164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Вычисляем производную заданной функции:у'^-10,^' + '^(a;2-f2x-f 2)2*3. Критическими точками заданной функции являются ж = О иX = —2. Данному отрезку [—1,2] принадлежит только точка х = 0.4. Вычисляем значение функции в точке х = О и значения функциина концах заданного отрезка. Имеем/(0) = 5,/ ( - 1 ) = 0,/(2) = 3.Сравнивая эти значения, заключаем, что наименьшее значениефункции m = О достигается в точке х = — 1, а наибольшее значение М = 5 — в точке X = 0.Ответ. Функция принимает наименьшее значение m = О в точкеж = —1, а наибольшее значение М = 5 — в точке х = 0.126Гл.
5. Графики функцийУсловия ЗАДАЧ. Найти наибольшее и наименьшеефункции у = f{x) на отрезке [а,Ь].1. 2/ = 1 - ^а;2 - 2х,[0,2].2. y = 2x-3\^,[-1,1].3. у = х^{х-2)\[0,2].4. 2/= (ж^ - 9а;2)/4 + бх - 9,5. 2/ = 4x2/(3+ х2),6. у = 1+^х^значения+ 2х,7. у = 2x3 - За;2 - 4,[-1,1].[-2,0].[0,2].8. 2/ = 3 ^ ( а : - 3 ) 2 - 2 а ; + 6,9. у = ^х2(а: - 2)2,10. у = 2 - 12а;2 - 8жЗ,[0,4].[2,4].[0,2].[-2,0].Ответы.
1. m = у(0) = у(2) = 1, М = у(1) = 2. 2. m = у(-1) == - 5 , М = у(0) = 0.3. m = у(0) = у(2) = О, М = у(1) = 1.4. m = у(0) = - 9 , М = у(2) = - 4 .5. m = у(0) =: О, М == 2/(-1) = 2/(1) = 16. m = у(-2) - у(1) = 1, М - у(-1) = 2.7. m =: у(1) =- - 5 , М = у(2) = 0. 8. m = у(3) = О, М = у(2) = 5.9. m - у(0) = у(2) = О, М = у(1) = 1.Ю. m = у(-1) = - 2 ,М = у ( - 2 ) = 18.5.3. Исследование функции с помощьюпроизводных ВЫСП1ИХ порядковПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать функцию у — f{x) в окрестност.и точки х — а с помощью производных высших порядков.ПЛАН РЕШЕНИЯ.Пусть при некотором fc > 1/ ' ( а ) = /"(а) = .
. . = f^'-'Ha)= О,f^'Ha) ф 0.5.3. Исследование функции с помощью производных высших порядков 127Тогда если к — четное число, то точка а является точкой экстремума,а именно точкой максимума, если f^^\a)< О, и точкой минимума,если /^^(а) > 0. Если же к — нечетное число, то точка а являетсяточкой перегиба.ПРИМЕР.Исследовать функциюу = sin^(a: — 1) — ж^ 4- 2жв окрестности точки а = 1 с помощью производных высших порядков.РЕШЕНИЕ.1. Вычисляем производные заданной функции в точке а = 1:у' = sin(2x - 2) - 2д; -f 2,у" = 2 cos(2x - 2) - 2,2/'" = - 4 s i n ( 2 x - 2 ) ,у"" = -8cos(2a: - 2),у'{1) = О,у"{1) = О,У'"(1) = 0,2/""(1) = - 8 < 0.2. Так как к = А — четное число и у""{1) < О, то точка а = 1 естьточка максимума функции у = sin^(a: — 1) — ж^ + 2х.Ответ.
Функциия у = sin^(a; — 1) — а:^ + 2ж имеет максимум вточке а = 1.Условия ЗАДАЧ. Исследовать функцию у = f{x) в окрестноститочки X = а с помощью производных высших порядков.1. y = 2x'^-\-8x + Acos{x-\-2),2. у = 41па; + 2ж2-8ж + 5,а = -2.а = 1.3. ?/= 2х - ж^+ со8^(ж - 1),а = 1.4. у = 21п(х - 2) + ж^ - 8х + 3,5. 2/=:x^ + 8ж + 8 - 2 e ^ + ^а =-3.6. 2/ = 2cos(a:-f 3) + ж2+ 6ж + 2,7.
