164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Зх + у + 2 - 4 = 0.4. 2ж -h 2^/ + z + 9 = 0.6. ж + 2у + 2z -- 3 = 0.8. а: - Зг/ - 22; - 8 = 0.10. о; -f 22/ + 42; ~ 5 = 0.1.9. Угол между плоскостямиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти угол меэюду плоскостямиАхх Н- Вху -h Ciz + А = 0 ,А2Х -h Б22/ -f C2Z + D2 = 0.П Л А Н РЕШЕНИЯ. Двугранный угол между плоскостями равен углумежду их нормальными векторамиni = { A i , ^ i , C i } ,П2 = {А2,^2,С2}.Поэтому угол (^ между плоскостями определяется равенством(П1,П2)| n i | •|П2|Найти угол между плоскостямиX 4- 22/ - 2z - 7 = О, X + 2/ - 35 = 0.Р Е Ш Е Н И Е . Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами п\ = {1,2,—2}ип2 = {1,1,0}. Поэтому угол (/? между плоскостями определяется равенствомПРИМЕР.(П1,П2)^|П1|-|П2|c o s (Р ^^ "'^-—1-Ц-2-1-2.0'—""•^ 1 2 + 22 + ( - 2 ) V 1 2 + 12Таким образом, ^ — arccos (1/\/2) = 7г/4.Ответ.
Угол между плоскостями (р = 7г/4.—-1V2 '1.10. Каноническиеуравненияпрямой25Условия ЗАДАЧ. Найти угол меоюду плоскостями.1. З а : - у 4-3 = 0,2. x-y-\-3z-5= 0,3. 5а:-4г/ + 3 ^ - 3 = 0,4. 5 х - З г / + 2г + 5 = 0,5. 6а; + 2 2 / - 4 г + 1 7 = 0,6. x - y - f 2 ; \ / 2 - 5 = 0,7. 2 / - З г + 5 = 0,8. 6ж + 22/-ЗгН-1 = 0,9. 2a: + 2/ + 2 z - 5 = 0,10.5ж - 2/+ 2z + 12 = 0,x-2y-^5z-10= 0.x-\-z-2= 0.Ax-yz-b2 = 0.3x~\-3y-3z-8= 0.9a: + Зу - 6z - 4 = 0.a: + г / - г\/2 + 7 = 0.у + 22; - 3 = 0.a: + бу + 2z - 10 = 0.12a: + Щ - 15z + 2 = 0.3a: + 22/ + z + 10 = 0.1о/8,7Ответы.
1. (^ = arccos—•=. 2. (Z) = arccos\/—. 3. (^ = arccos--.^2\/3V 11^107 Г ^л2 7 Г ^^7 Г ^7 Г ^24. (/? = --• о. (/? = 0. о. v? = -—. 7. (/? = —. 8. (^ = — • 9. (^ = arccos — .23421510. (р = arccos '1.10. Канонические уравнения прямойПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Написать канонические уравнения прямой^ заданной как линия пересечения двух плоскост^ей {общими уравнениями)Г Aix + Biy + Ciz + Di = О,\ Ачх + Biy + C2Z И- ^ 2 = 0.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Проверяем, что векторы п\ = { A i , 5 i , C i } и П2 = {Ач^Вч^Сч}неколлинеарны и, следовательно, плоскости пересекаются по некоторой прямой.Канонические уравнения прямой с направляющим вектором а == {/, т , п}, проходящей через данную точку Мо(а:о, yo^zo), имеют видX ~хоI2/ - 2/0772Z-Z0П(1)Поэтому чтобы написать уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.2.
Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям,то ее направляющий вектор а ортогонален нормальным векторам26Гл. 1. Аналитическая геометрияобеих плоскостей, т.е. а -L ni = { A i , B i , C i } и а ± П2 = {Аг, JB2,C2}.Следовательно, направляющий вектор а находим по формулеа = [П1,П2\=iAiА2jкВ, CiВ2 С23. Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взятаточка ее пересечения с этой координатной плоскостью.4.
Подставляем найденные направляющий вектор и точку в уравнения прямой (1) и записываем ответ.П Р И М Е Р . Написать канонические уравнения прямой, заданнойкак линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)Г 2х-^ Ъу Л-Z-%= {),\ X - 2?/ - 2z -h 1 = 0.РЕШЕНИЕ.1. Проверим, что векторы пх = {2,3,1} и П2 = {1, —2, —2} неколлинеарны (см. задачу 1.2). Имеем1 ^ -2Векторы Ях = {2,3,1} и П2 = { 1 , - 2 , - 2 } неколлинеарны, так каких координаты непропорциональны.
