164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1. 2/3. 2. 2. 3. 1п5.8. 1/4. 9. - 1 . 10. - е ._ ..V9Tx-34. - 1 / 4 .5. 1.6. 1/12.7. 1.S8Гл. 3. Пределы3.9. Вычисление Иш^-^а [/(^)/р(^)]ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить пределу/Whm -у-т-,х-^а д[х)где f{x) и д{х) — бесконечно малые функции в точке х = а.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Нужно заменить f{x) и д{х) на эквивалентные им бесконечномалые функции.
Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки х = 0. Поэтому сначала сделаем заменупеременной х — а = t и будем искать предел при t —> 0.2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем впроизведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.ПРИМЕР.Вычислить предел,.cos Зх —cos жlimх-^тггtg'^2x.РЕШЕНИЕ.1.
Посколькуlim [cos Зж — cos х] = О,X—)-7Гlim tg ^2х = О,Х->7ГТО выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при х -^ тт. Нужно заменить эти бесконечномалые функции эквивалентными. Для этого сначала сделаем заменупеременной ж — тг = t:limх->7гcos Зх - cos Xrtg22a:,.= limt->ocos 3(7г -{-t) — COSITT -h t)r-7гtg22(7r-ht).2. Используя тригонометрические формулы и заменяя в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными, получим..limt-^Ocos 3(7г -ht) - cosin + t)7ГТ-,^^=tg22(7r + t),. COS t-COS 3^ ,.
- 2 s i n 2 t s i n ( - t ),. 2 • 2^ • ^ ^= lim7Г= limГ-= lim ——r— = 1.3.10. Вычисление limx->o [tx(x)^^'^^]_Ответ,89,. cos3x —cosxlimr= 1.Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.1.3.,. х^ -1lim —.х->1 In ж^2.,.l + cos27rxlimТу.4.а:->1/25.7.tg''27rX\/ж2 - ж - 1 - 1—-.-г.limх^26.1п(х - 1)lim -;.8.х-)>1 ЗШТГХ9.1. 1 + cos5xlimТу .х-^7г sin Зж,.
зшЗтгхlim -;—-—.х-^2 81п87Га:limх^7г/2 t g З хlimх^1lim - : Ц - - .sin3xtg5x——-..ЗШТГХ10. limх-^2 sinTTXX—>7ГОтветы. 1. 3. 2. 5/18. 3. 1/2. 4. 3/8. 5. 3/2. 6. 3/5. 7. З/тг.8. -1/(47г). 9. - 5 / 3 . 10. (41п2)/7г.3.10. Вычисление Итд;_^о [г^(:з:)^^^^]ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить пределх->0где lim и(х) = 1 и lim v(x) = оо.х->0^х->0 ^ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Преобразуем выражение под знаком предела:uixy^""^ ^еЧх)1пи(х)^2.
Поскольку показательная функция е^ непрерывна, то можноперейти к пределу под знаком этой функции. Имеемlim luixY^''^] = lim е^^^^^^^^^^ = eiim.->ob(x)inu(x)]^90Гл. 3. Пределы3. Вычисляем предел показателяИт [v{x)hiu{x)\^х->0заменяя бесконечно малые функции эквивалентными.4.
Записываем окончательный ответ.П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬпределlimг—Р Е Ш Е Н И Е . При а: -> О выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице:,. 1 + ж22^ ^lim :;т;г- = 1,а показатель — к бесконечности:lim —^— = 00.ж->о sin X1. Преобразуем выражение под знаком предела:1 + хЧ^ )~ ^^^ Vsin^ X ^ 1 + хЧ"^2. Поскольку показательная функция е^ непрерывна, то можноперейти к пределу под знаком этой функции.
Имеемlim1 + а;22-\'/""'"Л.1 , 1 + 0:22г-г= ехр lim —^— In ^о^ i •3. Вычисляем предел показателя1 , 1 + ^22^lim — 5 — ш •а^-^о sin^ X 1-\- хЧ"^ '3.10. Вычисление limx->.o [и{хУ^^^]91Преобразуя выражение под знаком предела к видуsin^a:In^хУ((2/5Г-1)1 + х^б^и заменяя бесконечно малые функции эквивалентными, имеемlim —о— Inх-^о sin XхУ((2/5Г-1)1 + х25^,.1 ж25^((2/5)^-1),.1 ж25^х1п(2/5), 2= lim —5—Чтз^ = lim —^ —^'= In - .х->о х*^1 + х^5^ж->о х^1 + х^б^54. Окончательно получаемJ- + З: Z\_ ^1п(2/5) _fж->о \ 1 -f x^5'Ответ,1 + x'^2^ \ 'lim , ^„^2ж->о \ 1 + ^25^Условия ЗАДАЧ.
