164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 7
Текст из файла (страница 7)
+ C l X l -h С2 Х2 + С з Х з ,где Хн.н. — какое-нибудь частное решение неоднородной системы,Х1,Х2,Хз — фундаментальная система решений соответствующейоднородной системы и С1,С2,Сз — произвольные постоянные.3. Запишем соответствующую однородную систему уравненийХ2 Н- 2хз — 3x4= О,2x1 -Х2-\- Зхз+ 4x5 = О,2x1-f 5x3 - 3x4 + 4x5 = 0.Гл. 2. Линейная алгебра50Она совпадает с системой, приведенной в примере 1. (Если однородная система уравнений не совпадает с системой, приведенной впримере 1, то для нахождения фундаментальной системы решенийповторим операции, использованные при решении примера 1.)При решении примера 1 была найдена фундаментальная системарешений однородной системы уравнений:( -^/2 ^-21Xi ='0V0/ 3/2 \30,^ ' "1)^ 0 }^ - 2 \0 '0Хз =0^1/4.
Найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы.Столбец свободных членов В расширенной матрицы есть линейнаякомбинация базисных столбцов матрицы Л, т.е. столбцов Ai и А2:B =2'Ai-l'A2.Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получимБ = 2 • Л1 - 1 • ^2 4- О • Аз + О • ^4 + О • ^ 5 .Коэффициенты в этом разложении образуют частное решение неоднородной системыf - ^^1^ч.„. =ооV о/Сделаем проверку, подставив Хч.н. в исходную систему уравнений.Ответ.
Обш;ее решение системы имеет вид/ 3/2 \/2\(( -^/2 ^-1-23100+ Сг+ С7з+ С2^о.н. —100V ч1 0 )V 01где Ci, С2 и Сз — произвольные постоянные.- 2 \000V 1/2.4. Системы линейных уравнений51Условия ЗАДАЧ. Найти размерность d пространст,ва решений{количество линейно независимых решений)^ фундаментальную систему решений {базис пространства решений) и общее решение систем линейных уравнений.5x1 -\- Х2 2x1 - 2x2 3x1 + 9x2 xi -f 2x2 3xi -h 8x2X i -h 3X2 +7x3 — 5x4 + 2x5 = О,Зхз - 7x4 + 2x5 = О,Зхз + 27x4 - 3x5 = О,2хз - 3x4 = 4,- 4x4 = 14,Хз -X4 = 5.6xi + 5x2 - 2x3 - X4 + 3x5 = 0,Xi - 3X2 + Хз - X4 - X5 = 0,2xi -f 3x2 + 2x3 + X4 + X5 = 0,3xi - 11x2 + 6x3 -f X4 + 3x5 = 14,2xi — 7x2 -f 4x3 + a^4=9?Xi - 3x2 4- 2x3 + X4 - 3x5 = 4.2xi — 4x2 - 22x3 - 5x4 + 5x5 == 0,5xi — X2 -f 8x3 — 2x4 -f 2x5 = 0,3xi - 3x2 - 12x3 - 4x4 + 4x5 = 0,4xi -j- 9x2 — 5x3 — 8x4 = 5,3xi + 7x2 - 2x3 - 4x4 = 4,2xi + 5x2 -f X3 H- 3x4 = 3.6x1 - 9x2 + 21x3 - 3x4 - 12x5 = 0,8x1 - 12x2 + 28x3 - 4x4 - 16x5 = 0,2xi - 3x2 + 7x3 - X4 - 4x5 = 0,-X2 -f 4x3 H- 8^4 - ^5 = 1,2xi - 9x2 + 2x3 +X5 = 7,xi - 4x2 - X3 - 4x4 -f X5 = 3.3xi +9x2 - X3 - 3x4= 0,Xi -f 10X2 ~ 3X3 - 2X4 - X5 = 0,2xi + 19x2 - 4x3 - 5x4 - X5 = 0,Xi + 3X2 - X3 - 2X4 = 1,2xi + 7x2 - 4x3 - 3x4 = 3,3xi -f 11x2 - 7x3 - 4x4 = 5.Гл.
