164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Понятие производнойПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исходя из определения^ найти производную функции f{x) в точке х = 0.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. По определению•^ ^ ^Xх->0(Напомним, что при вычислении предела ж —> О, но ж т^ 0.)2. Вычисляем пределх-¥0X3. Если предел существует и равен А, то /'(0) = Л, если предел несуществует, то /'(0) не существует.Гл. 4. Дифференцирование98П Р И М Е Р . ИСХОДЯ ИЗопределения, найти производную функциит1 — cos ( ж sin — ),X ^ О,х = 0,О,в точке X = 0.РЕШЕНИЕ.1. По определению/'(0) . Иш М ^ Лх->0X= итl-cos(xsin(l/.))-0Xж->02. Так как sm(l/a;) — ограниченная, а ж — бесконечно малая функции при ж —)" О, то по теореме о произведении бесконечно малой функции на ограниченную a:sin(l/x) —> О при ж —> 0.
Заменяя в числителебесконечно малую функцию эквивалентной и снова используя упомянутую теорему, получаем1 - cosfx sin(l/x)) - О ,. х^ sin^(l/a:)^^)U.-JJlim^—L^ = О .limж->0Xх-^02х3. Таким образом, предел существует и равен нулю.тельно, /'(0) = 0.Ответ.Следоваf{0)=0.Условия ЗАДАЧ. Найти производную функции f{x) в точке х = 0.1.fix) =sin I ж^ + ж^ sin - j , ж 7^ О,О,2.fix)ж = 0.tg ( ж^ cos — ) + 2ж, ж 7^ Оо, ж = 0.3./(ж) =arcsin I ж cos — ) , х ^ О,О, ж = 0.4.2. Вычисление производных4.f{x) =In I 1 - tg ( ж^ sin - ) ) ,99x^O,0, ж = 0.5.fix) ==tgVж sin — , ж 7^ 0,0, x = 0.6.fix)-^Wl + lnf 1 + ж2 s i n - ) - 1 ,x^O,0, ж = 0.sin ('e^' ^^"(^/^) - i VX 7^ 0,0, x = 0.8.fix) =x^ cosО,9.fix) =h Зж, ж 7^ 0,Зжа: == 0.arctg I ж — х^ sin — ) , х 7^ О,О, а; = 0.10./(x) =sin X cos —h 2ж, ж 7^ О,О, а; = 0.Ответы.
1. 0. 2. 2. 3. Не существует. 4. 0. 5. Не существует.6. 0. 7. 0. 8. 3. 9. 1. 10. 2.4.2. Вычисление производныхПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции y =fix).ПЛАН РЕШЕНИЯ. Задача решается в несколько этапов. На каждомэтапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования.Возможны следующие типы функций.• Функция имеет вид Сгщ -h C2U2 + . . . + CnUn^ где ui(x),7x2(2:), . • •, Unix) — некоторые функции и Ci, С г , . . . , Сп — некоторые100Гл. 4.
Дифференцированиепостоянные. Используем формулу производной линейной комбинации{CiUi+ C2U2 -f . . . + CnUnY= Ciu[+ C2U2 + . . . + CnU'^^• функция имеет вид и - v. Используем формулу производнойпроизведения(и- v)' = и' ' V -\-U' v'.и• функция имеет вид —. Используем формулу производной частVного:/ г/ \ 'и' • V ~ и ' v'• Функция имеет вид и(у(х)). Используем формулу производнойсложной функцииu{v{x))' — u'{v) • v'{x).• функция имеет вид и{хУ^^\ Производная такой функции вычисляется с помощью формулыПереход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.ПРИМЕР.Найти производную функцииЗх^ -h 4х^ - х2 - 2У =15\/1 + ж2РЕШЕНИЕ.1.
Функция у{х) имеет вид15 Vгде и{х) = Зх^ -f- 4х^ — х^ — 2 и v{x) = у/1 Ч- ж^ . Используя формулудля производной частного, получаемУ1 {Зх^ + Ах^ -х^152У УТТ^- {Зх^ -Ь Ах^ -х^-2)(\/iT^)2{УТТ^)'4.2. Вычисление производных1012. Функция и{х) = Зх^ + 4а;'^ — ж^ — 2 является линейной комбинацией табличных функций. Поэтому(Зж^ + 4х^ - х2 - 2)' = 18х^ + 1бх^ - 2х.3. Функция v{x) = \/1 + ж^ имеет видг;(а:) = ui(i;i(a;)),где Til = \ / ^ и z;i(x) = 1 + ж^. Используя формулу для производнойсложной функции, получаемv\x) = ( v ^ ) ' (1 + х^У = - i = 2^ =2,/щ2\/1 + ж2 'Ответ, у' =^, (18а;^ + 16х^ - 2х) VTTx^_2х- (Зх^ + 4а;^ - а;^ - 2) — = =2У/ТТХ'21151 + ^2Условия ЗАДАЧ.
