-1)2(а;-2)^| +ж+ 19. - Inх-1412(х - 1)22{х - 1)+ С.+ С.219^»Ц^-^^|<^-1)"(^+1)|-„,_„,„,_,,+а7.5. Интегрирование рациональныхфункций с простыми комплекснымикорнями знаменателяПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти неопределенныйинтегралС апх'^ + an-ix"^'^ + . . . + aix + QQ ,J bmx"^ + Ьт-гх""-^ -f . . .
+ bix + ЬоП Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Введем обозначения:Рп{х) = апХ^ + an-ix^~^Qmix)= ЬтХ"^ + bm-lX"^'^+ . . . + aix + ао,+ . . . + 6iX + Ьо-Сравним степени числителя Рп{х) и знаменателя (5тп(2^)Если подынтегральная функция — неправильная рациональнаядробь, т.е. степень числителя п больше или равна степени знаменателя т , то сначала выделяем целую часть рациональной функции,поделив числитель на знаменатель:^^(^) = . М . _ ^ ( х ) + ^ ^Qm{x)Qrn{x)(А:<т).158Гл.
7. Неопределенный интегралЗдесь многочлен Рк{х) — остаток от деления Рп{х) на Qmi^)^ причемстепень Рк{х) меньше степени Qmix)2. Разложим правильную рациональную дробьРк{х)Qm{x)на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые комплексные корни Гк = Uk :t ivk^ т.е.Qm{x)= (Ж^ + PiX + qi){x^-f P2X + 92) • • . {X^ + PsX + ^5),гдеж^ -^PkX -\-qk = [x- {uk + ivk)][x - {uk - ivk)],TO разложение на элементарные дроби имеет видРк{х) _ Aix + BiQrn{x)x'^-\-pix-\-qiА2Х 4- Б2x'^-\-p2X + q2'"AsX + Bsx"^-\-PsX-\-qs3.
Для вычисления неопределенных коэффициентов Ai, А2,..., А5,Б 1 , . . . , Bs приводим к общему знаменателю дроби в правой частитождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковыхстепенях х в числителях слева и справа. Получим систему 2s уравнений с 2s неизвестными, которая имеет единственное решение.4. Интегрируем элементарные дроби видаАх + Вх"^ Л-рх-\- qВыделяем в знаменателе полный квадрат {х + р/2)^ + (^ — Р^/4) (поскольку q—p'^/A > О, можно обозначить д—р^/4 = а^) и делаем заменупеременной t = х — р/2.
ПолучимJ x^+px+qJf2 + a2J t^+a^J= — l n ( r + or) Ч- -^2t^-^a?aarctg - =a7.5. Интегрирование рациональных функций159^ 1^/ 2 , ^^ , .N , Ар/2 + Б^^ ж + р/2— ^ 1п(а: + т е + 0')Н ,arctg ,5. Складываем результаты интегрирования целой части (если онаесть) и элементарных дробей и записываем ответ.ПРИМЕР.Найти неопределенный интеграл/2ж^ + Зж^ + Зх + 2dx.(а:2 + х + 1)(х2 + 1)РЕШЕНИЕ.1.
Подынтегральная функция — правильная рациональная дробь.2. Разложим ее на элементарные дроби. Знаменатель имеет двепары комплексно-сопряженных корней: ri^2 = —1/2±г\/3/2 и гз,4 = i^Следовательно, разложение на элементарные дроби имеет вид2х^ + Зж2 + Зж + 2(а;2 + ж + 1)(х2 4-1)Aix + Вхх2 + х + 1А2Х + Бзх2 + 13. Чтобы найти коэффициенты Ai, ^ 2 , J5i, ^ 2 , приводим к общемузнаменателю дроби в правой части тождества:2х^ + 3x2 + Зж + 2 ^ (^^д, _^ Bi)(x2 + 1) -f- (А2Х + Б2)(х2 -f X + 1)( х 2 + Х + 1)(х2 + 1)( х 2 + Х + 1)(х2 + 1)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителяхслева и справа, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестнымиf А1 + А2=2,^2 + ^ 1 + 5 2 = 3,^ 1 + ^ 2 + ^ 2 = 3,Б1+Б2=2.Эта система имеет единственное решениеAi-1,А2 = 1, Б1 = 1, Б2 = 1.Следовательно, подынтегральное выражение имеет вид2х^ -h 3x2 4- Зх 4- 2д, _^ ;|^(x2-hX + l)(x2 + l)x2-fx-fl^_^1Х2 +Г160Гл.
7. Неопределенный интеграл4. Интегрируя элементарные дроби, получимX -\~ 11/- т — г dx = - 1п(ж^ + 1) + arctga; 4- Сзх"' + 12/* 2а:3 + Зх2 + Зх + 2 ,Ответ. / -r-z7тт^—7Т dx == - 1п(а;^ + ж + 1)(ж^ + 1) + --7= arctg —7=^ + arctg х + С.2 '\/3\/3Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные1,^Гинтегралы.2x2-fx + 3^- У (х + 1)2(х2 + 1)^''-^- / •(x + 2)(x2 + x-f 1)3.4./о' г. dx./- 7 x ^ - 1''• У х4 + 4 х 2 - 5/л'^''dx.dx/х+ 1—г б?Х.''• У (Х2 + 1)(Х2 + 9)7 /_i_dx8^' У х ^ - х ^ ' ' ' ^ /* ЗхЗЗх"^++ х2х^ ++ 5х5х ++ 11 ,/^^^-^-^^^^— dx.JХ^ + X^- у (x-fl)(x2 + 2x + 2)'''',^ /"/" х^10. /7 х 4 - 1 б •ах.[^1±^Ответы.111(x+i)^112х -Ь12.
31п |х + 2| - ;- 1п(х2 + X 4-1) + -"7= arctg —7=^ + С.2v3v3^1 ,(ж-2)2V3х+ 1^3. ;тт Ь J^ ^ ^ , - -777 arctg —рг- + С.24х2 4-2x4-412^ ^34. iIn|(x-l)^(x4-l)|-iarctgx4-adx7.6. Интегрирование тригонометрических выраэюений161х-15. - In2ж + 1 ^ТБ^'^'^Т!^''^2 + 1 11X^^- 1 6 ^ ^ 2 + 9 +• 8- arctga; - — axctg 3 + С',1 1 , (ж - 1 ) 212х + 1^8. ж - - ln[(a:2 + 2a: + 2)(x + l)^]4-3arctg(x-{-l)-f С.9. Зх + In |ж| + 2 arctg ж + С10. X + - Inх +2arctg ^ + С'.7.6. Интегрирование выраженийjR(sinx,cosx)ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ./Найти неопределенныйинтегралi?(sinx,cosx)(ix,где R — рациональная функция двух переменных.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1.
С помощью подстановкиX*= tgинтегралы от функций jR(sina:, cos ж) приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной t. Действительно, подставляяв подынтегральное выражениеsmx2t1 + ^2'1 _^2COS ж = 1^+ .^2'.^ ,2dx = 1^+ ^2.^ dt,получаем/ 2t1 — ^2 \2i?(sina:, cosx) с^ж = i? (^^ 1 + 1 2 ) YT72 ^^ = ^ i W ^^•Подстановка t = tg(x/2) называется универсальной.162Гл. 7. Неопределенный интеграл2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
