164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1.(2,3/2,2). 2. ( - 3 / 2 , - 3 / 2 , - 1 / 2 ) . 3 . ( 2 , - 1 / 2 , - 3 / 2 ) .4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2).8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости331.13. Симметрия относительнопрямой или плоскостиНайти координаты точки Q, симметричотносительно прямойПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.ной точке P{xp,yp,zp)X - хр _ у -уоIт_ Z - ZQпП Л А Н РЕШЕНИЯ. Искомая точка Q лежит на прямой, перпендикулярной данной и пересекающей ее в точке Р'. Поскольку точкаР ' делит отрезок PQ пополам, координаты жд, уд и ZQ ТОЧКИ Qопределяются из условий^Р' =хрЛ-XQ2"^,УР' =yp + yq2~^.^Р' =zp + ZQ^ ,(1)где xp,yp,zp— координаты точ1си Р и xp^^ypf^zp/ — координатыее проекции Р' на данную прямую.1.
Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р '(см. задачу 1.12). Для этого:а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р перпендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора пэтой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой,т.е. п = а = {l^m^n}. Получаем1{х - Хр) + т{у -УР)-f n{z - zp) = 0;б) найдем координаты точки пересечения Р ' этой плоскости с заданной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметрической формеX = Н-\- жо,y = mt-\-yo,Z = nt-\- ZQ.Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относительно t,находим значение параметра t = to, при котором происходит пересечение прямой и плоскости;в) найденное значение to подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки Р'.2.
Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно данной прямой, определяем из условий (1). ПолучаемXQ = 2хр/ - Хр,yq = 2ур' - ур,ZQ= 22;р/ - zp.34Гл. 1. Аналитическая геометрияЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении координат точки, симметричной данной, относительно плоскости.ПРИМЕР.Найти координаты точки Q, симметричной точкеР(2, - 1 , 2 ) относительно прямойX — 1 _ у __ Z -\-11 "^ О-2 *РЕШЕНИЕ.1. Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р ' .Для этого:а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р перпендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора пэтой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой:n = a = { 1 , 0 , - 2 } . Тогда1(а: - 2) + 0(2/ + 1) - 2(z - 2) = О =Ф ж - 2z + 2 = 0;б) найдем точку пересечения заданной прямой и плоскостиX — 2z + 2 = 0. Для этого запишем уравнения прямой в параметрической форме:x = t + l,z = -2t-1.Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра t, при котором происходит пересечениепрямой и плоскости: to = —1;в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденноезначение to = —1, получаемжр/ = О, г/р/ = О, zpr = 1.Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки Р на прямую есть Р'(0,0,1).2.
Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно данной прямой, определяются из условий (1):= 2хр' — Хр = —2,= 2ур/ - 2/р = 1,ZQ = 2zpf — zp = 0.XQVQОтвет. Точка Q имеет координаты (—2,1,0).1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости35Условия ЗАДАЧ. Найти координаты точки, симметричной точке Р от^носителъно заданной прямой.1.
Р(0,-1,3),2. Р((2,1,-1),3. Р(-1,0,3),4. Р(3,0,-1),5. Р(-1,2,1),6. Р(3,-1,0),7. Р(-1,3,0),8. Р(1,-1,2),9. Р(0,3,-1),X —X —~2X0-1 *_ 2/ + 1 _2' 1 *0 'X_2/-1.1ZТ''х + 1 __ у -2-1 - ~XIXт-1_ 2/ + 1 _10X_z_У _ ^ + 1~ 0 ~ 2_ 2^ _ г - 1XX10.Р(0,2,1),2/ . Z-1 " 11 _1-1Z-2-2'Z+ 1 _ 2/21- 4 _ у_ + 1 _ 2 ^ - 22-13-Ответы. 1.(4,-1,-1). 2 . ( 2 , - 1 , - 1 ) .
