164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Оператор Р линеен. Его матрица в базисе i^j^kестьI m g P = {Vy: y = ai^-^plа,(ЗеШ}, R g P = 2,K e r P = : { V f : x = jk,7 G R}, DefP = 1.У с л о в и я ЗАДАЧ. Доказать линейность, найт,и матрицу (в базисе i^j^k), образ, ядро, ранг и дефект оператора.1. Оператор проецирования на ось ОХ.2. Оператор отражения относительно плоскости YOZ.3. Оператор поворота относительно оси ОХ на угол тг/З в положительном направлении.4. Оператор отражения относительно плоскости х — z = 0.5.
Оператор проецирования на плоскость у -\- z = 0.6. Оператор поворота относительно оси 0Z на угол тг/б в положительном направлении.7. Оператор проецирования на плоскость х -\-у = 0.8. Оператор отражения относительно плоскости у — z = 0.9. Оператор проецирования на плоскость л/Зу + z = 0.10. Оператор поворота относительно оси 0Y на угол 7г/4 в положительном направлении.58Гл. 2. Линейнал алгебраОтветы.1.1 0 0Р= I О О О0 0 0I m g P = {Vy : у = аг, аеЩ,R g P = 2, ^K e r P = : { V f : f = ^ J + 7 f c , 13,'у еЩ, DefР = 1.2.Р = I-10 001 0О О 1I m g P = {Vy: y = ai + /3j+jk,K e r P = { 6 } , DefP = 0.3.P =/ 1 0О1/2\ 0 \/3/2а,0,'у еЩ,R g P = 3,a,l3,'r еЩ,R g P = 3,0 0 1P = I 0 1 01 0 0I m g P = {Vy: y = ai + l3j+jk,K e r P = {6}, DefP = 0.5.R g P = 3,О \-\/3/2;1/2 /I m g P = {Vy: у = аг + р]+'гк,K e r P = {6}, DefP = 0.4.а,Р,^еЩ,P =/10V 001/2-1/20\-1/2;1/2;I m g P = {Vir: y = ai + l3j-0k,a,/3GE},K e r P = {Vx: x^jn,n = {0,1,1}, 7 £ K},6.1/2P = ( уД/20-УЗ/21/2000 I;1RgP^=2,DefP = 1.2.7.
Действия с операторами и их матрицамиI m g P = {Vy: y^ai + pj+'yk,K e r P = {0}, DefP = 0:7.P=/ 1/2\ -1/2-1/21/2О \0;V 00l/а,/3,7еК},I m g P = {Vy: y = ai-aj+0k,a,/3eR},K e r P r r { V x : f = 7П, n = { l , l , 0 } , 7 € R},8.P =/1 00 0100/ \/2/20V 4/2/2R g P = 3,-N/3/43/4I m g P = {Vjr: y^ai + l3j-V30k,K e r P = {Vx: f = N / 3 7 j + 7 f e ,P=a,P,jeR},01/4V 0 -V3/410.RgP^=2,DefP = 1.Vo 1 o //P=R g P = 3,0\1 ;I m g P = {Vy: y^ai + 0j+jk,K e r P = {6}, DefP = 0.9.59010a,/3eR},7 e R},RgP^=2,Def P = 1.-\/2/20\/2/2I m g P = {Vy: y = m + /3j+7fc,K e r P = {6}, DefP = 0.a,/3,7€R},R g P = 3,2.7. Действия с операторамии их матрицамиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
В некотором базисе трехмерного линейного пространст,ва Хз заданы отображенгияX |-> Ах —= {aiixi + ai2X2 + 013X3,021X1 + 022X2 + a2zX3,031X1 + 032X2 + 033X3},60Гл. 2. Линейная алгебраX |-> Вх== {biiXi-}-bi2X2+ bi3X3, b2iXi-{-b22X2 + b23X3, bsia^i + 632^2 + 6332^3 }jгде X = { х 1 , Х 2 , х з } — произвольный вектор пространства Х^Найти координаты вектора у = Р{А, В)х {в том эюе базисе),Р{А,В)— многочлен относительно операторов А и В.гдеП Л А Н Р Е Ш Е Н И Я . Т а к к а к при сложении операторов их м а т р и ц ыскладываются, при умножении на число — умножаются на это число,а м а т р и ц а композиции операторов равна произведению их матриц,т о нужно н а й т и м а т р и ц у Р ( А , В), где А ж В — м а т р и ц ы операторовAvL В. З а т е м столбец координат вектора у = Р(А,В)Хнаходим поформуле Р ( Л , В) • X , где X — столбец координат вектора х.1.
