164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Вычисляем [а, 6], используя свойства векторного произведения[а, Ь] = [aip + 0L2q,liiP + p2q\ ==Q^I/?I[P,P1+ a;i/?2[p,q\ + o^2/3i[q,p\ -f a2/32[g,q\ == (ai/?2 -a2/?i)[p,g].2. Вычисляем модуль векторного произведенияI [а, 6] I = |ai/?2 - «2^1 \p\ l^simp{simp > 0, так как О < (p < тг).3. Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)5 = |[а,Ь]| = \aiP2 -Q:2/?i||plMsin<^.П Р И М Е Р . Вычислить площадь параллелограмма, построенного навекторах а — Зр~\- 2диЬ = 2р — д, если известно, что |р| = 4, |gl = 3 иугол между векторами рид равен 37г/4.РЕШЕНИЕ.1. Вычисляем [а, 6], используя свойства векторного произведения[а,Ь] = [3^+ 2q,2p^ q\ = 6[р,Й - 3[p,g] + 4[q,p\ - 2%^ = - 7 [ р , ^ .2. Вычисляем модуль векторного произведения|[5, Ь]| = I - 7[р,gll = 7|pl|9l sin ^= 42ч/2.3. Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)5=:|[а,Ь]|=:42\/2.Ответ. Площадь параллелограмма равна 42\/2 (ед.
длины)^.1.5. Компланарность векторов17Условия ЗАДАЧ. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а иЪ {pq — угол меоюду векторами р и q).1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.a = p + 3g,a = 2p-\-q,a = p-2q,a=:3p-5g*,a=p-q,a=p + 2q,a = 2p-2q,a = p-\-q,a-4p-4g,a=p-bg,b^=2p-q,b = p - 3q,b^^p + Sq,b = p~\-2q,b = 2p4-2g,b = 3p-2q,b^ = p + q,b = p-iq,b = p + 3g,b = 2p-q,|р| = 2,\p\ = 2,\p\ = 1,|p| = 2,|p1 = 1,|p| = 3,\p\ = 2,|p| = 7,|pl = 2,\p\ = 2,\q\ = I,|^ = 2,\q\ = 2,|gl = 1,|gl = 6,|gl = 2,|gl = 3,|g| = 4,|g1 = 1,\q\ = 3,р£=7г/6.р£ = 7г/А.p | = 7г/2.pq=bn/6.pg = 37г/4.pq^zn/Spg = 7г/2pg = 7г/4p | = тг/бpq =7г/3Ответы. 1.
5 = 7. 2. 5 = 14i/2. 3. 5 = 10. 4. 5 = 11. 5. 5 = 15\/2.6. 5 = 24\/3. 7. 5 = 24. 8. 5 = 70v/2. 9. S = 16. 10. 5 = 9\/3.1.5. Компланарность векторовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Компланарны ли векторы а = {а1,а2,аз},Ь = {61,62,^3} txc = {с1,С2,сз}?П Л А Н РЕШЕНИЯ. ДЛЯ ТОГО чтобы три йектора были компланарны(лежали в одной плоскости или в параллельных плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение (а,Ь,с) былоравно нулю.1. Смешанное произведение векторов выражается через их координаты формулой(а, 6, с) =СЦ^2bi62 ЬзClС2^3Сз2.
Если определитель в правой части этого равенства равен нулю,то векторы компланарны, если определитель не равен нулю, то векторы некомпланарны.П Р И М Е Р . Компланарны ли векторы а = {7,4,6}, Ь = {2,1,1} ис = {19,11,17}?18Гл. 1. Аналитическая геометрияРЕШЕНИЕ.1. Вычисляем смешанное произведение векторов:(а, 6, с) =72194 61 111 17= 0.2. Так как (а, Ь, с*) = О, векторы а, Ь и с компланарны.Ответ. Векторы а, 6 и с компланарны.Условия ЗАДАЧ. Компланарны ли векторы а,Ь и с71.
