164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Так как а{п) -^ О при п -> оо, тоl i m ( l + a(n))^/^(")=e.п—>-оо2. Если limn->oo «п = ^ (^п > О, а > 0) и limn->oo Ьп = 6, тоlim ttn^'^ = а^.Гл. 3. Пределы78Следовательно, если существует пределlim a{n)v{n) = lim {и{п) — l)v{n),n—>оото окончательно имеемlim [и{п) v ( n ) ]П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬ_glimn_>cx)(ii(n)-l)i)(n)предел4n^ + 4n - 1limn->oo у 4n^ 4- 2n -h 3l-2nРЕШЕНИЕ.1.
При n •Ч' oo выражение под знаком предела представляет собойстепень, основание которой стремится к единице:п->оо уАп^ + 2гг + 3а показатель — к минус бесконечности:lim (1 — 2n) = —ОС.п->ооПреобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использоватьвторой замечательный предел:1-2п4п^ + 4п - 14п2 + 2п + 3-(1 +4п2 + 2п + 32п-44гг2 + 2п + 3Так как1-2п2гг-44n2 + 2n + 32n-4(2n-4)(l-2n)4п2 + 2n + 32гг-4->04п2 + 2n + 3при п —> оо, то2n-4lim l-foo V4n2 + 2n + 34n2 + 2n + 32n-4= e.3.5.
Понятие предела функции792. Так какп-^оо 4гг2 + 2n + 3то окончательно имеем1-2п^оо V 4n2-h2n + 3,./4п2 + 4 п - 1 \ ' ~ ^ "_,Ответ, lim -—г—= е \п->сх) V4n2 + 2n + 3 /Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.1. ,i„,-2±iV.,. „„^2-+^^""-^oo\n — 1 /п-)-ооу2гг + 3п-)'СХ) у2п^' -\- 12 I5.limI о \ ""'^'^^г/.6.п-)-оо уп"^ -\- П — 1 J^7.9.п^оо^.
/ Зп2-2гг V ^ 'lim -тг-^—7. Z.n^oo \3п2 - 2 n + 5y/ Ч , o \ n—n^lim-T^.n->oo V TT'^ — 2 /Ответы. 1. e^9. e"^. 10. +00.2. Ve.о8.10.3. e.4. e.I тЧ " + 3lim ,\П + 5V /2гг2 + п + 5 \ ' " ^lim —-zn-^cx) \2n2 + n + l y/, 1 \ Зn^ + llim 'n->oo V n — 15. e'^.6. e^.7. 1.8. e^3.5. Понятие предела функцииПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Пользуясь определением предела функциив точке^ доказать^ чтоlim f{x) = А.Гл.
3. Пределы80ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Число А называется пределом функции f{x) в точке ж = а, еслиVe > О 35{е) > О :О < |х - а| < 5[е) => \f{x) - А\ < е.Это значит, что Ve > О неравенство |/(ж) — А\ < е имеет решениеО < | х - а | < S{e).2. Для того чтобы найти S{€)y сначала найдем множество М такое,чтоX е М ==^ \f{x)-А\<е,т.е. решим неравенство \f{x) — А\ < е. Затем найдем 5{е) такое, чтоО < |ж - а| < 5{е) ==> х е М.Тогда будем иметьО < |а; - а| < S{e) =^ х Е М => \f{x) - А\ < е.Это означает, чтоИш f{x) = А.Записываем ответ в виде: V e > 00 < | ж —а|< 5{е) => \f{x)—A\ < е.П Р И М Е Р .
