164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Благодаря этой связи любое математическое выражение из документа MS Word может быть передано в DERIVE для преобразований,результат которых затем вставляется в документ MS Word.В пакете РЕШЕБНИК.ВМ материалы книги РЕШЕБНИК "Высшая математика" становятся интерактивными шаблонами для документов студентов и преподавателей. Например, если студенту нужнорешить какую-нибудь задачу, то он может:1) найти задачу данного типа;2) изучить план ее решения;3) изучить пример;4) изменить исходные данные и выполнить надлежаш;ие действияс ними;5) сохранить содержание окна в каком-нибудь файле;6) передать файл преподавателю непосредственно или предварительно распечатав его.Естественно, возникает вопрос: если пакет РЕШЕБНИК.ВМ выполняет математические действия за учаш;ихся, то как же они смогутнаучиться выполнять эти действия самостоятельно? Ответ таков:пакет Решебник ВМ выполняет за учаш;ихся не те математическиедействия, которые они изучают в данный момент, а те, которые ониуже изучили раньше.
Так экономится время, внимание концентрируется на сути изучаемого метода и математика становится прош;е j\jmпонимания и интересней.Заметим, что при использовании пакета РЕШЕБНИК.ВМ высвобождается свыше 60% учебного времени. Это время целесообразноуделить решению нескольких задач одного и того же типа, анализуи обсуждению результатов, а также изучению новых тем и разделовматематики, включение которых в программу ранее не представлялось возможным.10ПредисловиеПодчеркнем, что для использования пакета РЕШЕБНИК.ВМ надоуметь пользоваться только MS Word.
Все остальные навыки выработаются сами собой по мере изучения математики.Студенты могут применять пакет и для решения задач по физикеи другим точным наукам, а также для оформления отчетов по лабораторным и курсовым работам.По истечении полутора-двух лет оказывается, что студенты умеют решать всевозможные задачи самостоятельно и с использованиеммош;нейшего пакета "Суперсистема символьной математики", который сформировался на их компьютерах в процессе учебы с помощьюпакета РЕШЕБНИК.ВМ.Преподаватели могут использовать пакет РЕШЕБНИК.ВМ приподготовке занятий, контрольных мероприятий, методической литературы, статей и для организации автоматического контроля знанийстудентов.Объем пакета РЕШЕБНИК.ВМ не превосходит 500 К.Подробная информация о пакете РЕШЕБНИК.ВМ и сам пакетразмеш;ены на сайте Интернет www.AcademiaXXI.ru.Авторы будут благодарны всем приславшим свои замечания окомплексе РЕШЕБНИК "Высшая математика" и предложения по адресу:111250 Москва, ул.
Красноказарменная, д. 14, Московский энергетический институт (ТУ), кафедра высшей математики.E-mail: KirillovAI@mpei.ru.Глава 1АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯПри изучении темы АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ вы научитесь решать задачи векторной алгебры и использовать свойства линейных операций с геометрическими векторами, скалярного, векторного и смешанного произведений векторов для решения геометрических задач.
Вы научитесь решать задачи аналитической геометрии,связанные с различными видами уравнений плоскости и прямой и ихвзаимным расположением.С помош;ью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете решить системыуравнений, вычислить определители, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.1.1. Разлож:ение вектора по базисуПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти разлоэюение вектора x={xi, Х2, хз}по векторам р = {р1,р2,рз}, q = {qi,q2,q3} w f == {г1,Г2,гз}.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Искомое разложение вектора х имеет видX = ар-\- Pq + jf.2. Это векторное уравнение относительно си,/3,^ эквивалентно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестнымиP2«-b ^2/?+ 7-27 = X2,Рза + 9з/3 + гз7 = хз.3.
Решаем эту систему уравнений относительно а, /3 и 7 и такимобразом определяем коэффициенты разложения вектора х по векторам р, ди г. Записываем ответ в виде х = ар-\- l3q-{- "уг.12Гл. 1. Аналитическая геомещрилЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ система уравнений не имеет решений (векторыр, q л г лежат в одной плоскости, а вектор х ей не принадлежит),то вектор X нельзя разложить по векторам р, q и г. Если системауравнений имеет бесчисленное множество решений (векторы р, q, ги вектор X лежат в одной плоскости), то разложение вектора х повекторам р., qvir неоднозначно.П Р И М Е Р .