а =2. 5 =3. а =4. а =5. а =6. а =7. а =8. а =9. а =10. а ={1,3,0},{3,2,1},{0,6,1},{4,1,-2},{2,5,0},{1,0,-1},{4,3,1},{-2,4,3},{2,5,8},{1,5,1},6=6=6=6=6=6=6=Ь=6=6={-1,0,-1},{5,5,5},{0,2,0},{3,2,1},{2,-1,2},{-2,-1,0},{5,1,2},{4,7,5},{1,-3,-7},{1,7,1},с = {1,2,1}.с= {0,-1,-2}.с = {1,1,1}.с = {5,5,5}.с = {1,1,1}.с = {3,1,-1}.с ={2,1,-1}.с ={2,0,-1}.с = {0,5,10}.с = {2,2,1}.Ответы. 1. Нет. 2. Да.
3. Нет. 4. Да. 5. Нет. 6. Да. 7. Нет.8. Да. 9. Да. 10. Нет.1.6. Объем и высота тетраэдраПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках Ai{xi,у 1,zi), Аз(жз,2/2,22), Аз{хз,уз,2з), ^4(^4,2/4,^4)и его высоту, опущенную из вершины А^ на грань А1А2А3.ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Из вершины Ai проведем векторы A\A2 = {x2—xi,y2—yi,Z2~zi},Л1Л3 = {а;з-Х1,2/3-2/1,23-zi} иAiA4-{x4-xi,y4-yi,Z4-zi}.В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем1 ,,1К .
= ^ • V„n. = ^ 1(^1^2,^1^3,^1^4)1,Оо(1)1.6. Объем и высота тетраэдра19объемы т е т р а э д р а и параллелепипеда, построенныхгде FT. И УПГна векторах Л1Л2, AiAs и А1А4)С другой стороны,(2)где согласно геометрическому смыслу векторного произведенияSAABC=^\[AiA2,AiA3]lСравнивал формулы (1) и (2), получаем1(^1^2, Ai Аз, AiA4)|h =SAA1A2A3(3)|[AiA2,AiA3]|2. Вычисляем смешанное произведение:2/2 - 2/1Уз- 2/1У4- 2/1Х2 -XIхъ -XIХ4 -Xi(AiA2,AiA3,AiA4) =Z2 - ZiZ3 - ziZ4 - Ziи находим объем т е т р а э д р а по формуле (1).3. Вычисляем координаты векторного произведения:[AiA2,AiA3] =iJкХ2 ~ Xi2/2 - 2/12/3 - 2/1Z2~ zx2:3 - z iХз - XIЛ 2/2 1 2/3 -2/12/1Z2- ZiZ3 - ziX2 — X\?X3 - xiZ2— ZiZ3- zxzzzX2 --xx) Х3 --xxУ2 - 2 / 12/3 - 2 / 1и его модуль.4.
Находим высоту h по формуле (3).П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬ объем т е т р а э д р а с вершинами A i ( 2 , 3 , l ) ,^ 2 ( 4 , 1 , - 2 ) , Аз(6, 3, 7) и А 4 ( - 5 , - 4 , 8 ) и его высоту, опущенную извершины А4 н а г р а н ь А1А2А3.РЕШЕНИЕ.1. Из вершины Ах проведем векторы А1А2 = {2, —2, —3}, АхАз{4,0,6} и А т = { - 7 , - 7 , 7 } .=20Гл. 1. Аналитическая геометрия2. Вычисляем смешанное произведение:-2О-7{AiA2,AiA3,AiA4)= 2 • 42 + 2 • 70 + (-3) • (-28) = 308и находим объем тетраэдра по формуле (1)13Ут = 7 * ^^^ (ед.длины) .63. Вычисляем координаты векторного произведения:г24[AiA2,AiA3] =j-20к-36= - 1 2 ? - 2 4 J + 8^ = {-12, -24,8}и его модуль[AU2,AiA3]= ^ ( - 1 2 ) 2 + (-24)2 + 8228.4.
