164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 9
Текст из файла (страница 9)
=4 4 21 \1 --1 -11 •0 1 -5 /-86 -ИЗ --6067 35512330 182.10. Собственные значенияи собственные векторы оператораПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А : Х„ ь-> Х^, заданного в некоторомбазисе матрицей/ацai2. _ , а21 а22\ttnl0,п2. . . ain \• • • а-2п• • • О'пп )ПЛАН РЕШЕНИЯ. Собственные значения оператора А являютсякорнями его характеристического уравнения det(>l — \Е) — 0.1. Составляем характеристическое уравнение и находим все еговещественные корни (среди них могут быть и кратные).2.
Для каждого собственного значения Лг найдем собственные векторы. Для этого записываем однородную систему уравнений{А - \Е)Х=Ои находим фундаментальную систему решений XJ, Х з , . . . , Х^_^^, гдеГг — ранг матрицы системы А — \Е. (Заметим, что г^ < п, так какdet(A - XiE) = 0.)3. Столбцы XJ, ^ 2 , . . . , Х!1;^_^. являются столбцами координат искомых собственных векторов е^, 6 2 , . .
. , е^_^.. Окончательно для Л = Л»записываем ответ в виде4 = {•••},4-{•••},•••.e u . = {•••}ЗАМЕЧАНИЕ. Множество собственных векторов, соответствующих собственному значению Л^, можно записать в виде5л=л, = {х : x = Ciei + С2е*2 + • • • + Сп-гА-г,Ф 0}2.10. Собственные значения и собственные векторы69П Р И М Е Р . Найти собственные значения и собственные векторыоператора А: Хз ь-> Хз, заданного в некотором базисе матрицейРЕШЕНИЕ.1. Составляем характеристическое уравнение:3-Л11О2-Л-1О-12-Л= 0 4=^{3~Л)(Л2 - 4Л + 3) = 0.Поэтому Ai,2 = 3, Лз = 1.2.
Для собственного значения Ai,2 = 3 найдем собственные векторы. Запишем однородную систему уравнений {А- 3 - Е)Х = О:Xi — Х2 — Хз = О,Xi — Х2 — Х^ = 0.Очевидно, ранг матрицы этой системы равен 1 {п — г = 2 — размерность пространства решений), следовательно, система нетривиальносовместна и ее фундаментальная система решений имеет видXi =1,Х2 =Итак, двукратному собственному значению Ai^2 = 3 соответствуютдва линейно независимых собственных вектора ei = {1,1,0} и е2 == {1,0,1}. Множество всех собственных векторов 5AI2=3J соответствующих собственному значению Ai^2 = 3, имеет видЗхг,2=з = {х : X = Ciei + С2е2 ^ 0}.Аналогично находим собственный вектор, соответствующийсобственному значению Аз = 1.
Получим ез = {0,1,1}. Поэтому множество всех собственных векторов Sx^^i,соответствующихсобственному значению Аз = 1, имеет вид5лз=1 = {х : X = Сзез ф 0}.70Гл. 2. Линейная алгебраОтвет.'S'AI,2=3 = { X :x = : C i e i + C2e2 7 ^ 0 } , г д е е 1 = { 1 , 1 , 0 } и е 2 = {1,0,1};5лз=1 - {х : X = Сзез / 0}, где ез = {0,1,1}.Условия ЗАДАЧ. Найти собственные значения и собственныевекторы операт,оров А : Х^ ь-> Хз, заданных в некот^ором базисемат^рицами.М4 -211'00ч4.2001 -13 -1-132 03 5-1 05.10.-1-122 1 0\1 2 0•3 2 4 ;4212 -1020 -1Глава 3ПРЕДЕЛЫПри изучении темы ПРЕДЕЛЫ вы познакомитесь на примерахс понятиями предела последовательности, предела и непрерывностифункции в точке, научитесь вычислять различные пределы, используя теоремы о пределах, эквивалентные бесконечно малые и специальные приемы.С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете решить неравенства, выполнить численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.3.1.
Понятие предела последовательностиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, чтоlim а-п = а.п—>ооП Л А Н РЕШЕНИЯ.1. По определению число а называется пределом числовой последо в ательносппи {ttn}, еслиУб: > О 3N{£) : п > N{e) => \ап - а\ < е.Это означает, что We > О неравенство |ап — а| < е имеет решениеп > N{€).2. Найдем, при каких п справедливо неравенство\ап - а\ < €,т.е. решим это неравенство относительно п.3. Если решение имеет вид п > N{e), то а — предел числовойпоследовательности {an}-Гл. 3. Пределы72ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ решение неравенства la^ — а| < s нельзя представить в виде п > N{e), то число а не является пределом последовательности {an}-Пользуясь определением предела последовательности,ПРИМЕР.доказать, чтоlim2п^= 2.п—Уоо п^РЕШЕНИЕ.1.