2/ = х2 + 1-2х1п(ж + 1),S. у = sin^ ж - ж^ -f 4,а = 3.а =-3.а = 0.а = 0.Гл. 5. Графики функций1289. J/ = 2е^-2 - ж^ + 2а; -М,а = 2.10. у = 2е^ - sin ж - х^ - ж,а = 0.Ответы.1. а = — 2 — точка минимума.3. а == 1 — точка минимума.5. а = — 3 — точка перегиба.7. а = О — точка максимума.9. а = 2 — точка перегиба.2. а = 1 — точка перегиба.4. а = 3 — точка перегиба.6. а = — 3 — точка максимума.8. а = О — точка максимума.10. а = О — точка перегиба.Глава бФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХПри изучении темы ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХвы на примерах познакомитесь с понятиями частных производных,полного дифференциала, градиента, производной по направлению инаучитесь их вычислять.
Вы также научитесь дифференцироватьсложные функции нескольких переменных и функции, заданные неявно. Эти умения вы сможете применить для нахождения касательной плоскости и нормали к поверхности и точек экстремума функциидвух переменных.С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить частные производные, решить системы уравнений (для нахождении стационарных точек), выполнить все численные расчеты и проверитьправильность полученных вами результатов.6.1. Частные производныеПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти частные производные до второгопорядка включит,елъно функции z = / ( x i , Ж2,..., Жп).П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Чтобы найти частную производную функции z = / ( x i , .
. . , Хп)по переменной Xk, фиксируем остальные переменные и дифференцируем / как функцию одной переменной Xk2. Частные производные высших порядков вычисляются аналогично последовательным дифференцированием, т.е.9^/5^/дх1дх\ \dxijд9X29X1dxi'dxidx2fdf\\dx2J'dxl ~dx2\dxiд(af\dx2\dx2J130Гл. 6.
Функции нескольких переменныхЗАМЕЧАНИЕ.^Х2'>Частные производные можно обозначать также z'^^,* • ' ' "^Жп ' ^XiXi")^XiX2^^'f\'П Р И М Е Р . Найти частные производные до второго порядка включительно функции Z = хУ {х > 0).РЕШЕНИЕ.1. Для того чтобы найти частную производную по ж, фиксируему и дифференцируем функцию z = х'^ как функцию одной переменной X. Используя формулу для производной степенной функции{х^У = ах^~^^ получимДля того чтобы найти частную производную по ?/, фиксируем хи дифференцируем функцию г = х^ как функцию одной переменной у.
Используя формулу для производной показательной функции{а^У = a^lna (а > 0), получимZy —x^bix.2. Частную производную второго порядка z'^^ вычисляем, дифференцируя z'^ по X (при фиксированном у), т.е.г:, ={ухУ'Х=у{у-\)хУ-\Частную производную второго порядка z'' вычисляем, дифференцируя z'^ по у (при фиксированном х), т.е.Частную производную второго порядка z'' вычисляем, дифференцируя z'y по X (при фиксированном у), т.е.z'^^ = [хУ 1пх); = ухУ-^ Inx + x ^ i .Частную производную второго порядка Zyy вычисляем, дифференцируя z'y по у (при фиксированном х), т.е.4'j; = (a^^lnx); = x 4 n ^ x .Ответ, г; = ухУ'^,z'y =4х = Ы'-^Ух - у{у -1)^^-^,ХУ1ПХ,z'^y = z'^^ =< , = ^^ ь^ X.ХУ'^+ ух^-Чпх,6.2. Градиент131Условия ЗАДАЧ.
Найти частные производные до вт^орого порядка включительно заданных функций.1. г = е''У.2. z =3. Z = sm{xy).4. z = е^ cosy.5.6.Z= i / x 2 + t/2.Z=xln{x/y).ln{x'^+y).7. z = y/2xy + 2/^.8. z = In ^/xy.9. z = xcosy + ysinx.10. z = (1 + ж)^(1 + г/)"^.Ответы.1. 4= ye^^Z^ = Xe^?/^^^^'^ ^ у2^ху^^//^ ^ 3.2^:гz l = z l = . e^^(l-x/y,. . +.