Вычислить пределы.1. limx->o Vl 1++ xS^X^/"^a:2^3. lim1 + sin X cos 3xl_|.^23xxiAg^-2. lim0 V 1 + x24^1/ sin^ жa:->0 V 1 + s i n X COS 2 x5. lim(2-5^^"'^)^/^'.4.lim(l-lncosx)^/'^^^"^.6. lim (cosx)^/"^'.ж->0 ^7. lim (cosx) 1/(жsinx)8.1 + x c o s 2 x \ ''x->0 \\-\-XCOSXОтветы. 1. 3/2. 2.
3/4. 3. e'^/^.7. e-1/2. 8. e-\9. e-3/2. 10. e^f\^lim(H-sin2x)^/^""°^^ж->0^9. lim^ж->0^^10. lim(2-cosx)^/^"(^+2^'^4. e^/^.5. 1/5.6. 6"^/^.92Гл. 3. Пределы3-11. Вычисление Игпх-^а [и{хУ^^'>]ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить пределlim [и{хУ^%X—>агде lim и{х) = 1 и lim v{x) = оо.х—^аX—>аП Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Чтобы использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых,сделаем замену переменной t = х — а (тогда t —^ О при ж -> а) ипреобразуем выражение под знаком предела:2.
Поскольку показательная функция е^ непрерывна, то можноперейти к пределу под знаком этой функции. Имеемlim [и{хУ^''^] = e"™*->ob(*)inui(t)]X—>а3. Вычисляем предел показателя]im.\vi(t)\iiui(t)],заменяя бесконечно малые функции эквивалентными.4. Записываем окончательный ответ.ПРИМЕР.Вычислить предел функции1п(3+2х)/1п(2-х)limх->1С^)При х -> 1 выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице:РЕШЕНИЕ.limx-¥l= 1,Xа показатель — к бесконечности:,. 1п(3 + 2х)lim -rrh:: г = оох->1 1п(2 - X)3.11. Вычисление\imx^a[u{xy^^^]931. Чтобы использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых,сделаем замену переменной t = х — 1 (тогда t -> О при х —> 1) ипреобразуем выражение под знаком предела:(2х-1\1^(3+2х)/1п(2-х)lim 1\^ XJ^2i + iy^(5+2t)/ln(l-t)t->0= lim exp"ln(5 + 20 2^ + 1^. b(l - t) ^ T + T j2.
Поскольку показательная функция e^ непрерывна, то можноперейти к пределу под знаком этой функции. Имеемlim expt->oln(5 + 2t)ln(l - t)•. ln(5 + 2t),2t-\-l]Г- m'= exp lim —-7t+1t->o ln(l -t)t+12t + l3. Вычислим предел показателя, заменяя бесконечно малые функции эквивалентными:limln(5 + 2 0 j /^^ tln(5 + 2t), 2t + lIn— limt + 1\t-^0 L ln(l - 1 )t+1t^o [ ln(l -t)t-^0-t{t-\-l)4. Окончательно получаемlim2x-\1п(3+2ж)/1п(2-х)= ex-^lОтвет,/2д._1>^^3+2х)/1п(2-х)lim Ix->i V жУ с л о в и я ЗАДАЧ. Вычислить•In 5^пределыtg (7гх/4)1.т.(^)limX1/(х-1)lim ('^]х-^1 \ s m l /94Гл.
