164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 13
Текст из файла (страница 13)
^ - - b s i n ^^^J x =y' = -ttgt/Vl~^-Vr^^I 2/' = - 1 Л4.7. Касательная и нормаль к кривой,заданной параметрическиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Составить уравнения касательной и нормали к кривойX = fit),у = g{t)в т^очке А, соответст,вующей значению параметра t = tQ.ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функция у{х) в точке а имеет конечнуюпроизводную, то уравнение касательной имеет видУ = у{а)-\~у'{а){х-а),Если у'(а) = ос, то уравнение касательной имеет вид х = а.Если у'(а) ф О, то уравнение нормали имеет видЕсли у'{а) — О, то уравнение нормали имеет вид х = а.(1)J^.l. Касателънал и нормаль к кривой, заданной параметрически1091. Вычисляем координаты точки А:[ а = /(^о),2. Находим производную г/' в точке касания при t — to:3. Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1)и нормали (2) и записываем ответ.ПРИМЕР.Составить уравнения касательной и нормали к кривойX=2е\У = е~*в точке А, соответствующей значению параметра t = 0.РЕШЕНИЕ.1.
Вычисляем координаты точки А: а == 2, у {а) = 1.2. Находим производную у' в точке А\ПО) = 2е\^^= 2,д'{0) ^ -е'^^^^ - 1 ^ у'{0) - f i | | - - ^ ^Поскольку /'(0) 7^ О и /'(0) 7^ 00, то можно воспользоваться уравнениями (1) и (2).3. Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1):у = 1 - i (х - 2),И нормали (2):у = 1-f 2 ( а ; - 2 ) .Ответ. Уравнение касательной: x-i-2y — 4: = 0. Уравнение нормали:2х-у-3= 0.Условия ЗАДАЧ. Составить уравнения касательной и нормалик графикам функций, заданным параметрически.^'( x = t-smt,\ y = l-cost,^to = 7r/2.( x = 2t + t'^,• \ y = 2t-t'^,to = l.110Гл. 4.
Дифференцирование3.X = y/Scost,y = smt,to = 7г/б..5.X=:tCOSt,у = tsint,j X = COS^t,* 1^ 2/ = sin^ t, to — 7г/4.to = 7г/2.j x = t — t'^,' \ y = t-t^,to = l.8 I ^ " ^^^^ ^ ^^^'X = л/Г^,2/= arcsint,to = —1.x = lntgt,7/ = l/sin^t,to ='7г/4.\ 2/ = ^rctgt,to = 1.in / ^ = ^sint + cost,[ 2/= sint — tcost, to = 7г/4Ответы.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.2 ж - 2 2 / - 7 г + 4 = 0, 2ж + 2 у - 7 г = 0.2 / - 1 = 0, х - 3 = = 0 .2а: + 2?/ - 4 = О, 2ж - 2у - 2 == 0.2ж - 2/ = О, ж 4- 2^/ = 0.Ах + 27Г2/ - 7г^ ~ О, 7ГЖ - 2г/ + 7г = 0.2а; + 2г/ - \/2 = О, у - х = 0.2 ж - 2 ? / - 7 г = 0, 2ж + 2уЧ-7г = 0.2ж-42/Ч-7г-21п2 = 0, 8х + 4 ? / - тг - 81п2 = 0.2а: + у - 2 = 0, х - 2?/+ 4 = 0.4а; - 42/ - 7г\/2 = 0, x-\-y-V2= 0.4.8.
Производные высших порядковПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти производную п-го порядка функцииПЛАН РЕШЕНИЯ.Производной п-го порядка функции у = f{x) называют производную от производной порядка (п — 1), т.е.j/(")(x)=2/(»-i)(a;)'.1. Дифференцируем функцию у — f{x) последовательно несколькораз, пока не станет ясной формула для производной п-ого порядка.2. Доказываем эту формулу методом математической индукции.Для этого проверяем, что она справедлива при п = 1, т.е. дает правильное значение / ' , и что дифференцирование выражения для /^"^^эквивалентно замене п на п + 1.4.8. Производные высших порядковПРИМЕР.111Найти производную п-го порядка функции у = 3^^"^^.РЕШЕНИЕ.1.
Найдем последовательно2/'(х) = (32^+1у = 32"+НЬЗ)2,у'\х)= у'{хУ = (32^+1(1пЗ)2)' = 32^+1(1пЗ)222,у"\х)= у"{хУ = (32^+ПЬЗ)222)' = 32^+НЬЗ)323.Проанализировав эти выражения, делаем предположение, что2/^^На:) = з2"+^(1пЗГ2^.2. Докажем эту формулу методом математической индукции.Проверим, что она справедлива при п = 1^ т.е.у^^\х)= г^''-^\1пЗ)2 = у'{х).Дифференцирование f^'^^ эквивалентно замене п на п + 1, т.е.у("Н^)' = (32^+Ч1пЗ)"2"У = з2^+'(1пЗ)"+'2^+^ = 2/^"+'Н^)Ответ, у^^'^х) = 32^+^(21пЗ)".Условия ЗАДАЧ.функций.Найти производные п-го порядка заданных1. у = sin2x-h созЗж.
