164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 17
Текст из файла (страница 17)
a;2 + y2 + z 2 - 1 6 = 0,10. x 2 + y 2 - z 2 - - l ,М(2,2,2\/2).М(2,2,3).142Гл. 6. Функции нескольких переменныхОтветы.х~\_ J/ + 2 _ Z - 52 " -4-1 'ж-4_2/-3_г-43 "" 4 " - 6 'X - 7г/4 _ 2/ - 7г/4 _ z - 1/2i~-1~-2 *ж—1?/ — 7 r _ z — 1/е1 "" О ~ё *а: — 7г/4у—1z—12"" 1 ^ - 1а: — 12/~1^2: — 7г/41 ^ - 1 "^-2ж—2г/ — l _ z — 32 ^7 ^ -5 'а:-2_2/-2_г-11 ~1 ~ -4 '1. 2х - 42/ - Z - 5 = О,2. Зж + 4?/ - 6z = О,3. x-y-2z+ l = 0,4.
X + ez - 2 = О,5. 2ж + 2 / - 2 - | = 0 ,6.x-y-2z+f=0,7. 2х + 7?/ - 52: + 4 = О,8. х + ?/-42: = 0,ж-2_2/-2_9. Х + У + \[2z - 8 = 0,1~^~~z-2y/2V2а:-2 _ у - 2 _ z - 32 ~ 2 ~ -3 '10. 2ж + 2?/ - 3;г + 1 = О,6.7. Экстремум функции двух переменныхПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти стационарные точкиZ = z{x^y) и исследовать их характер.функцииПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Ст^ационарными т,очками функции нескольких переменных называются точки, в которых все ее частные производные равны нулю.Следовательно, чтобы найти стационарные точки функции z(x,7/),нужно решить систему двух уравнений с двумя неизвестнымиг 4(а;,2/)-0,\z'y{x,y)=0.Решая эту систему уравнений, находим стационарные точки функцииZ{x,y): Mi{xi,yi), М2(ж2,2/2),..-, Мп{Хп,Уп)'6.1.
Экстремум функции двух переменных1432. Для того чтобы исследовать характер стационарных точек, воспользуемся достаточными условиями экстремума функции двух переменных.Пусть функция z = z{x, у) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в стационарной точке М{хоуУо){т.е. z^(a:o,yo) = ^yi^o^Uo) = 0). Тогда если в этой точке:^) '^хх ' ^уу ~ (^жу)^ -^ ^' ^ ^ ^ — точка экстремума^ причем при^хх ^ 0 — точка минимума^ при z'^^ < О — точка максимума;^) '^хж * ^уу ~ i^xy)'^ < 0) ^ ^ ^ ^^ является точкой экстремума;^) "^хх ' ^уу ~ i^xy)'^ — О' ^ ^ требуется дополнительное исследование {например, по определению).3. Вычисляем производные второго порядка функции z{x,y).4. В каждой стационарной точке вычисляем выражение^хх'^уу\^xyJи определяем его знак.Анализируем полученные результаты и записываем ответ.ПРИМЕР.Найти стационарные точки функцииZ = х^ -\-у^ - Зхуи исследовать их характер.РЕШЕНИЕ.1.
Вычисляем частные производныеz'^ = Зх^ - Зг/,Zy = Зу^ - Зх.2. Для того чтобы найти стационарные точки функции, решаемсистему двух уравнений с двумя неизвестнымиГ 3x2 _ Зу = О,\ 32/2 - Зж = 0.Получаем два решения: Xi = О, 2/1 = О и Х2 = 1, 2/2 = 1- Следовательно, стационарные точки функции z = х^ ^- у^ — Зху. Mi (0,0) иМ2(1,1).3. Вычисляем производные второго порядка:4'х = 6х,z'' = - 3 ,Zy = бу.144Гл.
6. Функции нескольких переменных4. В каждой стационарной точке вычисляем выражение//^хх^ // _ / // \ 2' '^ууУ'^ху)и определяем его знак.В точке Ml(0,0)г;',(о,о)=о, z;'^(o,o)--3, <,(o,o)-o-:^z;',.4-(4',)'=-6<o.Следовательно, точка Mi (0,0) не является точкой экстремума.В точке М2(1,1)г;',(1,1)-б, 4',(1Д) = -3, <,(1,1) = 6 = ^ < , .