3.(1,2,-1). 4. (-1,4,-1).5. (-1,2,-1). 6. (-1,1,2). 7. (-1,-1,4). 8. (-1,-1,2). 9.(2,-1,1).10.(4,-2,-3).Глава 2ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАПри изучении темы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА вы познакомитесь напримерах с понятиями линейного (векторного) пространства, линейного оператора, его матрицы, образа, ядра, ранга, дефекта, собственных векторов и собственных значений. Вы научитесь выполнять различные операции с операторами и матрицами, исследовать и решатьсистемы линейных уравнений, получать всю информацию об операторе (матрицу, образ, ядро, ранг и дефект, собственные векторы исобственные значения) по его матрице, преобразовывать векторы иматрицы при изменениях базисов.С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете выполнить вседействия с матрицами, привести матрицу к редуцированному (гауссову) виду, вычислить определители, обратную матрицу, решитьсистемы уравнений, проверить линейность оператора, решить характеристическое уравнение, найти собственные векторы и собственныезначения оператора, выполнить все численные расчеты и проверитьправильность полученных вами результатов.2.1, Правило КрамераРешить систему трех линейных уравнеПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.ний с тремянеизвестнымиСЦХХ + С12Х2 -Ь СхзЖз = ^ 1 ,C2ia:i + C22X2 + С23Х3 = d2,Csia^l -Ь CS2X2 + СззХз = ^3по правилу Крамера.ПЛАН РЕШЕНИЯ.
ЕСЛИопределитель матрицы системыД =СЦС12С21С22С13С23С31Сз2Сзз2.1. Правило Крамера37отличен от нуля, то система имеет решение и притом только одно.Это решение определяется формуламиг = 1,2,3,^'~ д '(1)где Ai - определитель матрицы, получаемой из матрицы системызаменой г-ого столбца столбцом свободных членов.1. Вычисляем определитель матрицы системыСЦCI2CI3С21С22С23С31Сз2СззИ убеждаемся, что он не равен нулю.
Следовательно система уравнений имеет единственное решение.2. Вычисляем определителиAi:dlCi2Ci3d2C22C236^3С32СззA2 =Сцdlci3СцCi2dlC21d2C23C21C22C?2сз1ds СззC31C32ds3. По формулам Крамера (1) находим решение системы уравненийAiХ2ПРИМЕР.=Ахз = А •Решить систему уравненийXI + 2ж2 + а:з = 4,Зжх — 5x2 + Зхз = 1,2^1 + 7^2 - жз = 8по правилу Крамера.РЕШЕНИЕ.1. Вычисляем определитель матрицы системы, разлагая его попервой строке:2-57= 1 - ( - 1 6 ) - 2 - ( - 9 ) + 1-31 = 33.Так как он не равен нулю, то система уравнений имеет единственноерешение.38Гл. 2. Линейнаяалгебра2. Вычисляем определители42Ai = I 1 - 5]713-1До =13241Дя =1322 4-5 17 8= 4 - ( - 1 6 ) - 2 .
25 + 1 - 4 7 = 33,138 - 11. (-25) - 4 . (-9) -h 1 • 22 = 33,= 1. (-47) - 2 • 22 + 4 . 31 = 33.3. По формулам Крамера (1) находим решение системы уравненийXI = 1 ,Х2 = 1,Жз = 1.Ответ, xi = 1, Ж2 = 1, жз = 1.УсловияЗАДАЧРешить системы уравнений по правилу Кра-мера.X+ Ъх2 -2х - Зж2 -f 2жз = О,Зх - 2^2 - жз = 4.2х Н- 3x2 + хз = 1,3. I Зх - 5x2 + 2хз = - И ,Бх + 2x2 - 2x3 = -3.XН- 5x2 +2.xi -f 2x2 -Ь хз = 5,3xi — 5x2 ~i~ Зхз = — 7 ,2xi -f 7x2 — Хз = 13.4.xi + 4x2 -Ь Зхз = 5,3xi — 2x2 + Зхз = 9,2xi + 4x2 — Зхз = 1.а:з = 2,1.
iхз = - 8 ,xi + 3x2 + 2хз = — 5 ,2x1 - 2x2 + 3x3 = - 8 ,3xi -f- 4x2 - 4x3 = 5.2х - 3x2 + 5хз = 16,Ъх -f 2x2 - а^з = -6.X+ 2X2 +9.Ъх - 4x2 + Зхз = 11,2х -f 4x2 - Хз = -9.X+ 3x2 +Xi + 5X2 + Хз = 3,2xi — 3x2 + Зхз = 8,2xi + 4x2 - Хз = 0.а;з = 2,7.Зж + 2x2 -f Зхз = б,2х - 2x2 - хз = 7.хз = —5,10.xi + 2x2 + Зхз = 5,3xi — 2x2 + Зхз = — 1 ,2xi 4- 3x2 - 2хз = 8.Ответы.