Ж2/).. . . 2.. z; = lux - Iny .+ 1, z'y. =.^4 x = V ^ . <j/ = ^/2/^ 4't/ = 4 x = -1/2/3. z; = ycos{xy), z'y= xcos{xy),z'^^ = -y'^sm{xy),z'^y = -x'^sm{xy),z'^y = z^^ == cos{xy) — xysm{xy).4. z^ = e^ cosy, Zy = —e^ siny, z'^^ = e^ cosy,Zyy = -£_cosy^, z'^y = z'^^ = -e^siny.5. z^ =x/^/x^T^,= 4 x = -xy/{x^Zi',=+ yY^\2 ( y - x 2 ) / ( x 2 + y)2,6. z; = 2x/{x^ + ylz;;== - l / ( x 2 + y ) 2 ,z'y = l/(x2 + y),Z^', =Z^',== -2x/(x2 + y)2. 7. z; = y/V2a;y + y2, z^ = (x + y)/V2xy + y2,z;', == -у2/(2ху4-у2)3/2, z;; - -x2/(2xy + y^)^/^ z^', = z^', == xy/(2xy + y2)3/2. 8.
zi = 1/(30:), z^ = l/(3y), z^', - -1/(3x2),<y = - ( 3 2 / ' ) ~ \ 4'y = <x = 09. zi = cosy + ycosx,= s i n x - x s i n y , z^'^ =: - y s i n x , z'^y = -xcosy,z'^y =- c o s x - s i n y . 10.zi = 2(l + x)(l + y ) ^ z; = 4(l + x)2(l + y)3,= 2{l + y)\ z;; = 12(l + a:)2(l + y)2, z^', = z^', = 8(1 + x)(l +z'y =z'l^ =z'^, =y)^6.2. ГрадиентПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти градиент функции и = f{x,y,z)вточке М{хо,уо, ZQ).Градиент функции /(х, у, z) — это вектор, координаты которого в базисе г, j .
А: являются частными производнымифункции / ( х , у, z), т.е.П Л А Н РЕШЕНИЯ.,,df^^df^_^dfг:jdfdfdf\Гл. 6. Функции нескольких переменных1321. Находим частные производные функцииdldldl9ж'9y'dz'f{x^y^z)2. Вычисляем частные производные функции f{x,y,z)в точкеM{xQ,yo,zo).4. Вычисляем градиент функции гх = /(х,7/,г)в точке М(а:о, 2/о? ^о)*grad/{/х(^о,2/о,2:о), fy{xo,yo,zo),fz{xo,yo,zo)}.мЗаписываем ответ.ПРИМЕР.Найти градиент функциии = х^ — arctg (у + z)в точке М(2,1,1).РЕШЕНИЕ.1.
Находим частные производные функции и — х"^ — arctg {у + z):^ = 2х ^ = —L.—дх'ду1 + (г/ + 2)2'^ =аг-—1—l + (y + z)2-2. Вычисляем частные производные функции и = х^ — axctg (j/ + z)в точке М(2,1,1):/;(2,1,1)=4,/;(2,l,l) = - i ,/^(2,1,1) = - i .3. Вычисляем градиент функции и — х'^ — arctg [у Л- z) в точкеМ(2,1,1):grad/Ответ,= {/;(2,1,1), /;(2,1,1), /^(2,1,1)} = | 4 , - 1 , - i j .grad/Условия ЗАДАЧ. Найти градиент функции и = f{x, у, z) в точке М.1.
г/ = х + 1п(^2 + у2), М(2,1,1).2. W = а;2г/- v / ^ ^ T i 2 ,М(1,5,-2).3. п = sin(a; + 22/) + гу^'хр,М(7г/2,37г/2,3).6.3. Производнал по направлению4. гх = жЗ + v 9 T z 2 ,М(1,1,0).5. u = y/xy-{-V9-^,М(1,1,0).6. u = ]n{3-x'^)-{-xy'^z,М(1,3,2).7. u = x'^y'^z~lii{z-l),М(1,1,2).8. u = ln(x2+2/2),9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