Доказать, что15x2 - 2а: - 1 ^—= 8.limж-)>1/3X — 1/3РЕШЕНИЕ.1. Число 8 называется пределом функции f{x) =]^5х2 — 2х — 1т-rz вх-1/3точке X = 1/3, еслиУе>03S{e) > О :О<15^2 - 2а; - 1а:-1/3<S{e)< £.2. Для того чтобы найти (5(б:), сначала найдем множество М такое,что15x2 - 2х - 1х-1/3Xе Мт.е. решим неравенство15x2 - 2х - 1IX - 1/3< е.<е,3.5. Понятие предела функции81Затем найдем 5{е) такое, что0<1< S{e) =^х"-3е М.Тогда будем иметь0<1< 5{£) => X е м"-3Ibx'^ - 2х - 1х-1/3< е.3. Решаем неравенство15x2 - 2х - 1х-1/38 < е <=> |15х + 3 - 8| < е <^=Ф ^-773<^15< -^ + 7Т315(так как в определении предела функции в точке х ^ 1/3, т.е.X —1/3 7^ О, то можно сократить дробь на множитель х —1/3).
Такимобразом.Xе м,3'Я ) U l ЗQ'Qir:15^3' З + 1515x2 - 2а; - 1а;-1/3<е.Следовательно, если'<•) = I5'то0<1^-3<^(e)=^.e(i-^,i)uQ.i + ^)15x2 - 2х - 1х-1/3<£,т.е.,.Ьтх-И/ЗОтвет. Ve > ОО<15x2 - 2х - 1 „— - — = 8.X — 1/3£1<I5^-315x2 - 2х - 1х-1/3< €.82Гл. 3. ПределыУсловия ЗАДАЧ. Пользуясь определением предела функции вточке, доказать равенства.1.3...2х^ + Пх + 1Б^lim= —1.x->-3limX+ 3x-^-l/25.limх->-17.limх->1,.limж->-36х^ + Бх-1;^= -1.Ж+1/2За;^ + Ж - 21^;= —5.ж +16х2-9ж + 3X — 1^= 3.6x2 + 20^: + 6X+ 3_= -16.^2.^4...Згс2 + 2 х - 8lim= —10.ж->-2^.limЖ + 2сс->-1/39^2 4-12а:+ 3 ^;= 6.Ж+ 1/3х^ - о: - 6 ^— = 5.а: — 3о.limгс->з^8.,.
4 х 2 - 1 5 х + 9 ^lim= 9.х-^3X— 3,^10.,. 5 x 2 - З х limх-^1X—1Ответы. 1. 5{е) = s/2. 2. S{£) = е/3. 3. ^(е) = е/6. 4. 5(£) = б/9.5. (5(б:) = £/3. 6. S{e) = е. 7. J(5) = е/6. 8. 5(б) = е/4. 9. (5(5) = ^/6.10. 6{€) = е/Ъ.3.6. Понятие непрерывностифункции в точкеПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пользуясь определением, доказать, чтофункция /(х) непрерывна в точке а.ПЛАН РЕШЕНИЯ.1.
Вычисляем / ( а ) .Функция /(х) называется непрерывной в точке х == а, еслиVe > О Ще) > О :|х - а| < (5(e) =Ф |/(х) - / ( а ) | < е.Это значит, что Ve > О неравенство |/(х) - / ( а ) | < е имеет решениеО < | х - а | < 5{е).2. Для того чтобы найти 5{е), сначала найдем множество М такое,чтохеМ=^| / ( х ) - / ( а ) | <е,т.е. решим неравенство |/(х) — f{a)\ < е. Затем найдем (5(e) такое,что|х - а| < S{£) = > X е М.3.6. Понятие непрерывности функции в точке83Тогда будем иметь\х- а\ < S{£) ==^ X е М => \f{x) - f{a)\ < е.Это означает, что f{x) непрерывна в точке х = а.Записываем ответ в виде: \/£:>0|х —а| < 6{е) = >\f{x)~f{a)\<£.ПРИМЕР.Пользуясь определением, доказать, что функцияf{x) = 5х^ + 5 непрерывна в точке а = 8.РЕШЕНИЕ.1.