1. Xi = 1, X2 = 0, Хз = -1. 2. Xi = 0, X2 = 2, Хз = 1.vyiDc.D..3. xiXI = -1, X2 = 1, Хз = 0. 4. xi =r 2, X2 = 0, Хз = 1. 5. xi = 0,Х2 = -2, Хз = 2. 6. xi = -1, X2 = 0, Хз = -2. 7. xi = 3, X2 = 0,„^ = -1. 8. xi = 1, X2 = 0, Хз = 2. 9. xi = 0, X2 = -2, хз = 1.10. xi = 1, X2 = 2, Хз = 0.2.2. Обратная матрица392.2. Обратная матрицаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Задана квадратная матрица т^ретьегопорядка(СиС12С21С22С13С23С31С32СззУстановить существование и найти обратную матрицу С~^.П Л А Н РЕШЕНИЯ.Матрица С~^ называется обратной квадратнойматрице С, еслигде Е — единичная матрица.Если d e t C ф О (матрица С — невырожденная), то матрица Симеет обратную, если det С = О, то матрица С не имеет обратной.1.
Вычисляем определитель матрицы det С Если det С ^ О, томатрица С имеет обратную.2. Составляем матрицу из алгебраических дополненийСиС=С21Сз1С\2С22Сз2Ci3C2ZС'зз3. Транспонируем матрицуСхуССис31С21С22С23С\2C\zСз2Сзз4. Разделив матрицу С^ на определитель, получаем искомую обратную матрицуdet сСиСиС21 Сз1С22 Сз2<-^13^2Z\ ^^г*<~^335. Проверяем, что С • С~^ = Е и записываем ответ.ПРИМЕР.Задана квадратная матрица третьего порядка2С= I 3-5Гл. 2. Линейная алгебра40Установить существование и найти обратную матрицу С ^.РЕШЕНИЕ.1. Вычисляем определитель матрицы detC:detC =123 -52713-1= 1 - ( - 1 6 ) - 2 - ( - 9 ) + 1-31 = 33.Так как det С ф О, то матрица С имеет обратную.2.
Составляем матрицу из алгебраических дополнений16911С =9-3031-3-113. Транспонируем матрицу С16931ст =9-3-3110-И4. Разделив матрицу С^ на определитель, получаем искомую обратную матрицу-16сс-^ =911-3-11О9 - 331Ответ. Матрица, обратная матрице С, естьС-'133-1699 - 331 - 311О-И2.3. Понятие линейного пространства41Условия ЗАДАЧ.
Найти матрицы, обратные заданным.2.3.5.6.9.Ответы.2,3. Понятие линейного пространстваПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Образует ли линейное пространствозаданное мноэюество X, в котором определены "сумма^' а 0 Ь любыхдвух элементов а и b и "произведение" а (*) а любого элемента а налюбое число а ?П Л А Н РЕШЕНИЯ.
ИСХОДЯ ИЗ определения линейного пространства,проверяем следующие условия.1. Являются ли введенные операции сложения и умножения начисло замкнутыми в X, т.е. верно ли, что Va, 6 G X и Va G Ма^ЬеХ,аЭаеХ?42Гл. 2. Линейнал алгебраЕсли нет, то множество X не является линейным пространством, еслида, то продолжаем проверку.2. Находим нулевой элемент в G X такой, что Va G ХафО =^ а.Если такого элемента не существует, то множество X не являетсялинейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.3. Для каждого элемента а Е X определяем противоположный элемент —аеХ такой, чтоаф-а = в.Если такого элемента не существует, то множество X не являетсялинейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. Va, 6, с е X и Va, /3 G R:а ф 6 = Ь 0 а;(афЬ) е с = а 0 ( б е с ) ;а 0 (/3 0 а) = (а • /3) 0 а;1 0 а = а;(а + / 3 ) 0 а = а 0 а е / 3 0 а ;а0(а0б)=:а0афо;0Ь.Если хотя бы одна из аксиом нарушается, то множество X неявляется линейным пространством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