Построим м а т р и ц ы операторов А и В:А=ац\ а21^31ai2а22аз2ai3 \^23 1 ,«33 // ЬцВ = \ 621\ ^31bi2^22Ьз2bis^23Ьзз2. По правилам сложения м а т р и ц , умножения м а т р и ц ы на число иумножения м а т р и ц находим матрицуР{А,В):Р{А,Ри Р12 Pi3В) = ( Р21 Р22 Р23Р31 Р32 РЗЗ3. Находим столбец координат образа вектора х:Ри Pi2 Р13Р21 Р22 Р23Р31 Р32 РЗЗЗаписываем ответ в виде Р ( А , В ) х = {yi,г/2?Уз}П Р И М Е Р . В некотором базисе трехмерного линейного пространс т в а Хз з а д а н ы отображенияж |-> Аж = {xi + Ж2 - жз, Ж2 Н- жз, жз},ж |-> Вх = {х2 + 2жз, - a : i , Ж2},где ж = {ж1, Ж2, Жз} — произвольный вектор пространства Х^.к о о р д и н а т ы в е к т о р а {2А -{- Ао В)х в т о м же базисе.Найти2.7. Действия с операторами и их матрицами61РЕШЕНИЕ.1.
Построим матрицы операторов А и. В:А =1 10 10 0-м11 /иБ =/' 0 1 2- 1 0 0,\ 0 1 02. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число иумножения матриц вычисляем матрицу 2А + АВ:1 1О 1О О-1 О 2 \/ 1 20-1 1 О =-1 3 20 1 0 /\О 1 23. Находим столбец координат образа вектора х:Xi + 2X2{2А + АоВ)х=\-1Ответ. {2А + АоВ)х32 I IХ2 1 = 1 -Х1 + Зх2 + 2а;зХ2 + 2хз= {xi + 2ж2,-xi + Зхг + 2хз,Х2 + 2хз}.У с л о в и я ЗАДАЧ.
Пусть в некотором базисе заданы отображения Ах ={xi -2хз,Х2,Х2 - х з } и Вх = {2хз,Х1,-Х2}. Найти координаты векторов Р{А, В)х.1. ( l 2 + 2B)x.2.(12_2В2)х.3. {В^ + 2А)х.4. (АВ + А2)х.5. (2А2 + З.В2)х.6. (ЗЛ + 2В2)х.7. {ВА-ьА'^)х.8. (В2 + зЛ2)х.9.- {АВ-\-В^)х.10.{ВА-АВ)х.Гл. 2. Линейная62алгебраОтветы.1. {xi - 2^2 Н- 4жз, 2x1 4- Х2, -2x2 + а:з}.2.3.4.5.6.{ x i + 2x2, Х2 - 4x3,2x1+ хз}.{2x1 - 2x2 - 4хз, 2x2 + 2хз, - x i Н- 2x2 - 2хз}.{xi -f 2хз, xi + Х2, xi + Х2 + хз}.{2x1 — 10x2,2x2 + бхз, -3x1 + 2хз}.{3x1 — 4x2 - бхз, 3x2 + 4хз, -2x1 + 3x2 - Зхз}.7. {xi — 2хз, Xi + Х2 — 2хз, — Х 2 + Хз}.8.