Следовательно, две плоскостипересекаются по прямой.2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям,то ее направляющий вектор а ортогонален нормальным векторамобеих плоскостей, т.е. а L п\ = {2,3,1} и а i. П2 = { 1 , - 2 , - 2 } .Следовательно, направляюющий вектор а находим по формуле[П1,П2\г21j3-2к1-2-4г 4- 5j - 7к.3. Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатныхплоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости.1.10. Канонические уравнения прямой27Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения, например, с плоскостью у = 0.
Координаты этойточки находим, решая систему трех уравнений2ж + г - 8 = О,ж - 22: + 1 = О,у = 0.Получим жо = 3, уо = О и zo = 2, т.е. Мо(3,0,2).4. Подставляя найденные направляющий вектор и точку в уравнения прямой (1), получимX— 3 ^ у-4Z— 2" 5 "" - 7 *Ответ. Канонические уравнения прямой имеют видж - 3 _У_ _-4 ~ 5Z-2-7 'Условия ЗАДАЧ. Написать канонические уравнения прямой^ заданной как линия пересечения двух плоскостей.( х^у+z-2 = 0,\ ж - 2 / - З г + 6 = 0.. 2x-\-Sy+^ x-Sy-2z2== О,Г 2x-3y-\-2z+\ 2Ж + 32/+ 2 + 14 = 0.= 0,= 0.Г а:Н-?/+ z - 2 = 0,2 = 0.\ x-y-Sz+z-i-3 = 0,+ 3 = 0.Г(x х + yу - z - A = 0,\ x-y-{-2z=0Г x-2y + 2z-A'^' \2x-^2y-2z-S^''Г х + 5г/ + 22: + 5 = 0,Г 2x-{-2y-2z-hl= 0,Зж - 2г/ + 3z -f 4 = 0.10 / ^ - ~ y-z-2^' \ ж - Зу + г +Г 4а:+ 2 / - З 2 : + 4 = О,\ 2ж - у 4- 2г -f 2 = 0.Ответы.x+2_y-i_z' ~l~ ~ - 2~ 1*'ж+4_у+2_ z9 ~ -2 ~ ^ l 2 *= 0,4 = 0.28Гл.
1. Аналитическая геометрия3.X—4уZX4.^1~Т'0у- 2Т"г- 2 ~ Т'5.х+ 2_ у _ Z3 ~ - 5 ~ 9"6.х - 2 _ у - 3 _ Z1 ~ -3~ ^ '7.X78.X + 1 у-1/21 ^-69.а;+1уZ1~14^6'у+ 1 Z- 1 ~ 2'10.X- 52~Z~ "^у- 3Z1~Т1.11. Точка пересеченияпрямой и плоскостиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти точку пересечения прямойx-xiI^ у-угт^ Z- ziпи плоскостиАхЛ-Ву+ Сг + П = 0.ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Проверим, что прямая не параллельна плоскости.
Это означает,что направляющий вектор прямой а = {/, т , п} и нормальный векторплоскости п = {А, -В, С} не ортогональны, т.е. их скалярное произведение не равно нулю:А1-\-Вт + Спу^ 0.В этом случае существует единственная точка пересечения прямой иплоскости.2. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, вообщеговоря, надо репшть систему трех уравнений с тремя неизвестными(два уравнения прямой и одно уравнение плоскости). Однако удобнееиспользовать параметрические уравнения прямой.Положимx~xi^ г/-г/1 ^ Z- zi ^/тпТогда параметрические уравнения прямой имеют видX = It -\- Xi^y = mt-{-yi,z = nt-\- zi.1.11. Точка пересечения прямой и плоскости293. Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскостии решая его относительно t, находим значение параметра t = to, прикотором происходит пересечение прямой и плоскости.4.
Найденное значение to подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:= Но + Xi,уо = mto + yi,ZQ = nto + Zi.XQЗаписываем ответ в таком виде: прямая и плоскость пересекаютсяв точке (хо,2/о,^о).ПРИМЕР.Найти точку пересечения прямойX— 1у -\-1 _Zи плоскости2x-3y-\'Z-S= 0.РЕШЕНИЕ.1. Имеем(а, п ) = 2 • 2 Ч-О • ( - 3 + (-1) • 1 = 3 7^ 0.Следовательно, направляющий вектор прямой и нормальный векторплоскости не ортогональны, т.е.