Найти разложение вектора х = { 3 , - 1 , 2 } по векторамр = {2,0,1}, д = { 1 , - 1 , 1 } и г = { 1 , - 1 , - 2 } .РЕШЕНИЕ.1. Искомое разложение вектора х имеет видX = ар-\- /3q-\- jr.2. Это векторное уравнение относительно а, /3 и 7 эквивалентносистеме трех линейных уравнений с тремя неизвестными2а + р+7=а 4- /3 - 27 =3,2.3. Система имеет единственное решение а = 1,/3 = 1, 7 = 0Ответ. X = р-\- q.Условия ЗАДАЧ. Написать разлооюение вектора х по векторамр, q и г.1. f = {-2,0,9},2.
f = {5,-12,-1}3. ж ={0,2,4},4. f = {-1,5,5},5. X ={-1,-2,3},6. f = {-5,2,-l}.7. f = {l,-5,7},8. f = {5,l,4}.9. f = { l , l , - l } .10.f = {-3,7,4},р={0,-1,2},р={1,-3,0},р ={3,1,-1},р={2,1,1},р ={2,0,1},р={-1,1,0},р ={0,-1,1},p ={2,0,2},p={l,l,0},p ={-2,2,1},д={1,0,-1},д- = { 1 , - 1 , 1 } ,9 ={0,-3,1},g ={-2,0,-3},g ={1,2,-1},q={2,-l,3},g ={2,0,1},g={0,-l,l},g={-l,0,l},g ={2,0,1},г={-1,2,4}.г={0,-1,2}.F = {1,1,1}.г- = {-1,2,1}.f = {0,4,-1}.f = {l,0,l}.f = {3,-1,0}.f = {3,-1,4}.f = {-l,0,2}.f = {1,1,1}.Ответы. 1. { 2 , - 1 , 1 } .
2. { 4 , 1 , - 1 } . 3. {-1,0,3}. 4. { - 1 , - 1 , 3 } .5. { 1 , - 3 , 1 } . 6. { 3 , 1 , - 4 } . 7. { 2 , 5 , - 3 } . 8. { 1 , - 2 , 1 } . 9. { 1 , 1 , - 1 } .10. { 2 , - 1 , 3 } .1.2. Коллинеарность векторов131.2. Коллинеарность векторовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Коллинеарны ли векторы р = Aia + Л26 иq = /iia + /i2^, где а = {а1,а2,аз} иЬ = {bi,62,63}?П Л А Н РЕШЕНИЯ. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число а такое, что р = aq. Иными словами, векторыколлинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны,1. Находим координаты векторов р и q^ пользуясь тем, что присложении векторов их координаты складываются, а при умножениина число координаты умножаются на это число.2.
Если координаты векторов р = {р1^Р2,Рз} ^ Q = {QI^Q2IQ3}пропорциональны, т.е.Pi. _ Р2 _ РЗQiто векторы pnqQ2Яз 'коллинеарны. Если равенстваPi^ _ Р2 _ РзQiЯ2не выполняются, то векторы pnqЯзнеколлинеарны.П Р И М Е Р . Коллинеарны ли векторы р = 4а — 36, q = % — 12а, гдеа = {-1,2,8} и 6 = {3,7,-1}?РЕШЕНИЕ.1. Находим координаты векторов р w. q, пользуясь тем, что присложении векторов их координаты складываются, а при умножениина число координаты умножаются на это число:р = {-13,-13,35},д = {39,39,-105}.2. Так как-1339-133935-105 'то координаты пропорциональны. Следовательно, векторы р и g коллинеарны.Ответ.
Векторы р* и д* коллинеарны.Гл. 1. Аналитическая геометрия14Условия ЗАДАЧ. Коллинеарны ли векторы р и q1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.а-{1,2,-3},а={2,0,1},а-{-2,2,1},а={-1,2,3},а={2,5,1},а-{1,2,-2},а-{1,2,3},а=:{1,3,-1},а={-1,-2,2},а={1,3,2},р = За + 66,р = 2а + 26,Ь = { - 1 , - 2 , 2 } , р =г а + 36,6={2,1,1},р = 2а + 36,Ь={5,0,2},р=-а + Ь,р=а-\-Ь,Ь-{1,3,-1},6-{2,-1,0},р = 63— 26,р = 6а- 36,Ь^ = {2,1,3},6^ = { 1 , 0 , 2 } ,р = а -f 36,p=a — b^6-{1,-2,6},6={1,0,-1},6-{-2,3,1},?g = - a + 26.q = 3d-2b,q — 2d-h.q=a — 6.^ = a — 36.q=a-\-2b.g*=—3a-f a.g*=:-4a + 2a.q—~2a — 66.g =:-6a + 66.Ответы.