{3x1 — 8x2,3x2 + 2хз, -xi И- Зхз}.9. {2хз,Х1 + 2хз,Х2}.10. {-4x3, -2x3, -a:i - 2x2}.2.8. Преобразование координат вектораПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вектор х в базисе e i , e 2 , . . . , e n имееткоординаты {ai, «2? • • •, с^п}- Найти координаты вектора х в базисе61,^2,... ,в^, гдеe'l = CiiGi -h C2ie2 + . . . -h CnlCn,^2 = ci2ei + C22e2 + . . . + Cn2en,e'n = CinCi 4- C2ne2 + .
. . -fCnn^n-П Л А Н РЕШЕНИЯ. Координаты вектора при переходе от базисаei, е 2 , . . . , вп к базису e'l, е 2 , . . . , е'^ преобразуются по формулеХе^ = С-^Хе,(1)где Хе' и Хе — столбцы координат вектора х в базисах e'l, е з , . . . , ejj иei, 6 2 , . . . , е^, С — матрица перехода от базиса ei, 6 2 , .
. . , вп к базису61,62, . . . , 6 ^ .1. Находим матрицу перехода С. Так как столбцы матрицы перехода от базиса 6i, 6 2 , . . . , бп к базису 6^, б'з,..., б^^ — это столбцыкоординат векторов 6i, 6 3 , . . . , б^ в базисе ei, б 2 , . . . , бп, то матрицаперехода имеет вид/С =\СЦCI2...С21С22•• .CnlСп2Cin\С2пУ2.8. Преобразование координат вектора632. Находим обратную матрицу С ^ и проверяем, что С ^С — Е.3. По формуле (1) находим столбец координат вектора х в базисе-1?^2? •«2Записываем ответ в виде Хе' = {а^, «2? • • • ? ^п}П Р И М Е Р .
Вектор х в базисе е1,е2,ез имеет координаты {1,2,3}.Найти координаты вектора х в базисе 61,62,63, гдеe'l = е 1 + 2ез,е'2 = 62 + 6 3 ,63 = —б1 — б2 — 2 б з .РЕШЕНИЕ.1. Находим матрицу переходаС =1 0 -10 1 -12 1 -22. Находим обратную матрицу С ^ методом Гаусса:Таким образом.с-1Проверяем, что С ^С = Е.3. По формуле (1) находим столбец координат вектора х в базисе®1»в2,бз:-1Хе/ = С-^Хе = I - 2-2Ответ. Хе/ = { 0 , 1 , - 1 } .-110 1-1164Гл.
2. Линейная алгебраУ с л о в и я ЗАДАЧ. Найти координаты заданного вектора х в базисе 61,62,63.1. e i = e i + e 3 ,2.ei:=4.е^=е',: =е'г =Хе =е'2 = 2 6 1 + 6 2 + 6 3 ,ез = е2,Хе = {3,~5,4}.3.6i = 6 i ,е'2 = б 1 + 2 б 2 ,бз = б1 + 2 6 2 + 363,Хе = {6,2,0}.ei,е',: = 2ei + 62,e's-= 3ei + 2e2 + ез.Хе = {1, 2,7}.ei + 62 + ез,2e2 + 2ез,3ез ?{2, 6,6}.5.6^ = Зб1 + б2 + 5бз,б^ = 2б1 + 3б2 + 3бз,бз = 2б1 + б2 + 4бз,Хе = { 0 , 5 , 5 } .6.ei7.6; = 2б1 + 6б2 + 5бз,62 = 5б1 + Зб2 - 2бз,8.6i = Зб1 + 2б2 + Збз,б2 = - 4 б 1 - Зб2 - 5ез,63 = 7б1 + 4б2 - Збз,Хе = {1,0,-1}.9. 6i = 2б1 + 3б2 + бз,62 = 7б1 + 9б2 + 5бз,63 = Збх + 4б2 + Збз,Хе = { 0 , 3 , 3 } .= 2ei + 62 + З б з ,е^ = 3ei + 2б2 + 4бз,е^ = 2ei - Зб2 + бз.Хе = {9, 14,16}.бз = 5б1 + б2 - бз,Хе = {-2,0,1}.10.