4 - ( 4 ' , ) ^ - 2 7 > 0 . .Следовательно, точка М2(1,1) является точкой экстремума. Так какz^'a,(l, 1) = 6 > О, то М2(1,1) — точка минимума.Ответ. Функция z = х^ -\- у^ — Зху имеет две стационарные точки Ml(0,0) и М2(1,1). В точке Mi(0,0) экстремума нет, М2(1,1) —точка минимума.Условия ЗАДАЧ. Найти стационарные точки заданных функцийи исследовать их характер.1. Z = х"^ — ху -{- 2/^.2. Z = х"^ — ху — у^.3. z = x'^ - 2ху -f 27/2 _^ 2х.4. z = x^ + у^ -х'^ ~ 2ху - у'^.Б. z = x^ - 2у^ -Зх + ду.6. z = ix + 2y -х'^ - у'^.7. Z = х^ -^у^ - 15ху.8. Z = х'^ + ху -{-у"^ ~3х — 6у.9.
z = ж^ 4- 47/2 - 2ху 4- 4.10. z — х/у + 1/х + у.Ответы.1. М(0,0) — стационарная точка. М(0,0) — точка минимума,^min = ^ ( 0 , 0 ) = 0 .2. М(0,0) — стационарная точка. В точке М(0,0) экстремуманет.3. М(—2, —1) — стационарная точка. М(—2, —1) — точка минимума, Zmin = z{-2, - 1 ) = - 2 .4. Ml(0,0), М2(4/3,4/3) — стационарные точки. М(0,0) — точка максимума, Zmax = >2:(0,0) = 0. М(4/3,4/3) —- точка минимума,^min = ^(4/3,4/3) = -64/27.6.7.
Экстремум функции двух переменных1455. M i ( l , l ) , М2(-~1,-1), Мз(-1,1), М4(1,-1) — стационарныеточки. В точках M i ( l , l ) , М 2 ( - 1 , - 1 ) экстремума нет. М з ( - 1 Д ) —точка максимума,z^ax = >2;(—1,1) = б. М4(1,—1) — точка минимума, Zmin = Z{1, - 1 ) = - 6 .6. М(2,1) — стационарная точка. М(2,1) — точка максимума,Zmax = 2:(2, 1) = 5.7. Ml(0,0), М2(5,5) — стационарные точки. В точке Mi(0,0)экстремума нет. Мз(5,5) — точка минимума, Zmm = ^(5,5) = -125.8. М(0,3) — стационарная точка.
М(0,3) — точка минимума,>^min=>^(0,3)--9.9. М(0,0) — стационарная точка. М(0,0) — точка минимума,Zmin=z{0,0)=4.10. М(1,1) — стационарная точка. М(1,1) — точка минимума,^min = 2:(1,1) = 3 .Глава 7НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛПри изучении темы НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ вы изучите основные приемы нахождения первообразных (подведение подзнак дифференциала, интегрирование по частям, замена переменной), научитесь интегрировать основные классы функций (рациональные дроби, тригонометрические и иррациональные выражения).С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить производные, разложить многочлен на множители, разложить рациональную функцию на элементарные дроби, решить системы уравненийдля нахождения неопределенных коэффициентов, выполнить другиечисленные расчеты и проверить полученные вами результаты.7.1.
Интегрирование подведениемпод знак дифференциалаНайти неопределенныйПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.IинтегралF{x)g{x) dx.П Л А Н РЕШЕНИЯ.Пусть д{х) имеет очевидную первообразнуюG(x), а F{x) есть функция эт:'ой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)).Тогдаf F{x)g{x)dx=fu{G{x))G'{x)dx=fu{G)dG.Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.. Если метод избран удачно, то последний интеграл оказываетсятабличным или известным образом сводится к табличному.ПРИМЕР.Найти неопределенный интеграл/ctgx In sin ж da:.7.1.
Интегрирование подведением под знак дифференциала147РЕШЕНИЕ.1.двухG{x),ВПредставим подынтегральное выражение в виде произведенияфункций F{x)g{x)^ где д{х) имеет очевидную первообразнуюа F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)).данном случае_. .Insinxt [х) — —:,. .д\х) = cos ж,_,. ..G\x) — sinx,_. .InG.^.F\x) = - — = ii(G).ЫП X\JJ2. ТогдаInsinX,rinsina: , ./*lnG , ^/—:cos xdx — / —:a sm ж = / -—- aG ,sma:} smxУ Gгде G = sinx.3.
Последний интеграл не является табличным, но к нему сноваможно применить метод подведения под знак дифференциала:/*lnG ,^/ -—dG=/*, ^ 1 , ^/*! ^ ,1 ^In^G_, In^sinx_,/ InG —(iG= / l n G d l n G = —— +С =+ С._г1 .IIn^sinx^Ответ. J ctgx msmxdx =h G.Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные^-Jsin 2х — cos XcZx.У (COx^ + 1 ''''•У (жЗ+ 3x4-1)45./ —-.cZx.У xvlnx/* X cos X + sin XJ(xsinx)^"9. / , l v | + l . .
