164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому график четной функции достаточно построить для х > О и нарисоватьвесь график, отразив полученную кривую относительно оси 0Y.Если f{~x) = —/(ж), то функция f{x) называется нечетной. Графики нечетных функций симметричны относительно точки (0,0). Поэтому график нечетной функции достаточно построить для а: > О инарисовать весь график, отразив полученную кривую относительноточки (0,0).Если f{x-\-T) = f{x) при некотором Т > О, то функция f{x) называется периодической.
График периодической функции имеет однуи ту же форму на каждом из отрезков . . . , [—2Т, —Т], [—Т, 0], [0,Т],[Т, 2Т], . . . Поэтому достаточно построить график на каком-нибудьодном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую наостальных отрезках.3. Находим точки пересечения графика с осями координат. Дляэтого вычисляем /(0) и решаем уравнение /(х) = 0.4. Находим точки максимума и минимума функции и интервалымонотонности.
Для этого:а) вычисляем производную f'{x) и находим критические точкифункции, т.е. точки, в которых f'{x) = О, ±оо или не существует.Отметим, что если / ' ( а ) = О, то касательная к графику в этой точкегоризонтальна, если f'{a) = ±оо, то касательная вертикальна.б) определяя знак производной, находим интервалы возрастанияи убывания функции: если f'{x) > О, то функция возрастает, еслиf'{x) < О, то функция убывает;5.1. Общая схема построения графика функции119в) если производная меняет знак при переходе через критическуюточку а Е D^ то а — точка экстремума:если f'{x) > О при X Е (а — J, а) и f'{x) < О при х G (а,а -f J), тоа — точка максимума;если f'{x) < О при X G (а — (J, а) и f'{x) > О при х G (а,а + (J), тоа — точка минимума;если производная сохраняет знак при переходе через критическуюточку, то в этой точке экстремума нет.5.
Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклостивверх и вниз. Для этого:а) вычисляем производную f"{x) и находим точки, принадлежащие области определения функции, в которых f"{x) — О, iboo илиf'{x) не существует;б) определяя знак второй производной, находим интервалы выпуклости вверх и вниз: если /"(х) > О, функция выпукла вниз, еслиf"{x) < О, функция выпукла вверх;в) если вторая производная меняет знак при переходе через точкуа Е D, в которой f"{x) — О, iboo или не существует, то а — точкаперегиба (при f'{a) = О график имеет горизонтальную касательную,при f {а) = ±оо — вертикальную касательную).6.
Уточняя полученный эскиз (например, можно определить ещекоординаты каких-нибудь точек) и соединяя элементы графика, полученные в окрестностях граничных точек области определения (вблизиасимптот), критических точек и точек перегиба, получаем графикфункции у = f{x).ПРИМЕР.Исследовать функцию у = —-х^:-^ и построить ееграфик.Р Е Ш Е Н И Е . Полученные в каждом пункте результаты последовательно фиксируем на рисунке в качестве элементов искомого графика и в итоге получаем эскиз графика.1.
Находим область определения D. Очевидно, что функция определена при всех ж, кроме х = 2. Поэтому D = (—оо, 2) U (2, -f-oo).Исследуем поведение функции в граничных точках области D.а) Вычисляем пределы:lim —-х^х->2-о 4(2 -г^ = +00,хуГл. 5. Графики функций1204-00.lim —а:->2+0 4(2 - хУСледовательно, прямая х = 2 — вертикальная асимптота, причемфункция при приближении к ней слева и справа неограниченно возрастает (рис. 1)."•лРис.
1б) Исследуем поведение функции при х -> +оо:х->+ооlim \f(x) — кх] =Xlimх^х-^+оо 4(2 - х)2ж"^^4(2 - хУ'*-^414'limх{х — 1)+00 {х - 2)2= 1;и при X —> —оо:limх->-оотXlimх->-оо 4(2 — Х^Х4^3lim [f{x) — /гж] =lim4(2 - хУ4итж(а: - 1)-р-гг- = 1.->-оо (ж - 2)^Следовательно, 2/ = ж/4-f-1 — наклонная асимптота при х —> ±оо. Заметим, что при достаточно больших положительных х f{x) > а:/4+1,т.е. при X -^ -f-oo график функции приближается к асимптоте сверху,а при достаточно больших по абсолютной величине отрицательных хf{x) < х/А -h 1, т.е. при X —> —00 график функции приближается касимптоте снизу (рис.
2).5.1. Общая схема построения графика функции121ЛРис. 22. Функция не обладает свойствами четности и периодичности.3. График функции пересекает оси координат в единственнойточке (0,0).4. Находим точки максимума и минимума функции и интервалымонотонности. Для этого:а) вычисляем первую производную: у' = х^{х — 6)/[4(ж — 2)^].Критические точки функции, принадлежащие области определенияD суть ж = О и ж = 6.