3. Пределы3.Umf^)'^^^"'\4.Иш(2-а:Г«(-/2).x->3 \ C 0 S 3 /5.x-ylliin(3e^-i-2)^/(=^-i).6.7.' lim (tgx)^/'=°^2^lim (cosx)!/''"'^.8.X—>-7г/4lim(3-2x)i/'"(2—)ж—)-lM _ ^ \ Vln(3-x)9.iiin(i_^]x^2\X/ ^ 4 l/ln(4-x).JОтветы. 1. e^/^^. 2. e^*s^7. e - ^ 8. e^. 9. e. 10. е^з.10. lim-^x-^3 \ X3. e~^^^. 4. e^/^.5. e^6. е'^/^.3.12. Вычисление lima;_^aF(7i(x)'u(x) + f{x))ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить предел\imF{u{x)v{x)+ f{x)),где F{x) непрерывна на R, f{x) непрерывна в точке ж = а, и{х) —бесконечно малая функция в точке х — а и v{x) — функция^ ограниченная в некоторой окрестности точки х = а.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1.
Так как F{x) непрерывна на R, то по теореме о переходе кпределу под знаком непрерывной функции имеемlim F{u{x)v{x) + f{x)) = F{lim{u{x)v{x)x—>a+f{x))).Ж—>a2. Поскольку u{x) — бесконечно малал функция в точке х = а иv{x) — функция, ограниченная в некоторой окрестности точки а: = а,то u{x)v{x) — бесконечно малал функция в точке х = а, т.е.lim u{x)v{x) = 0.х—^а3.12.
Вычисление \imx-^aF{u{x)v{x) + f{x))953. Так как f{x) непрерывна в точке а, тоlim fix) - /(а).х-^аИспользуя основные свойства предела функции в точке, получаемlim F{u{x)v{x) + f{x)) = F ( / ( a ) ) .ж—>aП Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬпределlim ?/ж I 2 -f sin - I 4- 8 cos x.x->o \/ Vx,РЕШЕНИЕ.1. Так как функция у = ^/х непрерывна при всех х, то, переходяк пределу под знаком непрерывной функции, получаемlim ?/х ( 2 -f sin - ] + 8 cos X = ?/ lim Ж ( 2 + sin — 1 + 8 cos Xa;->0 \/VXJ\ x-^0X2.
Так как x — бесконечно малая функция в точке а: = О, а2 +sin {1/х) — функция, ограниченная в окрестности точки ж = О, тох{2 + sin (l/x)) — бесконечно малая функция в точке х = О, т.е.lim а: I 2 -f sin - I = 0 .х-¥0\х)3. Так как cos а; непрерывна в точке ж = О, тоlim cos а: = 1,ж->0и, используя свойства предела функции в точке, получаемlim ?/ж 1 2 + sin — ) + 8 cos ж = \\ lim ж ( 2 + sin - | + 81im cos ж = 2.ж->о у Vх)\\ х-^^ Vх)х->оОтвет,lim ?/а: [ 2 4- sin ( - 1 I + 8 cos х = 2.Гл. 3. Пределы96У с л о в и я ЗАДАЧ. Вычислить пределы.1.lim A/9COS22: + 2a;arctg—.Xх-^О V2.lim W4sinx + (2а: - 7r)sin1~)-7г/2 V•2 x — 7Г3.lim \ hcos X Ч- arctg x cos^ — .x^o V4.lim A/4COSX 4-ln(l + 2x)sin—.x-^o Vx5.lim 4/4cos2a:4- (e^^ — 1) arctg—r.ж-)-0 VX^/ тЗЧ2/6.l i m b (e7.lim A/4sina; -f (e^^'^^ ^ - 1) cos - .x->0 VX8.IX+2lim Wln(x + 2) 4- sin(4 - x^) cos-.JC—^Zr.9.7Г\— cos ж) cos — f - t g ( a ; + — jуЯ/^..f. 2:-lx + l\lim tg arccos x + smcos7 .x-^i\x+lx-lj10.
lim In 3 -f arctg x sin - ) .x-^O\Ответы. 1.3.9. 0.10. Ь З .x)2.2.3.1.4.2.5.2.6.0.7.2.8. Ь 2 .Глава 4ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕПри изучении темы ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ вы познакомитесьна примерах с понятиями производной и дифференциала функции одной переменной, научитесь вычислять производные, используя правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложнойфункции, научитесь дифференцировать функции, заданные параметрически, вычислять производные высших порядков, а также применять производные и дифференциалы в приближенных вычислениях ипри решении геометрических задач.С помош;ью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить пределы, выполнить численные расчеты, а также вычислить производныелюбого порядка и проверить правильность полученных вами результатов.4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