2. 2/= sin(3x + 1 ) 4-cos2a:. 3 . ^ = 2^^.4. у = 1п(2ж + 4).5. 2/ = ^ - г .х+1S.y = 1п(3ж + 1).7.у = 3^^+^Q-y=^^2а; + 39. у = 52^+^10.2/ = v ^ .Ответы.1. у(") = 2^^ sin (2а: + ^ ) + 3^ cos (зх И- ^ ) .Зх + 1 + — ] + 2 ^ c o s f 2 x + — j .3. yW = 23- (31п2)-.у\J4. г/Н = ^ ~ ^ С ' ^ " ! ? ~ ^^'•у(2а;+ 4)^112Гл. 4.
Дифференцирование^(a;+l)"+i'^(2a: + 3)"+i'7. у(") = 32-+Ч21ПЗГ.8. 2/(») = ^"^CTSl~^^'-9. , И = 5^^+^ (21п5)Г10. , W = ^"^Г("^^)^^^4.9. Формула ЛейбницаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти производную п-го порядка функцииу = u{x)v{x).ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функции и{х) и v{x) имеют производныедо п-го порядка включительно, то справедливы следующие формулы:{uv)" = и"уЛ-2и'и'-Vuv",{uvУ^' = u'"v + Ъи"у' + Zu'v" Л- uv'",(ui;)(4) = u^^^v + Ы"'у' -f Ы"и" + 4.u'v'" + uv^^\„.(n[uvf^^ = UWT; + nu("-i)^' + ^^( ^ - l )^u^^-^^v"+ ... + uv^""^J2c'^u^-%^'\(1)/c=07.!где u^^^ = It, v^^^ = V и C^ = , |.
^' j. 4| — биномиальные коэффициенты.Формула (1) для п-й производной произведения называется формулой Лейбница.Следовательно, для определения производной п-го порядка функции вида у = и{х)у(х) нужно вычислить все производные (до п-гопорядка включительно) каждой из функций и{х) и v{x), биномиальные коэффициенты (7^ и воспользоваться формулой Лейбница.ПРИМЕР.Найти производную 4-го порядка функции4.9. Формула Лейбница113РЕШЕНИЕ.1. Применяем формулу Лейбница (1). В данном случаеп = 4,и{х) = ж^ -f 2,v{x) = е^^+^Имееми'{х) = 3х^,и''(х) = 6х, и"'{х) = д, и^'^\х) = 0,г;'(х) - 4e^^+^ v"{х) = А''е^''^^t;"'(^) = 4V^•^^ v^^\x) =^^е^^^\Подставляя полученные результаты в формулу (1), получимУ^- = ((^3 ^ 2)е^^+3) ^^^ = О . е^^+^ + 4 .
6 - 4 . е^^+^ ++ i^(6a:)4^e^^+3 ^ ^ ( З х ^ ) 4 3 е - ^ з _, l l l ; | l l ( . 3 + 2)4^е^^+^ == 32е^^+3(8хЗ + 24а:2 + 18ж + 19).Ответ. 2/^^^ = 32е^^+3(8жЗ + 24^2 + 18х + 19).Условия ЗАДАЧ. Найти производные указанного порядка заданных функций.1. 2/ = (^^ + 1)1пх, у(^)=?2. 2/ = (^3 + 2 ) cos 2а:, 2/'"=?3. ?/ = a:2sin(3a; + l), г/'"==?4. ?/== (а;^ + l)cos3a;,5. у = (а:3 + ж)1пж, у'" =16. 2/= (а:^ + 1) 1п(а; + 2), 2/^^)=?7.
у = (х2 + 1)2^, у(5)=:?8. 2/ = sin2xlnx,9. у = (ж2 + 1)е2^+\ у(5)=?10. 2/= (х^ + 2)33^ у^^^ = ?Ответы.1. ,(5) . f! + 21.х^2. 2/'" = (8^2 - Збж + 16) sin 2х - (Збж^ - 6) cos 2х.3. 2/'" = (18 - 27^2) cos(3a: + 1) - 542:sm(3x + 1).2/(5)=?2/'"=?114Гл. 4. Дифференцирование4. 2/(^) = 810х cos Зх - 27(9x2 - 11) sin Зх.,„б х ^ Ь х + Их^ - 15. г' =^,.л^^.6х^ + 60x2 + 240х + 456(х + 2)57. 7/(^) = 2^ 1п^ 2 [(х2 + 1) Ь^ 2 + 10х In X + 20]..,„о^ ,8. 2/'" ==-8cos2xlnx6cos2x( 1 2 x 2 - 2 ) sin 2х-^^.Х'^Х"^9. у(^) =32е2^+^(х2 + 5х + 6).10.