б; =б1 + 2б2 + 2бз,б2 = 2ei + 62 - 2бз,бз = 2б1 - 2б2 + бз,Хе = { - 9 , 0 , 9 } .Ответы. l.Xe' = { 5 , - 1 , - 4 } . 2.Хе/ = {4,-12,7}. З.Хе/ = {5,1,0}.4.Хе/={2,0,0}. 5.Хе/={-6,1,8}. 6.Хе/={2,3,-2}. 7. Х е / = { 0 , - 4 , 3 } .З.Хе/ = { 5 , 3 , - 1 } .
9. Хе/ = { 5 , - 4 , 6 } . 10. Хе/ = { 1 , 0 , - 1 } .2.9. Преобразование матрицы оператораПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти матрицу некоторого оператора Ав базисе 6^, 6 2 , . . . , 6^, гдее[ = С ц б ! + С21б2 + . . . + С„1бп,б2 = С12б1 + С22б2 + . . . + С„2бп,6^ = Cin6i + С2пб2 + . . . + Спп^п,2.9. Преобразование матрицы оператора65если в базисе e i , е г , . .
. , вп его матрица имеет видацdinai2\а2пА.=О'п!J0,п2П Л А Н РЕШЕНИЯ. При переходе от базиса e i , e 2 , . . . , e „ к базисуe'l,е'г,...,е(^ матрица оператора преобразуется по формулеАе' =С-^А^С,(1)где С — матрица перехода от базиса e i , e 2 , . .
. , e nк базису^1,62,... ,е^.1. Находим матрицу перехода С. Так как столбцы матрицы перехода от базиса ei, е 2 , . . . , е„ к базису е^, е 2 , . . . , е^ — это столбцыкоординат векторов е^, е 2 , . . . , е'^ в базисе ei, е2,. •., вп, то/С =СиСиС21С22Сп1Сп2\..Cin••С2п•Спп\)2. Находим обратную матрицу С~^ и проверяем, что С~^С = Е.3. Находим матрицу оператора А в базисе е[,е2^ • • • )^п ^^ формуле (1)Ае' = С-^А^С.ПРИМЕР.Найти матрицу оператора А в базисе 6^,62,63, гдеei = ei + 6 2 + 2ез,е2 = 2ei — е2,вз = - e i + 6 2 + 63,если в базисе 61,62,63 его матрица имеет видАе =66Гл. 2.
Линейнал алгебраРЕШЕНИЕ.1. Находим матрицу перехода2. Находим обратную матрицу С ^ методом Гаусса:121 - 12О-11I 1 О О\I О 1 О-1 1 0 0 1 // 1 О О I1О 1 О 1 -12 - 1- 32\ 0 0 1 | - 2 - 43Таким образом,с-1 =Убеждаемся, что С • С ^ — Е:сс-^ =1122-10-111121 -32 -4-м/ 1 000 1 02 ==\ 0 0 13 /3. Находим матрицу оператора А в базисе е'^, е2,63 по формуле (1)Ответ.А^> =2.9. Преобразование матрицы оператораУсловия ЗАДАЧ.
Найти матрицы A^i в базисе е'^,62,63, гдее[ ~ 2ei + 3e2 + 6 3 ,62 = 3ei -f-4e2 + ез,е'з = е1+2е2 + 2ез,если заданы мат^рицы А^ в базисе 61,62,63.1.А,2. Ае =3. Ае4. Ле5. А^ =6. Л е -7. Л е -Ле =).А,-0 - 1 3-40 20 - 1 210. ЛеОтветы.1.
Ае/ =-47 -67 -3730 43 2399 12.2. А^,37 -55 -2724 351926 103. Ае/ =20 27 22-13 -17 -16-1 -20.4. Л«, =-26 -47713 25 -613 20 35. Ае/ =27 42 13-18 -28 -8-2 -406. Л1 -115-2 -1 --114 606768Гл. 2. Линейная алгебра7. А^> ==43 -60 -342228 39283922710 14.8. А^,9. А^, =28 -40 -2824 1817172418756.10. А^.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