Вычисляем /(8) = 325.Функция f{x) называется непрерывной в точке о: = 8, если\/е>03S{e) > О :\х - 8\ < 6{е) =^ \5х^ + 5 - 325| < е.Это значит, что Ve > О неравенство \f{x) — 325) | < с имеет решение0 < | а ; - 8 | <5{е).2. Для того чтобы найти ^(e), сначала найдем множество М такое, что X G М =^ |5ж^ + 5 — 3251 < £, т.е. решим неравенство|5х^ + 5 — 325| < £, затем найдем S{£) такое, что |ж — 8| < 5{е) =>^ X G М. Тогда будем иметь\х-8\<S{£) ==^хеМ=^ |5ж2 + 5 - 325| < е.3. Решаем неравенство (считая, что е < 320)15x^-3201 < £ Ф = ^ 6 4 - ^ <х^ < 6 4 + 1 ^=> А / 6 4 - ^<Х< А/64+|.Таким образом.хеМ=( ^64 - I , W64 + I ) = ^ \^^'^ + 5 - 325| < £.Следовательно, если6{е) = minis-фл^,./64+1y W | - 8 | = y'lто|а; - 8| < S{e) =^ х е { ^/64 - | , W64 + | ) ==> \Ьх' + 5 - 325| < е,84Гл.
3. Пределыт.е. f{x) = Ъх^ Н- 5 непрерывна в точке а: = 8.Ответ. Ve > О |а; - 8| < W64 + ^ - 8 =Ф> \Ъх^ + 5 - 325| < е.Условия ЗАДАЧ. Пользуясь определением^ доказать^ что функция f{x) непрерывна в точке а.1. /(ж) = 4 а ; 2 - 1 ,а = 2.2.f{x) =^3x^-2,3. f{x) = -x^-5,а = 1.4. f{x) =-5x^-7,а = 3.а = 2.5.
/ ( х ) = - 4 ж 2 - 6, а = 3.6./(ж) = -3^2 + 8, а = 4.7. / ( х ) = 2а;2 + 5,а = 2.8.f{x) = 5x2 + 2,а = 6.9. f{x) = 4x^ + 1,а = 8.10. / ( х ) = 2 x 2 - 1 ,а = 7.Ответы. 1. 5{е) = л/4 -f £:/4 - 2. 2. J(E) = ^ 9 -f е/33. S{e) = у Т + 7 - 1 . 4. 5{е) = у^4 + g/5 - 2. 5. (5(б) = у^9 + g/4 - 3.6.
5{е) = >/l6 + g / 3 - 4 . 7. (5(e) = л/4 + 5 / 2 - 2 . 8. (5(e) = л/36 + е / 5 - 6 .9. (5(б) = ^ 6 4 + е/4 - 8. 10.(5(е) = v^49 + е/2 - 7.3.7. Вычисление Итх^а[Рп{^)/Qm{^)]ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить пределуРп{х)^-^« Qm(a^)2(?eРп{х) = йпХ^ + an-ix'^"-^ + . . . -f aix + ао,Qm(:i^) = ЬтХ"^ л- bm-lX"^'^-|- .
. . + 6iX + бо-ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Если Qmio) ф О, то функция Pn{x)/Qm[x) непрерывна в точке аlim ^"^^^ - ^"^""^х ^ а IQrn{x)Если Qrn(a) = О И Pn(a) 7^ о, тоуРп{х)Qrn{o)'3.7. Вычисление \imx-^a[Pn(x)/Qm{x)]85Если Qrn{o) = О и Р„(а) = О, то, разлагая многочлены на множители, получаемРп{х) ^{x-a)Pn-i{x)Qrn{x){х - a)Qm--i{x)'где Qrn-iia) 7^ О и Pn-i(a) ^ 0.2. Поскольку в определении предела функции при ж —> а аргументне может принимать значение, равное а, то в последнем случае можносократить множитель х — а. Получаем^->« Qm{x)х-^а [Х - a)Qm-l{x)Qm-lWЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ а является кратным корнем многочленов Рп{х)и Qm{x),ТО Рп{х)= {Х-а)^Рп-к{х),Рп{х) ^{хQm{x)Qm{x)= (х - a ) ' Q r n - / W Иа)^Рп-к{х){Х -aYQm-l{xyгде Qm-i{o) 7^ о и Рп-к{о) ф 0.П Р И М Е Р .