По определению число 2 называется пределом числовой послеГ 2п^ ]довательности I n 3 - 2 J ' если2n3Ve > О 3N{€) : п > N{e)< €.2. Найдем, при каких п справедливо неравенство2п^- 2 <е,пЗ-2т.е. решим это неравенство относительно п.3. Неравенство имеет решение n>N{e) = ^4/б: + 2. Следовательно, 2 — предел числовой последовательности < - ^ — - >.[ п*^ - 2 JОтвет, п > У^/е -f 2.Условия ЗАДАЧ. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что limn_).oo сьп = сь.22п-24n-2a = 2.1. an =ttn ="=33n-l'2n + 3 '3.
а„ =3n + 22n+l'34.ttr,=5n-f-23n+l'5n + 2n+ 1'a = 5.dn=4п2-Ып2 + 27. an =3-n31 + пЗ'a= -1.CLn =6n-22n+l'9. an =3 + 8n21 + 4n2'a = 2.10. an =3nn-hl'5"=3-a = 4.a = 3.a = 3.3.2. Вычисление limn-^oo[Pk{n)/Qm{n)]Зе + 41. п > —.9е1-35,3-е96е5-5^/1-58. п > — — .9.
n > W — — .25V 45^8-3£2. п > — - — .2€^7-2бV £_3-510. п >.5Ответы.73^1-2£3. п > —:.ie^3/4-53.2. Вычисление limn-^oolPk{^)/Qm{^)]ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить пределуРк{п)гдеРк{п) — акП^ + ак-\п^~^ + . . . + сцп + ао,Qm(n) = Ь^п^ -f 6^_in^-^ + . . . + 6in + 6о.П Л А Н РЕШЕНИЯ. Здесь Рк{п) — многочлен степени к (бесконечнобольшая последовательность порядка п^) и Qmip) — многочлен степени т (бесконечно большая последовательность порядка п^).1. Вынесем в числителе множитель п^^ получим Pfc(n) = п^р{п)^где р{п) = ak + ak-i/n + . . . + ао/п^.2.
Вынесем в знаменателе множитель п^, получим Qm{4^)=^4^^Q{i^)^где q{n) = bm-\- bm-i/n + . . . -f bo/n"^.3. ИмеемPk{n)n^pjn)lim - , , = limn-)-oo Qm\4^Jn->oo7-T-.n^q(n)4. Получаем:если к > m^ тоlim --—7—г = oo;^-^°^ Qm{n)Pk(n)lim ——т-т- = 0;если к < m^ тоn-^ooQm{n)если к = гПу то по теореме о пределе частногоРА:(П)^-^°°Qrn{n)^р(п) ^ limn->oop(n) ^ ак_п^оо g(n)limn-^00 q{ri)bm '74Гл. 3.
ПределыП Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬпредел^.^ (2п + 1 ) ^ - ( п + 1)^п-^ооП? -{- П -\- 1Р Е Ш Е Н И Е . Здесь (2п + 1)^ - (п + 1)^ =? Зп^ + 2п — многочлен второй степени (бесконечно большая последовательность порядка п^) ип^ -\- п -{- 1 — многочлен второй степени (бесконечно большая последовательность порядка и?).1. Вынесем в числителе множитель гг^, получим(2n-f 1)^-(гг + 1)2 = п2 ( З - Ь 2. Вынесем в знаменателе множитель п^, получим.2I _, 123. Имеем^.(2п + 1 ) 2 - ( п 4 - 1 ) 2п^г^^+ п +^ 1 —l i m -^^=,.п2(3 + 2/гг)limп-^сх)71^(1 + 1/гг 4-l/n^)4.
Сокраш;ая n^ и используя теорему о пределе частного, получаемj.^(2п + 1)^ - (п + 1)^ ^Ответ, limп->оог^^-—limn^oo(3 + 2/n)^ g— = 3.71^ -f П 4- 1Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.1и ^ ( 5 - п ) ^ + (5 + п)^• n ^ o o ( 5 - n ) 2 - ( 5 + n)2-(3 - n)3 - (2 - n)3(3 + n ) 2 - ( 2 + n)2^- „^}^ (2 + n)2 - (1 - n)2 •(4-п)3-(2-п)3•„ ^ o o ( l - n ) 2 - ( 2 + n)4'( 2 - n ) 2 - ( l + n)2(n + 2 ) 3 - ( n + 2)2n - ^ (n - 2)3 - (n + 2)3'3.3. Вычисление Итпп-^оо [/(^)/р(^)]^ ^. (14-3n)3 - 27пЗ7. п->ооlim -^^(17 + 4п)2-^—--^.+ 2п2 '^8.'^.75(3-2гг)2lim (п - ^3)2 - (П^ + 3)^ *п-^оо(2 + п)2(п + 2 ) ^ - ( п + 5)2^- ,^™о(^ + 2 ) 2 - ( п + 1)3-'^- п^"^(З-п)зОтветы.