Находим высоту h по формуле (3):.1(^1^2,^1 Аз, ^1^4)1308,^h — ——— ,,—— = —— = 11 ед.длины.\[А^А^,АгАз]\28Ответ. Vr, = -— (ед.длины) ,h = 11 ед.длины.оУсловия ЗАДАЧ. Вычислить объем тетраэдра с вершинами вточках Ai, А2, A3, А4 и его высоту^ опущенную из вершины А^ награнь А1А2А3.6.7.8.9.10.Ai(2,4,7),Ai(-2,4,8),Ai(6,l,3),Ai(0,-1,2),Ai(0,-4,3),Ai(2,l,l),Ai(4,l,-1),Ai(5,2,l),Ai(0,2,-2),Ai(12,2,3),>i2(3,3,2),^2(4,-1,2),^2(6,-2,-3),Л2(-3,3,-4),Л2(-5,1,-2),^2(0,5,7),^2(1,4,-1),^2(4,5,4),Л2(1,9,3),A2(-7,-5,0),^3(0,1,2),Аз(-8,7,10),^з(2,2,0),Аз(-9,-5,0),^з(4,7,-2),Лз(3,-3,-7),^з(0,1,3),Аз(8,3,-3),Лз(6,-6,-2),Аз(-4,-8,-5),А4(-3,7,-2).А4(-3,4,-2).Л4(-5,1,0).Л4(-8,-5,4).А4(-9,7,8).Л4(1,8,5).А4(-2,0,0).А4(-7,12,-4).^4(3,-2,8).А4(-4,0,-3).1.7.
Расстояние от точки до плоскости21Ответы.l.V3. Уb.V7. У9. У=====70/3,43/2,190,12,250/3,h=h=h=/i =/г =2ч/14.43\/Т05/105.2v^.2i/3.5\/2.2.4.6.8.10.УУУУУ=====56/3,80/3,15,140/3,338/3,/i =h=h=/i =/i =4.i.SVE.4i/l4.V^.1.7- Расстояние от точки до плоскостиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти расстояние от точки Мо(жо, VO^ZQ)до плоскости, проходящей через точки Mi(a:i,2/i,zi), М2{х2,У2у^2) иМз(а;з,2/з,^з)П Л А Н РЕШЕНИЯ.
Искомое расстояние можно найти как высотутетраэдра с верпганами Мо(а;о,2/о,^о), Mi{xi,yi,zi),М2(х2,2/2,^2) иМз(жз,2/з?^з)? опущенную из вершины Мо(а;о, VO^ZQ) на грань М1М2М3(см. задачу 1.6). Другое решение заключается в следующем.Расстояние d от точки Мо{хо,уо,го) до плоскости равно длинепроекции вектора MIMQ на нормальный вектор плоскости п, т.е.(n,MiMo)|d = I nP^MiMol = '^ ' .'"^' .(1)\n\Поскольку нормальный вектор плоскости n ортогонален векторамМ1М2 и М1М3, его можно найти как их векторное произведение:п = [MiM2,MiM3].1.
Находим координаты векторов:М1М2 = {x2-xi,y2-yi,Z2-zi},МгМг =Ml Mo = {хо -xi.yo -2/1,2:0 - zi},{x3-xi,ys-yi,Z3-zi},и нормального вектора плоскости:гп = [MiM2,MiM3] =jкХ2 -XI2/2 - 2/1^2 - Ziхз -XI2/3 - 2/1^3 - 2^12. Вычисляем расстояние d от точки Мо(жо,2/05^о) ДО плоскостипо формуле (1).П Р И М Е Р . Найти расстояние от точки Мо(1,-1,2) до плоскости,проходящей через точки M i ( l , 5 , —7), М2(—3,6,3), Мз(—2,7,3).Гл. 1.
Аналитическая геометрия22РЕШЕНИЕ.1. Находим координаты векторов:MiM2 = {-4,l,10},MiM3 = {-3,2,10},MiMo = { 0 , - 6 , 9 } ,и нормального вектора плоскости:п = [М1М2, MiMs] =г-4-3j к1 102 102. Вычисляем расстояние d от точкимуле (1):d:=|nP^MiMo| =|(n,MiMo)|= -lOi + lOj-Бк.MQ ДО ПЛОСКОСТИ ПОфор-105= 7.V(-10)2 + 102 -f (-5)2Ответ, d = 7 ед. длины.Условия ЗАДАЧ. Найти расстояние от точки MQ до плоскости,проходящей через точки Mi, М2 и М^.1.
