164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если выполнены все аксиомы, томножество X — линейное пространство.П Р И М Е Р . Образует ли линейное пространство множество положительных чисел X = R-I-, в котором операции "сложения" и "умножения на число" определены следующим образом: Va, b G М+ и Va G Rа ф Ь = а-6,а<Эа = а'^?РЕШЕНИЕ.1. Введенные таким образом операции являются замкнутыми вданном множестве, так как если а^Ь ЕШ^ n a G R , тоаф6 = а-Ь>0,т.е. афЬеШл.и Q:0aGE4--а(Эа = а"^ > О,2.3.
Понятие линейного пространства432. В качестве нулевого элемента нужно взять единицу {в = 1), таккака • 1 = а,иными словами,а^в=^ а.3. В качестве элемента —а, противоположного элементу а, нужновзять 1/а, так кака • - = 1,аиными словами,а ф ( - а ) = в.4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е.
Va, 6, с G R+ и Va, ^ G R:а-Ь = Ь- а =^ а®Ь = Ьфа](а-Ь) • с = а- {Ь- с) =^ {а ^ Ь) ^ с = а ф {Ь ^ с);(а^)" := а«^ =Ф> а 0 (/? 0 а) = (а • /3) 0 а;а^ = а => 1 0 а = а;да+/з == а« . а^ = ^ (о; 4- /?) 0 а = а 0 а 0 /3 0 а;(а • 6)" = а" • 6" = ^ а 0 (а 0 Ь) = а 0 а е а 0 Ь.Все аксиомы выполнены.Ответ.
R4- — линейное пространство.У с л о в и я ЗАДАЧ. Образует ли линейное пространство заданноемноэюество X, в котором определены ^^сумма" любых двух элементов а иЬ и ^^произведение" любого элемента а на любое число а?1. Множество всех векторов трехмерного пространства, перваякоордината которых равна 1; сумма а -Ь 6, произведение а • а.2.
Множество всех векторов трехмерного пространства; сумма[а, 6], произведение а • а.3. Множество всех натуральных чисел; сумма а • Ь, произведение а".4. Множество всех функций, непрерывных на отрезке [—1,1] итаких, что /(—1) = /(1) = 0; сумма f{t)+g{t), произведение а- f{t).5. Множество всех функций, непрерывных на отрезке [—1,1] итаких, что/(—1) = / ( 1 ) = 1; сумма /(t)-|-^(t), произведение a-f{t).44Гл.
2. Линейная алгебра6. Множество всех функций, дифференцируемых на отрезке[-1,1] и таких, что / ( - 1 ) = /(1) = О и f(O) = 1; сумма f{t)-{-g{t),произведение а - f{t).7. Множество всех последовательностей а = {и^}, b = {vn}^ сходящихся к нулю; сумма {un + v^}, произведение {aun}8. Множество всех последовательностей {wn}, b = {^n}, сходящихся к 1; сумма {гх„ + г^^}, произведение {aun}9. Множество всех невырожденных матриц 3-го порядка а = {aik),b = {bik) {г, к = 1,2,3); сумма (a^fc) • (bifc)? произведение {aaik).10.
Множество всех диагональных матриц 3-го порядка а = (a^jt),b = (bik) {hfc= 1,2,3); сумма {aik + bik), произведение (aaik).Ответы. 1. Нет. 2. Нет. 3. Нет. 4. Да. 5. Нет. 6. Нет. 7. Да.8. Нет. 9. Нет. 10. Да.2.4. Системы линейных уравненийЗ а д а ч а 1. Однородные системы уравненийПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти размерность d пространства ре-шений^ его базис {фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы линейных уравненийo^iiari + ai2X2 - } - .
. . + ainXn — О,^212^1 + ^222^2 + . . . -h а2пХп = 0)CLml^l + 0'т2Х2 + • • • + ати^п= 0.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Записываем матрицу системы:/ an«12.•CLln«21^22••0,2пam2•• (^тп\ O^ml\/И с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу А так, чтобы в максимальном числе столбцов оказалось по однойединице (в разных строках у разных столбцов), а остальные элементыстолбцов были нулями.
Очевидно, что такие столбцы линейно независимы. Они называются базисными.2.4. Системы линейных уравнений45Полученную матрицу будем называть редуцированной и обозначать Аред. • Отметим, что редуцированная матрица эквивалентна исходной (Аред. ^ А) и система уравнений с матрицей Аред. эквивалентна исходной системе уравнений.2. Так как А ~ -Аред., то вычисляем ранг А как количество базисных столбцов матрицы ^ред.*RgA==:RgApefl. =Г.Следовательно, размерность пространства решений есть d = п — г.Если п = г, то однородная система имеет единственное (нулевое)решение, если п > г, то фундаментальная система состоит из п — глинейно независимых решений.3.
Неизвестные, соответствуюш;ие базисным столбцам, называются базисными^ остальные — свободными (или параметрическими).Запишем систему уравнений с матрицей Аред. и перенесем п — гсвободных неизвестных в правые части уравнений системы. Придавая свободным неизвестным п — г наборов значений (по одной единице, остальные — нули), для каждого такого набора решаем системууравнений и находим соответствуюш;ие значения базисных неизвестных. Убедимся, что полученные решения X i , X 2 , .
. . ,Хп-г линейнонезависимы, составив матрицу из столбцов Xi, Х г , . . . , Хп-г и вычислив ее ранг.Записываем фундаментальную систему решений Xi, ^ 2 , . . . , Х^.^и обш;ее решение однородной системы линейных уравнений/^1\= Ci Х\ + С2 ^2 + . . .