1. - 0 0 . 2.0. 3.0. 4. - 1 . 5.1/3. 6. - оо. 7.9. 8. - 2 / 9 .9. - 1. 10. 1.3-3. Вычисление Ит^г-^оо [f{^)/9{^)]ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить пределуfin)lim - т — ,п->оо ^(тг)где f{n) — бесконечно большая последовательностьд{п) — бесконечно большая последовательность(a,/3GR).порядка п" ипорядка п^ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Вынесем в числителе множитель п^ ^ получим /(п) = п"(^(п),где Ишп-чоо ^(п) = а, а ^^ 0.2.
Вынесем в знаменателе множитель п^, получим д{п) = п^'ф(п)^где Ишп-^оо Ф{п) = Ь, Ьф 0.3. Имеем/(п)пХп)lim —-г- = lim.п-)-оо ^(п)п->оо п^гр[п)4. Получаем:л/\если а > /3, тоlim. . = оо;если а < /3, тоlim —г-г = 0;п->оо ^ ( п )если о; = /?, то по теореме оп/\lim Zil^ =n->oo ^(n)пределе частногоlim (/?(n)n->oo^^ ^ ^ alim V^(n)676Гл.З. ПределыП Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬпределlim--——»,"->о° (n + i/n) Vn^ - 1Р Е Ш Е Н И Е . Числитель n %^ + \/32n^^ 4-1 — бесконечно большаяпоследовательность порядка n^ и знаменатель (п + ^/п) \/n^ — 1 —бесконечно большая последовательность порядка п?.1. Вынесем в числителе множитель п^, получим2.
Вынесем в знаменателе множитель п^, получим(п+ t/57) V ; ^ ^ = п^ (l + ; ^ ) у ь 1 Т .3. ИмеемпУН+^32п10 + 1 _п^(1/п'/б + 2 y i + l/n^o)" ^ (П + t/^) V^^S-ZT " п Д ^ „2(1 + 1/пЗ/4) y i - l / n S •4. Сокращая п? и используя теоремы о пределах, окончательнополучаемп ^пУИ+У32п10 + 1 _1/п5/б + 2 y i + 1/ni» ^(п + t/H) V^^3-ri; •" n ^ (1 + 1/пЗ/4) y i - 1 / п З ~^ liin„_^(l/nV6 ^ 2 y i + 1/п^») ^ ^lim„^oo(l + 1/пЗ/4) y i - 1 / п ЗЗАМЕЧАНИЕ. В данном случае было использовано свойство корня,в силу которого lim„_>oo У 1 + 1/п^° = 1 и lim„_+oo У 1 — l/n^ = 1.Ответ, lim, ^ ,,= 2.n-voo („ 4- i/n) Vn3 - 13.4. Вычисление lim„_).oo [w(n)^^"^]77Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.1.
lim-Z—=.r^-^oo (тг + x/n)\/7 - n -f п22. lim"->°° Vn^ -f 3 + \ / n M - 2^ ,. \/2n3 + 3 - гЛГГб3. "-^oolim о,. - 1*\/ггЗ + 2: - \/n, \.\Л52ТЗ + ЗпЗ4.' ^^^lim Vn^'^ + 2n + 1 - :^ ,. V3n + 2 - Vl25n3 + n ^ ,. n V n - V27n6 + n^5. limr-=. 6. lim-—-—===-.n->ooX/n-\-n^n-^oo^ ,.VrrT2-4A^2T27. lim . ,: q,П-УСХ) Vn^ + 1 - Vn2 - 1(77,+y n ) v 4 + n2^ ^. Vn^ + 3 + \ Л Г ^8. lim . ,,^-^^ Vn^ H- 2 - Vn - 2^ ,. 1 0 n 3 - V ' ; ? T 2_ ,. ^/^ГТ2 - VSn^ + 39. lim —..10. limД,.n-^00 ^4n^ _|_ 3 _ ^n-^00yn 4- 5 + nОтветы. 1. л/2. 2.0.
3. +oo. 4.3. 5.5. 6. - 3 . 7. - 1 . 8. +00. 9. 5. 10. - 2 .3.4, Вычисление lim^_>oo ['^(^)^ ]ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислитьпредел последовательностейlim [и{пУ^''\П—>СХ)где lim^_^oo'^(^) = 1 ^ lim^_).oo'^(^) = оо.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел, т.е. выделим единицу:a{ri)v{n)И т К п ) ' ' < " ^ ] = lim f(l + Q(n))i/«("))'где а{п) = и{п) — 1 — бесконечно малая последовательность прип -^ оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