M i ( 0 , 7 , - 4 ) ,М2(4,8,-1),Мз(-2,1,3),Мо(-9,10,2).2. Mi(5,8,3),М2(10,5,6),Мз(8,7,4),Мо(7,0,1).3. Ма(1,3,5),М2(-5,5,2),Мз(7,-1,8),Мо(-3,4,3).4. M i ( 0 , - 2 , - l ) ,М 2 ( - 3 , - 1 , 2 ) , Мз(1,0,-2),Мо(-3,3,1).5. Ml(2,3,1),М2(2,0,3),Мз(1,2,0),Мо(3,0,5).6. Mi(4,3,5),М2(4,5,2),Мз(5,1,4),Мо(-2,-6,2).7.
Ml(4,5,0),М2(4,3,0),Мз(1,2,9),Мо(6,1,-6).8. Mi(5,12,l),М2(0,5,-3),Мз(-4,2,-1),Мо(-4,9,-8).9. Mi(0,3,5),М 2 ( 0 , - 1 , - 3 ) , Мз(4,0,0),Мо(-1,4,6).10. M i ( l , - 2 , 2 ) ,М2(-3,2,3),Мо(-2,5,-4).Мз(3,0,6),Ответы. l.d = 459/\/2265. 2. d = 5л/2. 3.d = 0. 4. d = 9/у/Ш.5. d = N / 3 8 / 3 8 . 6.
d = 5/v/29. 7. d = 2^6. 8. d = 7. 9. d = 5/9.10. d = 45^194/97.1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором231.8. Уравнение плоскостис данным нормальным векторомПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Mo{xo,yo,zo) перпендикулярно вектору М1М2, гдеточки Ml и М2 имеют координаты {xi^yi^zi) и (х2,2/2,^2)•П Л А Н РЕШЕНИЯ.
Уравнение плоскости, проходящей через точку^о(^О) 2/05 ZQ) перпендикулярно вектору п = {А, Б , С}, имеет видА{х - хо) + В{у - уо) + C{z - го) = 0.(1)1. В качестве нормального вектора плоскости п выбираем векторМ 1 М 2 = {Х2 ~Х1,У2~yi,Z2-Zi}.2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным векторомМ1М2, проходящей через точку Мо(а:о,2/о,2;о):(Х2 - Xi){x- Хо) + (2/2 - yi){y- Уо) + {Z2 - Zi){z- Zo) = 0.П Р И М Е Р . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(2,5,—3) перпендикулярно вектору М1М2, где точки Mi и М2имеют координаты (7,8, —1) и (9, 7,4).РЕШЕНИЕ.1. В качестве нормального вектора плоскости п выбираем векторMiM2 = { 2 , - l , 5 } .2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным векторомп = {2, —1,5}, проходящей через точку Мо(2,5, —3):2 ( а ; - 2 ) - 1 ( 2 / - 5 ) + 5(гЧ-3)=0.Ответ. Уравнение плоскости 2а: — у Н- 5z + 16 = 0.Условия ЗАДАЧ.
Написать уравнение плоскости,через точку Мо перпендикулярно вектору М1М2.1.2.3.4.Мо(3,2,0),Мо(-5,-1,0),Мо(2,-4,-2),Мо(-5,3,10),Mi(4,l,5),iWi(-5,l,-4),Mi(-l,-3,-7),Mi(0,5,7),проходящейМ2(2,-1,4).М2(-2,2,-3).М2(-4,-1,-5).М2(2,7,8).24Гл. 1. Аналитическая геометрия5.6.7.8.9.10.Мо(2,-10,-4),Мо(1,9,2),Мо(0,-2,7),Мо(-1,1,-4),Мо(-1,7,-б),Мо(-5,2,5),Mi(0,-6,-8),Mi(0,4,7),Mi(-5,~4,9),Mi(3,8,-2),Ml(3,5,-1),Mi(3, - 3 , - 2 ) ,М2(-2,~5,-9).М2(1/6,9).М2(-2,^2,6).М2(2,11,0).М2(1,3,-2).М2(4, - 1 , 2 ) .Ответы.1.3.5.7.9.2a: + 22/ + z = 0.Зх - 2у - 22: - 16 = 0.2х - 2/ + ;г - 20 = 0.Зж + 2у - Зг + 23 = 0.2х + 2у -f г - 16 = 0.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