Найти производные заданных функций.1. у = 2^^^.2. у = \п{х + ^/TTx^).3. ?/ = l n 2 ( l - c o s x ) ., ..3^ (sin X + cos X In 3) ^sh2a:4. ?/= m(arcsin\/^). 5. y =^• 6. y = —^—.^^^1Ч-1п2зch22x7. у = arcsin -7= .8. у = a r c t g 3 ^ .9. у = ln(l + V t h x ) .y/x10. 2/ = lnsin3 —cos^xsmxОтветы.
1. 2 v ^ ^ ,! " V • 2. ^ = L = .2cos^xVtga;v 1 + a:^3. ^ ^ ^ " ^ ^ ( 1 - cosx)l-cosx^ 2ch22x-4sh^2x ^r^- 2ж.' 7.'2 \ / х - ж 2 arcsin v ^ ' 5.' 3'^cosa;.' 6.'ch^3v^ln2• (l + 32V^)2v^'1/^^ о •* 2(thx + \/thx)ch2x'y . "~J-U.*12ж Vx - 1"cosa;(l-f sin^x)sin^x102Гл. 4. Дифференцирование4.3. Уравнение касательной и нормалиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Составить уравнения касательной и нормали к кривой у = f{x) в т.очке с абсциссой а.ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функция f{x) в точке а имеет конечнуюпроизводную, то уравнение касательной имеет виду = f{a) + f'{a){x - а).(1)Если f'{a) = оо, то уравнение касательной имеет вид х = а.Если /'(а) 7^ О, то уравнение нормали имеет видy^f{a)-j^^{x-a).(2)Если /'(а) = О, то уравнение нормали имеет вид х = а.1. Находим значение / ( а ) .2. Находим производнуюf'{a).3.
Подставляя найденные значения /(а) и f'{a) в (1) и (2), получаем уравнения касательной и нормали.ПРИМЕР.Составить уравнения касательной и нормали к кривойУ=166 V ^ - ^ V^в точке с абсциссой а = 1.РЕШЕНИЕ.1. Находим /(1) = 2/3.2. Находим производную /'(1) = 2 / 3 . Так как /'(1) т^ О и /'(1) / о о ,то воспользуемся уравнениями (1) и (2).3. Подставляя найденные значения /(а) = 2/3 и /'(а) = 2/3 в (1)и (2), получаем уравнения касательной и нормали:2 2/-.42 3.^,у = —I—(х —1), V =(х — 1 .^ 33^^ ' ^ 3 2 ^^Ответ.
Уравнение касательной: 2х — Sy = 0. Уравнение нормали:9ж + б2/ - 13 = 0.4.4. Приблиэюенпые вычисления с помощью дифференциала103Условия ЗАДАЧ. Составить уравнения касательной и нормалик графику функции у = f{x) в точке с абсциссой а.1. у = X — х^^а = 1.2.у — х^-\-X-\-1^3.
2/= х^ + ж,а = 1.4.у=6.2/= \ / х 2 - 9 ,8.2/ = 3 2 V ^ - x ,Ъ.у = х'^ + \ ^ ,7. 2/ = — t x ^ ,2 - v^^29. ?/ = а: - x - l ,3.5.7.9.а = 1.а = 9.а~1.10.2/ =А/Х— 2,а = —1.а = 4.а = -27.ж^ - 2ж 4- 2^5'а = 16.а = 2.Ответы. 1. а: + 2/-1 = 0, 2;-2/-1 = 0. 2. х + у = О, ж - у - 2 = 0.4ж - 2/ - 2 = О, ж + 4у - 9 = 0. 4. ж - 4^/ - 4 = О, 4ж + т/ - 16 = 0.7Х-22/-3 = О, 2ж+7?/-16 = 0. 6. 2а:+92/+54 = О, 9х-22/+243 = 0.2а: - Зу - 33 = О, Зх + 2^/ - 17 = 0. 8. ?/ - 48 = О, ж - 16 = 0.х - 2 / - 2 = 0, ж + у = 0. 10. 2 7 / - 1 = 0, ж - 2 = 0.4.4. Приближенные вычисленияс помощью дифференциалаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
Вычислит^ь приближенно с помощью дифференциала значение функции у = f{x) в точке х = а.П Л А Н РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ приращение Ах = х — а аргумента х малопо абсолютной величине, тоf{x) = fia + Ax)^f{a)+ f'{a)Ax.(1)1. Выбираем точку а, ближайшую к х и такую, чтобы легко вычислялись значения /(а) и f'[a).2. Вычисляем Да: = х — а^ f{a)иf'{a).3.