2. Линейная алгебра524x1 - бж2 + 7хз - 6x4 Н- 4x5 = о,XI + 4x2 + 2хз Н- 2x4 - 5x5 = О,6x1 + 2x2 + 112;з — 2x4 - 6x5 = О,4X1 + 5X2 + 5Хз + 3X4 + 2X5 = 1,3X1 + 4X2 + Жз + 3X4= 1,2X1 + 3X2 — ЗХз + 3X4 — 2X5 = 1.12x1 - ^2+ 7хз + 11x4 - а:5 = о,23x1 - 3x2 + 13хз + 23x4 - 4x5 = О,Xi + Х2 +Хз Х4 + 2X5 = о,4x1 - 7x2 + 5хз 4- 10x4 = О,2x1 — 3x2 Ч- Хз 4- 4x4 = 1)3x1 — 5x2 + Зхз + 7x4 = 13x1 + 3x2 + 4хз + 5x4 — 4x5 = О,2x1 + Х2 + Зхз + Х4 — 5x5 = о,xi 4- 3x2 — Хз -Ь 6x4 — Х5 = о,xi — Х2 + 4хз -f 3x4= о,5x1 - 3x2 - 2x3 - 3x4 + 4x5 = 2,2X1 — Х2 — Зхз - 3X4 + 2X5 = 13X1 + 9X2 -h 2X3 - 2X4 +Xs—0,Xi + 6X2 - Хз + Х4 -f 2X5 = о,xi + 16x2 — 6x3 4- 6x4 4- 7x5 = о,4xi - 7x2 4- Зхз 4- 7x4 = 1?3xi — 5x2 4- Хз 4- 4x4 = 1)2xi - 3x2 - Хз 4- Х4 = 1.10.3xi 4- 5x2 ~ 2хз 4- Х4 — Х5 = О,Xi 4- Х2 4- 2x3 - Х4 4- Х5 = О,2x1 4- 3x2 - Хз=0,4x1 — 112^2 4- 5хз 4- 2x4 4- 3x5 = 7 ,3x1 - 8x2 4- Хз 4- 2x4= 5,2x1 — 5x2 - Зхз 4- 2x4 — 3x5 = 3.2.5.
Линейные операторы53Ответы *) . 1. d = 3, d = 2. 2. d = 2, d = 3. 3. d = 2, d = 2.4. d = 4, d = 2.5. d = 2, d = 2.6. d = 3, d = 3.7. d = 3,d = 2. 8. d = 2, d = 3. 9. d = 2, d = 2. 10. d = 2, d = 3.2.5. Линейные операторыПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пусть в некотором базисе линейного пространст,ва Хп задан произвольный вектор х = {xi,a;2, •. • ,Жп}. Явллет,ся ли линейным оператор А : Хп »-> Хп такой^ чтоАх = {fl{xi,X2,. . . , Хп), f2{Xl,X2, . .
. , Хп), • • • , fn{xuX2,• • • , Хп)},2<?е / i , /г, • • •, /п — некоторые функции п переменных^П Л А Н РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ Х = {a:i,X2,... ,а:п} и у = {2/1,2/2, • • • ,2/п} —произвольные векторы пространства Х„, то ж4-2/ = {^i+T/i, ^2+2/2, • • •,2^п + 2/п} и аж = {axi, а х 2 , . . . , ажп}.Проверяем условия линейности оператора:А{х + у) = Ах + А2/,А{ах) = аАх.Если условия линейности выполнены, т.е.fi{xi + 2/ь а:2 + 2/2,..., а^п + 2/п) = fi{xi,X2,...,fi{axi,ax2,...,ж^) + МУ1,У2,-".Уп),ахп) = Q:/i(xi, Ж2,..., Жп)при г = 1,2,..., п, то оператор Л линеен, в противном случае оператор А нелинеен.П Р И М Е Р . Пусть в некотором базисе линейного пространства Х^задан произвольный вектор х = {х1,Х2,хз}' Является ли линейнымоператор А : Х^ ^ Х^ такой, чтоАх = {xi - Х2,2x1 + ^3, Зжх}?Р Е Ш Е Н И Е . Пусть х — {xi,X2,x^} и г/ = {t/i, 2/2,2/з} - произвольныевекторы пространства Хз- Тогда х -\-у — {xi + 2/I) ^2 + 2/2, а:з + 2/з} иах = {axi, аж2, скжз}.*) Найденные фундаментальные системы решений однородных систем уравнений и частные решения неоднородных систем проверьте с помощью подстановкив уравнения.Гл.
2. Линейная алгебра54Проверяем условия линейности оператора:А{х-\-у) = {(xi+2/i)-(a;2-f2/2),2(a;i+2/i) + (x3+?/3),3(xi+yi)} == {xi - Х2,2x1 + жз, 3xi} + {yi - 2/2,2yi + г/3, ^Vi} = Аж + Ay,A{ax) = {axi—ax2,2axi-\-ax^,3axi}= a{xi—X2,2xi-\~X3,3xi}= aAx.Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор А линеен.Ответ. Оператор А линеен.Условия ЗАДАЧ.