Поскольку у'{0) = О и у'{6) = О, касательная кграфику в этих точках горизонтальна (рис. 3);У[ )VX-^"Рис. 3б) определяя знак производной, находим интервалы возрастанияи убывания функции: функция возрастает в интервалах (—ос, 2) и(б,+оо) и убывает в интервале (2,6);Гл. 5. Графики функций122в) при переходе через критическую точку х — О производная неменяет знак, следовательно, в этой точке экстремума нет.При переходе через критическую точку х = 6 производная меняетзнак, следовательно, в этой точке экстремум есть.Так как у' < О при ж G (6 — 5, 6) и 2/' > О при ж G (6, 6 + 5)), то(6, 27/8) — точка минимума (рис.
4).У' АX—^Рис. 45. Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклостивверх и вниз. Для этого:а) вычисляем вторую производнуюбх4(2 - хУ{x~2YЕдинственная точка, принадлежащая области определения функции,в которой у'' = 0^ это точка х == 0;б) определяя знак второй производной, находим интервалы выпуклости вверх и вниз: функция выпукла вверх в интервале (—оо,0)и выпукла вниз в интервалах (0,2) и (2, +оо).Отметим, что направление выпуклости соответствует расположению графика относительно асимптот:при X < О функция выпукла вверх и график приближается к наклонной асимптоте снизу;при X G (0,2) функция выпукла вниз и график приближается квертикальной асимптоте х ~ 2 слева;при X е (2, -foo) функция выпукла вниз и график приближается квертикальной асимптоте х = 2 слева, а к наклонной асимптоте сверху;в) так как вторая производная меняет знак при переходе через5.1.
Общая схема построения графика функции123точку ж = о, то (о, 0) — точка перегиба (с горизонтальной касательной) (рис. 5).VРис. 56. Уточняя полученный эскиз (например, можно определить ещекоординаты каких-нибудь точек) и соединяя элементы графика, полученные в окрестностях граничных точек области определения (вблизиасимптот), критических точек и точек перегиба, получаем графикфункции у = f(x) (рис. 6).Рис.
6Условия ЗАДАЧ. Исследовать функции у = f{x) и построить ихграфики.1.у = х''-Зх+ 2.А.у =у / ^ ^ - \124Гл. 5. Графики функцийБ. у = хе ^.6. 1/ = —.X7.у = 1пX — 1X9. у — In cos ж.+ 1.X8.у = -—.тх10. у — \/х'^{х -\-1).Ответы. 1. Асимптот нет. Точки: минимума (1,0), максимума(-1,4), перегиба (0,2).2. Асимптоты: горизонтальная j / = 0. Точки: минимума( - 1 , - 1 / 2 ) , максимума (1,1/2), перегиба (0,0),(-\/3,-\/3/4),(v/3,V3/4).3. Асимптоты: вертикальные х = — 2, х = 2, наклонная у = х.Точки: минимума (2\/3,3\/3), максимума (—2\/3, —3\/3), перегиба(0,0).4.
Асимптоты: вертикальные ж = — 2, а: = 2, наклонные у = —х(при X -> —оо), у = X (при X —> +оо). Точки минимума (—л/2,2),(v/2,2).5. Асимптоты: горизонтальная у = О (при а; -> +оо). Точки:максимума (1,1/е), перегиба (2,2/е^).6. Асимптоты: вертикальная ж = О, горизонтальная у = О (приа: —>• —оо). Точка минимума (1,е).7. Асимптоты: вертикальные ж = О, а; = 1, горизонтальнаяу = 1 (при X —>• ±оо).8. Асимптоты: вертикальная а: = 1 (ж = О асимптотой не является).
Точки: минимума (е, е), перегиба (е^,е/2).9. Асимптоты: вертикальные х = 7г/2 + тгк. Точки максимума(27гА:,0) (А: = 0 , ± 1 , . . . ) .10. Асимптоты: наклонная у = ж4-1/3. Точки: минимума (0,0),максимума ( - 2 / 3 , - ^ / 3 ) , перегиба (-1,0).5.2. Наиболыпее и наименыпеезначения функцииПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f{x) на отрезке [а, 6].ПЛАН РЕШЕНИЯ.Наибольшее и наименьшее значения непрерыв-5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции125ной функции /(ж) на данном отрезке [а, Ь] достигаются в критических точках функции (точках, в которых f'{x) = О, ±оо или f'{x) несуществует) или на концах отрезка [а, Ь].1. Проверяем, что заданная функция на данном отрезке являетсянепрерывной.2. Ищем производную заданной функции.3. Находим критические точки функции f{x) и выбираем из нихте, которые принадлежат данному отрезку [а, 6].4.
Вычисляем значения функции в критических точках внутри отрезка и значения функции на концах отрезка. Сравнивая полученныезначения, находим наибольшее М и наименьшее т значения функциина [а, 6].ПРИМЕР.Найти наибольшее и наименьшее значения функции_Юж + 10^ ~ ж2 + 2а; -h 2на отрезке [—1,2].РЕШЕНИЕ.1. Заданная функция является непрерывной на отрезке [—1,2], таккак является отношением непрерывных функций со знаменателем, неравным нулю (ж^ -f 2ж + 2 > 0).2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