+ Cfi-rХол\хпXji-)где X i , ^ 2 , . . . , Хп-г — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и Ci, С г , . . . , Сп-г -— произвольныепостоянные.П Р И М Е Р 1. Найти размерность d пространства решений, его базис(фундаментальную систему решений) и общее решение однороднойсистемы линейных уравненийХ2 + 2а:з - 3^4= О,2x1 - Х2-\г Зжз-h 4ж5 = О,2x1+ 5хз - 3x4 -f 4x5 = 0.Гл. 2. Линейная алгебра46РЕШЕНИЕ.1. Записываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем ее к редуцированному виду:О1 2 - 3 02 - 1 30 4205 - 3 41 О 5/20 120 00-3/2 2-3 00 0Очевидно, что первый и второй столбцы матрицы Аред.
(и исходнойматрицы А) линейно независимы, а остальные столбцы являются ихлинейными комбинациями. Поэтому первый и второй столбцы — базисные.2. Так как количество линейно независимых столбцов матрицыЛред. равно двум, тоRgA = RgApefl. = 2 .Следовательно, размерность пространства решенийd=n-r=5-2=3и фундаментальная система решений состоит из трех линейно независимых решений.3. Неизвестные xi и жз, соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные жз,Ж4,Ж5 — свободными.Запишем систему уравнений с матрицей Аред, (эта система эквивалентна исходной) и перенесем свободные неизвестные в правыечасти уравнений системы:( XI = -5/2жз 4- 3/2x4 - 2^5,\ Х2=-2хз + 3x4Для первого набора свободных неизвестных Жз = 1, Ж4 = О, Х5 = Ополучаем Xi = —5/2, Х2 = —2, т.е. первое решение имеет вид системыХ,=/ -5/2 \-2\1О2.4.
Системы линейных уравнений47Для второго набора свободных неизвестных хз = О, а;4 = 1, Ж5 = Ополучаем хх = 3/2, Х2 = 3, т.е. второе решение имеет вид системыХ.=( 3/2 \3О1V о /Для третьего набора свободных неизвестных хз = О, а;4 = О, xs = 1получаем х\ — —2, Х2 = О, т.е. третье решение системы имеет вид/ -2\ООХз =оV1Сделаем проверку, подставив эти решения в исходную системууравнений, а также убедимся, что решения линейно независимы (рангматрицы, составленной из столбцов Xi,X2,^3i равен 3).Следовательно, решения Х1,Х2,Хз образуют базис в пространстве решений (фундаментальную систему решений).Ответ.
Размерность пространства решений есть d — 3. Фундаментальная система решений есть/ -5/2 \-2Xi,1О( 3/2 \3ОХ2 =,1/ -2\ОоХз =оV о /V1/И общее решение однородной системы имеет вид/3/2\/-5/2\-21X = C\Xi + С2Х2 -h СзХз = Ci0\0+ С2)где Ci С2, и Сз — произвольные постоянные.301V 0 )(-2\+ Съ000V1 /Гл. 2. Линейная алгебра48З а д а ч а 2. Неоднородные системы уравненийНайти общее решение неоднородной сисПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.темы линейных уравнений( aiiXi + ai2X2 -f .
. . 4- «in^n = h^<^2l3:^l + ^222^2 + . . . -h a2nXn = ^2?O'mlXl + am2X2 + • • • + Clmn^^n = КП Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Записываем расширенную матрицу системы/^11ai2air,«21«22«2л^1b2«TJЬщ J\^расш.\ «ml«m2• ••и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу Арасш. К редуцированному виду.2. Вычисляем ранги основной матрицы системы А и расширеннойматрицы Арасш. • Если Rg Арасш. = Rg -4, ТО систсма совместна, еслиRg^pacm. Ф R g ^ ) ТО система несовместна (решений не имеет).3. Пусть RgApacm. = Rg А = Г. Тогда общее решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой•^о.н. = ^ ч . н .
-f C i X i + (^2 ^ 2 Н- . . . 4- Сп-тХп-Г)где Хч.н. — какое-либо частное решение неоднородной системы,Xi,X2,..',Хп-г — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и Ci, С2,. • •, Сп-г — произвольные постоянные.Чтобы найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений X i , X 2 , . . . ,Хп-г5 повторим операции, изложенные взадаче 1.4.
Столбец свободных членов В расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы А. Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получаемразложение столбца свободных членов по всем столбцам матрицы А.Коэффициенты этого разложения образуют частное решение неоднородной системы Хч.н. •2.4. Системы линейных уравнений495. Записываем общее решение неоднородной системы линейныхуравнений:Х2Хо,л, —-^Ч.Н. -f Cl Xl + С2 Х2 + . . . - } - Cn-r Xn-Tf\Xn)где Xxi.H. — какое-нибудь частное решение неоднородной системы,^15-^2, ••• j ^ n - r — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений и Ci, С 2 , .
. . , Cn-r — произвольные постоянные.П Р И М Е Р 2. Найти общее решение неоднородной системы линейных уравненийХ2 + 2X3 — ЗЖ4=—1,2x1 - Х2-\- Зхз+ 4д:5 = 5,2ж1+ бжз — 3x4 + 4x5 = 4.РЕШЕНИЕ.1. Записываем расширенную матрицу системы и с помопц>ю элементарных преобразований строк преобразуем матрицу Арасш. к редуцированному виду:0221 2 -3 0 1-1 30 4 10 5 -3 4 1-1541 00 10 05 / 2 --3/2 2 122-3 0 1 - 100 0 102. Так как RgApacm. = R g ^ = 2, то система совместна. Так как72 — г = 5 — 2 = 3, то общее решение неоднородной системы линейныхуравнений определяется формулойХо.-а. = -^ч.н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