.7 2xv^ + xинтегралы.7 cos^x6./dx.J V1 - a:^/* 2 ^rctg (x + 2)dx.J x2-f4x + 510. [У^_^A^/1/ T---^2148Гл. 7. Неопределенный интегралОтветы.Q11. arctg^ ж + С.3--WT-^—I2. —+ С.cos"^ X + sin XТ^^С.4. tg^x + C.5. 2v\nx-\-C,6.-arcsinx^-fC7.- ; г 7 — : TI + C'2(a:sina:)28.
arctg2(x + 2) + C.9.1п(2ж^/ж + ж) + С.10. arcsin^ ж - \/\-х^+ С.7.2. Интегрирование по частямПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти неопределенныйинтегралF{x)g{x) dx.!•П Л А Н РЕШЕНИЯ.Пусть д{х) имеет очевидную первообразнуюG{x)^ а F[x) — дифференцируемая функция, причем ее производная /(ж) = F'{x) является более простой функцией, чем F{x). Тогдаприменяем формулу интегрирования по частямI F{x)g{x) dx = F{x)G{x) ~ f f{x)G{x)dx.Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого равенства оказывается табличным или известным образом сводится ктабличному, например, повторным интегрированием по частям.ПРИМЕР.Найти неопределенный интегралIxdxCOS^ XРЕШЕНИЕ.1.
Представим подынтегральное выражение в виде произведениядвух функций F{x)g{x)j где д{х) имеет очевидную первообразную0{х), а F{x) — дифференцируемая функция, причем ее производнаяf{x) = F'[x) является более простой функцией, чем F[x).7.2. Интегрирование по частям149В данном случаеF(x)-x,5{x) = - i - ,cos^ a:G(x) = tgx,f{x)^F'{x)= l.2. Применяем формулу интегрирования по частям/X dxСг— = xtga: tgxdx.cos2 жУ3. Последний интеграл не является табличным, но к нему можноприменить метод подведения под знак дифференциала:/tgxdx = /sin а: da: = — /d cos x •J cos жJ cos ж-{оf ^^^ — iJ cos^x ~In COS X + Ci•ln(—cosa;) + C2приприcos X > Oycosx < 0.4- / ^^ ^^^ x + Ci\ ln(-cosa;)-f C2приприcos a: > 0,cosa:<0.Заметим, что если бы мы выбрали д{х) = ж, то, дифференцируяфункцию F{x) = 1/ cos^ а; и применяя формулу интегрирования почастям, получили бы более сложный интеграл, чем исходный.У с л о в и я ЗАДАЧ.
Найти неопределенные1.{х-\- 1)е^ dx,2.3./.^sinxc^x.4.5./ xinardx.Je'^^cosxdx.6.7.9^ / s i n b x . . .интегралы./ arcsina;da:./ ( x ^ + 2x + 3 ) c o s x . x ./ —TT—dx.J sin X8. / x^ arctg x dx.10. / « ' e - ^ .150Гл. 7. Неопределенный интегралОтветы.1. хе^-\-С.2. X arcsinж + \ / l - ж^ + С.3. 2х sin а: — ж"^ cos а: 4-2 cos ж + С4. {х + 1)^ sinar + 2{х + 1) cos ж + С.5. — (21па: - 1) + С6.
- ж ctg ж-f In sin х + С.7. — ( s i n а: + 2 cos ж) + С5^2218. — a r c t g х - -х'^ -\- - 1п(х^ + 1) + а39.66^ (sin In а: - cos In х) -f С.10. е"^ {х^ - 2а; + 2) + С.7.3. Интегрирование рациональныхфункций с простымивещественными корнями знаменателяПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.IНайти неопределенныйинтегралапх"^ + an-ix"^'^ + . .
. + aix -f аоc?x.brnx"^ + b ^ _ i x " - i + . . . + bix + Ь(ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Введем обозначения:Рп{х) = апх'^ + an-ix"^'^ 4- . . . + aix + ао,Qm{x)= bmX"^ + bm-lX'^''^+ . . . + biX + Ьо.Сравним степени числителя Рп{х) и знаменателя Qm{x).Если подынтегральная функция — неправильная рациональнаядробь, т.е. степень числителя п больше или равна степени знаменателя 771, то сначала выделяем целую часть рациональной функции,поделив числитель на знаменатель:-J±±^ М„_гп{х) + у ^ ^{к<т).7.3. Интегрирование рациональных функций151Здесь многочлен Рк[х) — остаток от деления P-nip^) на Qrui'^)-, причемстепень Рк{х) меньше степени (5т(^)2.
Разложим правильную рациональную дробьPk{x)Qm{x)на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые вещественные корни Г1,Г2,...,Г^, т.е. Qm{x) = {Х - ri){x - Г2) ...(ж - Гт),то разложение на элементарные дроби имеет видРк{х) _Qrn{x)АхА2X-riAmХ-Г2'"Х-Гт'3. Для вычисления неопределенных коэффициентов Ai, ^ 2 , . . . , Amприводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества,после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях хв числителях слева и справа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