1. Нет. 2. Нет. 3. Нет. 4. Нет. 5. Нет. 6. Нет. 7. Да.Да. 9. Да. 10. Да.1.3. Угол между векторамиЗАДАЧИ. Даны точки A(a;i,t/i,zi), В{х2^у2^^2) иНайти косинус угла между векторами АВ и АС.ПОСТАНОВКАС{хз,Уз^^з)-ПЛАН РЕШЕНИЯ. Косинус угла ip между векторами АВ и АС определяется формулойCOS(/? ={АВ.АС)\АВ\ ' \АС\(1)1.
Чтобы вычислить длины векторов \АВ\ и \АС\ и скалярноепроизведение {АВ^АС), находим координаты векторов:АВ = {х2 -Х1,у2 -yi,Z2- zi),AC = {хз -Х1,уз-yi,Z3~ zi}.2. По формулам для длины вектора и скалярного произведениявекторов имеем\АВ\ - y/{X2-Xi)^+ {y2-yi)^+{z2-Zi)^,\АС\ - V(^3 - xi)2 + (уз - yi)2 + (^3 - zi)2,(АВ, AC) = {х2 - xi){x3 - xi) + (2/2 - У1){уз - 2/i) + (^2 - Zi){z3 - zj).3. Вычисляем cosi/? no формуле (1) и записываем ответ.1.4. Площадь параллелограмма15П Р И М Е Р .
Даны точки А ( - 2 , 4 , - 6 ) , Б ( 0 , 2 , - 4 ) и С ( - 6 , 8 , - 1 0 ) .Найти косинус угла между векторами АВ и АС.РЕШЕНИЕ.1. Находим координаты векторов АВ = {2,-2,2} и АС = {-4,4,-4}.2. По формулам для длины вектора и скалярного произведениявекторов имеем\АВ\ = ^ 2 ^ + ( - 2 ) ' + 2' = 2v^,1^1 = V ( - 4 ) 2 + 42 + (-4)2 = 4 ^ 3 ,(АВ, AC) = 2 • (-4) 4- (-2) • 4 + 2 • (-4) = - 2 4 .3. Вычисляем cos<^ по формуле (1):-24COS (f =-1=^-7= = —1 .2\/3 • 4\/3Ответ. Косинус угла между векторами АВ и АС равен —1.Условия ЗАДАЧ. Найти косинус угла меоюду векторами АВ и АС.1. А{2,-2,3),2. А ( 0 , - 2 , 6 ) ,3. А{2,г,-1),4.
А ( - 1 , 2 , - 2 ) ,5. У 1 ( - 2 , - 2 , 0 ) ,6. А ( 3 , 3 , - 1 ) ,7. Л ( - 1 , - 7 , - 4 ) ,8. А ( 2 , - 2 , 6 ) ,9. Л(0,1,0),10. Л(3,2,0),В{1,-1,2),В(-12,-2,-3),5(4,5,-2),5(3,4,-5),В(1,-2,4),В(3,2,0),В(2,-1,-1),5(0,0,4),5(3,1,4),5(1,4,-1),С(4,-4,5).С(-9,-2,-б).С(3,1,1).С(1,1,0).С(5,-2,1).С(4,4,-1).С(4,3,1).С(б,-6,10).С(4,1,3).С(4,0,2).Ответы, l.cosy) = - 1 . 2.cos^ = 24/25. Z.cos^p = - 4 / 9 . 4.cos(p = 0 .5. cos (f = -^/2/2.
6. cos ip = 1/2. 7. cos y; = 1. 8. cos ^ = - 1 . 9. cos ip = 24/25.10.cosv? = - 8 / 9 .1.4. Площадь параллелограммаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а = aip + a2q ub = /3ip'+/329, если известно,что \р\ = ро, \q\= qo и угол между векторами р и q равен ip.16Гл. 1. Аналитическал геометрияПЛАН РЕШЕНИЯ. Площадь параллелограмма^ построенного на векторах а и 6, равна модулю их векторного произведения:S=\la,b]\.(1)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