прямая и плоскость пересекаются вединственной точке.2. Положимх-1 _ г/ + 1 _ Z _2"О""• - 1 ~ 'Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид3. Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости,находим значение параметра t, при котором происходит пересечениепрямой и плоскости:2(2t + 1) - 3(-1) 4- l{-t)- 8 = О = > to = 1.30Гл. 1, Аналитическая геометрия4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденноезначение to = 1, получаем2^0 = 3, 2/0 = - 1 , Zo = - 1 .Ответ. Прямая и плоскость пересекаются в точке ( 3 , - 1 , - 1 ) .Условия ЗАДАЧ. Найти точку пересечения прямой и плоскости,^2.х-21у-31Z+ 1-4x + y~\-2z-9= 0.х+1ty-3Z+1- ^ = У-^ = - ^ ,:,^2y-zX — 1 _ у -ЬЬ _ Z — 11 "" 4 "2 'х - З г / + 2 - 8 = 0.х-1уz-{-35.- = ^= - ^ ,6.^8.Ж—1V—2z- ^ = ^= -,= ^+ b = 0.= ^ ,3a; + y - 2 z - 0 .x + 3 y - z - 3 = 0.X-2/ + 4 Z - 5 - 0 .9.
£ = L z i . £ ± f ,2 x - y + z + 4 = 0.10. ^2 x - 4 , - 3 z + 7 = 0.= ^= i±l,Ответы. 1. (1,2,3).2. ( 1 , - 1 , 4 ) .3. ( 2 , - 1 , 3 ) . 4. ( 4 , 0 , - 1 ) .5.(1,1,2). 6. ( - 1 , 0 , - 4 ) . 7. ( - 1 , 1 , - 2 ) . 8.(3,2,1). 9. ( - 1 , - 1 , - 3 ) .10. ( - 1 , 2 , - 1 ) .1.12. Проекция точки на плоскость или прямую311-12. Проекция точкина плоскость или прямуюНайти координаты проекции Р'па плоскость Ах + By -\- Cz-\- D = О,ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.P{^PiУРЧzp)точкиП Л А Н РЕШЕНИЯ. Проекция Р' точки Р на плоскость является основанием перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту плоскость.1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р перпендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п == {А, В, С}.
Тогда канонические уравнения прямой имеют видх-хрАу-урВZ- zpС '2. Находим координаты точки пересечения Р' этой прямой с заданной плоскостью (см. задачу 1.11). Положимх-хрА_ у-ур~ В_ Z- Zp _~ С "Тогда параметрические уравнения прямой имеют видX = At-\- хр,у = Bt-\-yp,Z =z Ct-\- Zp.3. Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходитпересечение прямой и плоскости.4.
Найденное значение ^о подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки Р'.ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении координат проекции точки на прямую.П Р И М Е Р . Найти координаты проекции Р ' точки Р(1,2,—1) наплоскость Зж — 2/4-22: — 4 = 0.РЕШЕНИЕ.1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р перпендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п =32Гл. 1. Ансиитическая геометрия= {3, —1,2}. Тогда канонические уравнения прямой имеют видх-13_ у-2 _"" - 1z-hl2 '2.
Найдем координаты ТОЧЮЙ пересечения Р' этой прямой с заданной плоскостью. Положимх - ~ 1 __ у-2 __ Z + 1 _3 "" - 1 •" 2 "^ 'Тогда параметрические уравнения прямой имеют видx^St + 1,y = - t + 2,2 = 2t - 1.3. Подставляя эти выражения для х^ у и z в уравнение плоскости,находим значение параметра ^, при котором происходит пересечениепрямой и плоскости:3(3t + 1) - l{-t + 2) + 2{2t - 1) - 27 = О = > to = 2.4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденноезначение to = 2, получаем жо = 7, уо = О, ^о = 1.Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки Р на плоскость имеет координаты (7,0,1).Ответ. Проекция Р' имеет координаты (7,0,1).У с л о в и я ЗАДАЧ. Найти координаты проекции точки I ^ на плос-1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.Р(1,0,1),Р(-1,0,-1),Р(2,1,0),Р(0,2,1),Р(-1,2,0),Р(2,-1,1),Р(1,1,1),Р(1,2,3),Р(0,-3,-2),Р(1,0,-1),4х + бу -f 4z - 25 = 0.2х + 6у'-2г-\-11 = 0.2/-hz + 2 = 0.2а: 4- 42/ - 3 = 0.4 х - 5 2 / - г - 7 = 0.x-y-\-2z-2=^0.ж-f-42/+ З2: 4-5 = 0.2х -h Юу + lOz - 1 = 0.2х -МО2/ -f- lOz - 1 = 0.2y + 4z-l = 0.Ответы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