Цо формуле (1) вычисляем f{x).П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬ приближенно с помощью дифференциалазначение функции у = ух^ -Ь 5 в точке х = 1, 97.104Гл. 4. ДифференцированиеРЕШЕНИЕ.1. Ближайшая к 1,97 точка, в которой легко вычислить значения/ ( а ) и / ' ( а ) , — это точка а = 2.2. Вычисляем:Дж = х - а = 1,97 - 2 = - 0 , 0 3 ,f{a) = f{2) = 3, f\x) = -j=^,Па)^у'{2)= \.3. По формуле (1) имеем/(1,97) « 3 + ~ ( - 0 , 0 3 ) = 2,98.Ответ. /(1,97) « 2 , 9 8 .Условия ЗАДАЧ. Вычислить приблиэюенно с помощью дифференциала значение функции у = f{x) в точке х — а.1.
y = ж^ж = 2,001.3. у = V ^ ,ж = 1,02.5. 2/ = ^ ,X = 1,03.7. 2/ = VI + sinx,2. y = ^Дx^,4. 2/ = х^,6. 2/ = у г ,х = 0,02.9. 2/= у 2 х - s i n — ,х = 1,03.ж = 0,1х = 2,999.X = 3,996.8. у — у/2х + cosx,10. у = л/4х -f 1,х = 0,01.х = 1,97.Ответы. 1. 32,08. 2. 0,96. 3. 1,03. 4. 26,073. 5. 1,01. 6. 1,999.7. 1,01. 8. 1,01. 9.
1,02. 10. 2,98.4.5. Логарифмическое дифференцированиеПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.у = uiixy^""^..Найти производную функции вида.Un(x)''"^^^i(;i(x). ..Wm{x),4.5. Логарифмическое дифференцирование105П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Логарифм данной функции имеет видIn г/ = vi{x)liiui{x)-f . . . + Vn{x)lnun{x)-{-lnwi{x) 4 - . . . -\-ln.Wm{x).2. Продифференцировав обе части этого равенства, получаемУ\^1/VUnJWiWnПоэтому3. Подставляя в последнее равенство выражение для у, получаемответ.ПРИМЕР.Найти производную функции у = х^ ж^.РЕШЕНИЕ.1.
Логарифм данной функции имеет видIn 2/ = 1п{х^'х^) = e'^lnx + Olnx.2. Продифференцировав обе части этого равенства, получаемXXуПоэтому2/'=2/(е^1пж+—^ 1 ,3. Подставляя в последнее равенство выражение для г/, получаемответ.——Ответ, у'' =х^ х^ II е^ 1пх +/Y»6or»''/эХУсловия ЗАДАЧ. Найти производные заданных функций.1. 2/= (sina:)^.2.
2/= х ^ З ^ .106Гл. 4. Дифференцирование3.у = х^ "^.4.7.y = x^8.9.^-(sinSx)^^^^^^^.г/= (arctgx)"^.y^x^^"".10. t/ = a:2^3^Ответы.,/In sin X\2л/хJx cos ж \^,/^In 3 \In arctg ж +L(1 + x'^jarctgxX/^ ,/ In tg жIn ж \ ^ ,(\w.x1, ^\5-2/' = 2/^ - ^ . 6. г / ' - ^ - ^ + ^ = + c o s x l n 2 .\ Xsmxcosx/\2^ж ух)7. y ' - j / 2 - - f-sinxln2 + l y\X)9. у' = y einsinSxctgSa:.8. y' = у (^+ ^"l .\ cos"^ a:жу10. у' = у ( 2^ 1п21пж + 2"^--f InS j .4.6. Производная функции,заданной параметрическиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти производную функции,заданнойпараметрически.ПЛАН РЕШЕНИЯ.ЕСЛИзависимость у от а: задана посредствомпараметра t:•fit),\ уТО зависимость у' от х задается посредством параметра t формуламиX = fit),у' = Ж(1)Вычисляем f'{t) и g'{t)^ подставляем в формулу (1) и записываемответ.4.6. Производная функции, заданной параметрическиПРИМЕР.Найти производную у'^, еслиВычисляем:РЕШЕНИЕ.dxdt107I[^1 +t + vTT^Vdy ^tdt v T T FtvTTt2yvTTt^'i'- (1 -f vT+72)t^/ГТ~^ V -^ V ^ ; ^ x/t^TT1 + ViTt2t2tПодставляя полученные результаты в формулу (1), получаемX = ln(t + \ / l + t 2 ) ,Ответ.
<(l-ft^Условия ЗАДАЧ. Найти производные функций, заданных параметрически.x = t'^ + l / t ^у = sin(tV3-{-St).^' ^ y = Vt^TT.,Г x-ln(l-t2),[ у = arcsin t.j X = cos^ t,I у = sin^ t.Г ж = \/^2 - 2t,'^' \ у= ^/гп:.' I y = tgt.gГ a; = lntgt,' \ y = l/smt.J ж= tsint,' \ у = 1 cost.X=\/1-^2,у = arcsint.108Гл. 4. ДифференцированиеОтветы.• ^ 2/' = -t" cos (fiZ + 3t).( X^ Ь(<2 + 1),• 1 J/' = V^~^tl{Z ^{t - If).r _-- - 2 \ / l - t/cos^ t.X ^ ln(l - t^),^' ^ j / ' = - v / l - f 2 ( 2 f ) .r x = lntgf,"• \ y'^-cos^t/sint.j X = cos^t,^' I y' = - t g t .j X = t — sint^^- \ y ' = c t g ( t / 2 ) .9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