ВЫЧИСЛИТЬпредел,. х^ - 4x2 - Зх + 18ИШ —Zг.х->з х^ - 5x2 + Зх + 9РЕШЕНИЕ.1. Выражение под знаком предела (рациональная дробь) являетсяотношением двух бесконечно малых функций при х -> 3.Разложим числитель и знаменатель на множители:х^ - 4x2 _ зх + 18 _ (х - 3)2(х -Ь 2)хЗ - 5x2 + Зх + 9 ~ (х - 3)2(х + 1)'2. Поскольку в определении предела функции при х -> 3 аргумент не может принимать значение, равное 3, то можно сократитьмножитель (х — 3)2.
Получаем,. х ^ - 4 x 2 - 3 x 4 - 1 8,. х + 2lim —-z-T.—7. г- = lim:->з д:3 _ 5x2 ^ Зх + 9х-лъ хЛ-\Ответ,хЗ _ 4^2 - Зх + 18limх-лъ хЗ - 5x2 + Зх + 95454*86Гл. 3. ПределыУсловия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.ж^+ 3ж^+ 7x4-5ж->-13.5.,. ж 2 - 2 ж + 1lim —-г-.х^1 2ж2 + ж - 3^._ж^ + 4ж2 + 5ж + 2iimох->-17.0^,.limх-^-1ж^ — ж — 2^х^-1п->1 2 ж 2 -ж -limж~->1 ж"* — ж^ + ж — 16.ж^ + 2ж - 3limж->-з ж^ + 5ж^ + 6ж8.limж^ + ж^ -f 2ж + 2ж-)>-110.1'г—.х^ — ох — 24.ж2 + 2 ж 4 - 1ж^ - бж^ -f 12ж - 8х->2 ж^ - 2ж2 + 2ж - 4 "ж^ + ж ^ - ж - !'lim ^Ж^ — 13 -х->2 Ж^ -ж2 -ж -2ж2 + ж -22*Ответы. 1. 0.
2. 2/3. 3. 0. 4. 2. 5. 1. 6. - 4 / 3 . 7. 0. 8. - 1 / 2 .9. 1. 10. 7/3.3.8. Вычисление lim^^-^o [f{^)/9{^)]ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить пределгде /(ж) и д{х) — бесконечно малые функции в точке ж = 0.ПЛАН РЕШЕНИЯ. Бесконечно малые функции, стоящие в числителеи знаменателе, можно заменить на им эквивалентные (табличные).Если /(ж), /1(ж), ^(ж), gi{x) — бесконечно малые функции в точкеж = О такие, что /(ж) ~ fi{x) и ^(ж) ~ gi{x) в точке ж = О,и существует Ит^-^о fi{x)/gi{x),то существует Ит^^^о f{x)/g{x),причемх-^0 д[х)х-^0 gi{x)3.8. Вычисление limx-)>o [f{x)/g(x)]П Р И М Е Р .
ВЫЧИСЛИТЬ87предел2х sin Xlimх->о 1 — cos жР Е Ш Е Н И Е . Выражение под знаком предела является отношениемдвух бесконечно малых в точке ж = О, так какlim (22: sin ж) = О,lim (1 — cosx) = 0.Бесконечно малые, стоящие в числителе и знаменателе, заменяем наэквивалентные:2х sin ж ~ 2а: • ж, ж —> О,1 —cosa:~—,а: —> 0.Таким образом,2xsma:,.
2х - хlim= lim „ . = 4.х^о 1 — cos а: х->о х^ 2_Ответ,,.2a:sina:lim= 4.ж->о 1 — cos а:Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.^2.,. Зж^ + 6а:lim sin За:ж-fOlim —г.ж->0 1п(1 -f Х)4.1 — cos 2хlimж->о cos Ъх — cos За:5.1 — cos2xlim —r-27"ж->о е^^ - 1о.lim—.ж->о 3 arctg 2а:7.,.tg2a:ж-^о е^^ — 18.lim'-^^^^х-^о sin^ Xq_sin 2а:lim-.ж-)^о ln(l - 2x)'arcsin 2 a:10. lim' ж-^о ln(e - 2a:) - 1'''3.,. In(l + sin2a:)^—ж-^оsin За:5^-1Ответы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