Являются ли линейными операторы А, В иС11.Ах = 2х\ - 5x2 - Зхз, -2x1 - 3x2 - а^з, 2:2 + Зхз},Вх = Xi - 2X2 - 4 х з , Xi - Х2 ~ З х з , 2X2 + 3 } ,Сх = Хз, 2x1 - Х2- 2хз, 3x2 -Ь хз}.2.Ах = 2x1 — 3x2 — 2хз, 2x1 — 3x2,2x2 + 3},Вх = 4X1 - 3X2 - Хз, О, Х2 + Хз},Сх = XI - 2x2 — а:з, 3x1 - 2x2,3x2 + х^}.3.Ах = 2X1 — Х2 — ЗХз, Xi, Xi -h Х2 + Хз},Вх = 3xi - Х2 - Хз, 2x1,3x1 -\-X2-\- Хз},Сх=: 3X1 - Х2 — Хз, 2X1, 3X1 + Х2 - 1}.4.Ах = 2x1 -\-X2-\- 4хз, 2хз, xi - 2x2 - Зхз},Вх = 2x1 -\-X2-\- 4хз, 1, XI - 2x2 + 3},дх = 5x1 -f 3x2 + Хз, Хз, 2х^ - 2x2 - 4хз}.5.Ах = XI, 2X1 - Х2 + l,Xi - Х2 - ЗХз},Вх = XI, 2X1 - Х2~ 3x3,Xi - Х2 - ЗХз},Сх = XI, 2X1 - Х2~ Зхз, Xi - Х2 - ЗХз}.6.Ах = XI + 2x2,3x2 - 4хз, xi - 2x2 - Зхз},Вх = XI + 2X2,3X2 - 4хз,Х1 - 2X2 - ЗХз},Сх = XI -h 2X2, 3X2 - 2, Xi - 2X2 - 5}.7.Ах = 2xi,3xi 4-2x2 + 3x3,4x1 + 5x2 + 2хз},Вх = 2xi, 3xi + 2x2 + 3,4x1 + 5x2 + 7},Сх = 2xi, 3xi + 2x2 + Зхз, 4xi + 5x2 + 2хз}.2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора8.Ах = XI - Ъх2 - xz, 5, xi + 2а;2 + 1},Вх = Xi ~ 3X2 - Хз, О, х\ + 2X2 + Зхз},Сх = XI - 3X2 - Хз, Хз, XI + 2X2 + Зхз}.9.Ах = 4x1 - 2x2, Зхз, XI -h 2x2 + Зхд},Вх = '4x1 - 2x2, Зхз, XI + 2x2 + Зхз},Сх = 'Zl -2Х2,3,Х1 + 2Х2 + Зхз}.5510.
Ах = 5x3, XI -Ь 2x2 + Зхз, 2x1 + 3x2 + 5хз},Вх = 5x3, XI + 2x2 + 2,2x1 + 3x2 4- 5},Сх = 5хз,0,х^ + 3x2 + 5хз}.Ответы.1. А линейный, В нелинейный, С нелинейный.2. А нелинейный, В нелинейный, С линейный.3. А нелинейный, В линейный, С нелинейный.4. А линейный, В нелинейный, С нелинейный.5. А нелинейный, В нелинейный, С линейный.6.
А нелинейный, В линейный, С нелинейный.7. А линейный, В нелинейный, С нелинейный.8. А нелинейный, В нелинейный, С линейный.9. А нелинейный, В линейный, С нелинейный.10. А линейный, В нелинейный, С нелинейный.2.6. Матрица, образ, ядро, ранги дефект оператораПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Задан оператор А, осуществляющий некоторое преобразование пространства геометрических векторов V^.Доказать линейность., найти матрицу (б базисе i^j^k)^ образ^ лдро^ранг и дефект оператора А.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1.
По определению доказываем линейность оператора Л, используя свойства операций над геометрическими векторами в координатной форме, т.е. проверяем, что Vx, у G V3 и Vo: G RА{х + у) = Ах + Ау,А{ах) = аАх.56Гл. 2. Линейная алгебра2. Строим по определению матриц^^ оператора А. Для этого находим образы базисных векторов г, j , fc и записываем их координатыв базисе i^j^k. Столбцы искомой матрицы — это столбцы координатобразов базисных векторов.3. Раходим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из ихопределений.П Р И М Е Р .
Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i , j , ^ ) ,образ, ядро, ранг и дефект оператора проецирования пространствагеометрических векторов Vs на плоскость XOY.РЕШЕНИЕ.1. Докажем по определению линейность оператора проецирования. Пусть в базисе г, j , fc имеем произвольный вектор х = {^i, Х2, жз}.Тогда его образ (проекция) есть Рх = {ж1,а:2,0}.По правилам операций с геометрическими векторами в координатной форме Vf ={xi,X2,xs}е Уз, Уу = {у1,2/2,2/з} G Vs и Va G RимеемР{х + ^) = {xi Н- 2/1, Х2 Ч- 2/2,0} = {жх, д;2,0} + {2/1,2/2,0} = Р х + Ру,Р{ах) = {axi,ax2,0} = Q:{xi,X2,0} = аРх.2.
Так как по определению матрицы оператора ее столбцы —это столбцы координат образов базисных векторов, найдем образыбазисных векторов г, jf, fc и запишем их координаты в базисе г, j , /с:Р ? = ? = {1,0,0},P j = j = {0,1,0},P f c = : 6 = {0,0,0}.Таким образом, матрица оператора проецирования Р есть3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя изопределений.^Образ оператора проецирования Р — это множество векторов,лежащих в плоскости XOY, следовательно, в базисе г, j , кlmgP = {iy:Отсюда R g P = 2.у = аг + Рз,а,/ЗеМ}.2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора57К е г Р — это множество векторов, коллинеарных оси 0 Z , следовательно, в базисе г, j , ^К е г Р = {Ух: x = jk,7 ^ Щ-Отсюда Def Р = 1.Заметим, что Rg Р + Def Р = 2 + 1 = dim V3Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