у(4) ^ 33^+21пЗ [(9х^ + 18) 1п^ 3 + 36x2 In^ 3 + З б х Ь З + 8].4.10. Вторая производная функции,заданной параметрическиПОСТАНОВКАфункции, заданнойНайти производную второгопараметрически.ЗАДАЧИ.порядкафункция задана параметрически:П Л А Н РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ( х^ fit),\y^git),то ее первая производная определяется формулами(1)fit) •Дифференцируя у' по х как сложную функцию х и используя формулу для производной обратной функции, получимX = fit),n_(9'{t)\^\nt))1fit)'Найти производную второго порядка функции, заданной параметрически:Г X = Int,1 у = arctgt.ПРИМЕР.4.10. Вторая производнал функции, заданной параметрически115РЕШЕНИЕ.1. Вычисляемdxdt1t'dydt11 + ^2и подставляем эти значения в формулу (1):( ж = Int,tу'l+t2'Дифференцируя у' по х как сложную функцию х и используя формулу для производной обратной функции, получимж = Int,y"=(-^)'-t^'-^-^Ответ.
IX = Int,„t(l-t'^)Условия ЗАДАЧ. Найти производные второго порядка функций^заданных парамет,рически.2./ X = t + sint,\ у = 3 — cos t.r x = \ntgt,\ y = l/sm'^t.^r x = ln{l + t^),\ y = arctgt.( x = V l - f^,\ 2/ = arcsint.Q ( x = уД,* \ 2/ = lni.( x = sin^ t,8Г x = cosH,1 y = smU.3.^^1^ 2/ = In cost.X = 1/t^,y== 1/(^^ + 1).''I ^\ у = arctgt.j x = arctgt,"• I y = t^ + l.116Гл. 4.
ДифференцированиеОтветы. (Соответствующие выражения для x{t) опущены.)1. у" = l/{3cos*tsmt).2. y" = l / ( l + cos<)2.3. y"=ActgH.4. 2/" = - ( l + f2)(4f3).5. у" = -VT^^/t^.6. y" = -2/t.7. y" = -l/cosH.8. y" = 2ty{l +9. y" = - 2 f V ( l + <^)^-10. 2/" - 6f4 + 8*2 + 2.f)\Глава 5ГРАФИКИ ФУНКЦИЙПри изучении темы ГРАФИКИ ФУНКЦИИ вы научитесь исследовать поведение функции: находить ее область определения, асимптоты, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости вверх и вниз и точки перегиба, а также воплощать полученные результаты в виде эскиза графика. Кроме того, вынаучитесь находить наименьшие и наибольшие значения функции, непрерывной на отрезке, и исследовать локальное поведение функциипо ее производным высших порядков.С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить производные функции (любого порядка), решить уравнения для нахождения точек возможного экстремума и перегиба, найти значения функции в требуемых точках, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.5.1.
Общая схема построенияграфика функцииПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Исследовать функцию у = f{x) и построить ее график.П Л А Н РЕШЕНИЯ. Полученные в каждом пункте результаты последовательно фиксируем на рисунке в качестве элементов искомогографика и в итоге получаем эскиз графика.1. Находим область определения D функции f{x) и исследуемее поведение в граничных точкгьх х = xi,a:2,... ,Xn,ioo области D,включая и X = ±сх).а) Пусть X = Хк (/г = 1,2,...
,п) — конечная граничная точкаобласти D (т.е. f{x) не определена в этой точке). Вычисляем односторонние пределыlimf{x)и/илиlimf{x).118Гл. 5. Графики функцийЕсли хотя бы один из этих пределов бесконечен, то х = Xk — вертикальная асимптота графика f{x).б) Исследуем поведение функции при х -> Н-оо:если существуют конечные пределыlim=киlim \f(x) — кх] = Ь,ТО прямая у — кх Л-Ь — наклонная асимптота графика функции f[x)при X -л +00 (если /с = О, т.е. Ь ~ Ит^-ч+оо f{x), то у = b — горизонтальная асимптота).Аналогично исследуется поведение функции при а: —)• — оо.Отметим, что асимптоты при а: —> 4-оо и при ж -^ — оо могут бытьразными.2. Выясняем четность и периодичность функции.Если /(—ж) = /(ж), то функция /(ж) называется четной. Графикичетных функций симметричны относительно оси 0Y.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
