164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Чебышевым.Условил Чебышева. Интеграл (1) выражается через конечнуюкомбинацию элементарных функций в следующих трех случаях:1) р — целое число; в этом случае подстановка ж = z^, где s —общий знаменатель дробей т и п , приводит к интегралу от рациональной функции.2)целое число; в этом случае подстановка а + Ьх"^ = z^,пгде S — знаменатель дроби р, приводит к интегралу от рациональнойфункции.. т-\-13)-г,1h р — целое число; в этом случае подстановка ах " + 6 =п= 2^, где S — знаменатель дроби р, приводит к интегралу от рациональной функции.П Р И М Е Р .
Найти неопределенный интеграл/XVx^• dx.Перепишем интеграл в видеРЕШЕНИЕ.JX V Ж^JПодынтегральное выражение имеет вид х'^{1 -h x^Y при711m+1m=--,n=~, P=~,+p = -l.535nСледовательно, имеет место третий случай интегрируемости.7.10. Интегрирование дифференциального биномаПрименяя подстановкух-^1^ + 1 = z^и учитывал, чтоx = {z^ ~ l ) - ^dx = -3(г^ - 1)-'* bz^dz,получаем= / ( / - 1)""(1 + (.» - !)-')•"> iУсловия ЗАДАЧ. Найти неопределенные3./_ _ ^ _ dx,dx.X \/1 + а;3 •4. / •' J^-9.10.
/ д,—=dx.<i. =интегралы.dx./ Т ^V5+l)io'^'''^^- J xWl + x^'^''/ ^.'^^dx.Ответы.V х-^ \1. - Г1Н-иАГI +а^^2.- г2 (/ 1^ +^ ж) ^ ' 4-а173174Гл. 7. Неопределенный интеграл3. - l n ( v T + ^ - l ) - l n | a ; | + aО^ 1 , 1 + Vr^^5.4 \X1 VT^^\ +С.,^6. ^ ( 4 ч / г + - ^ - 3 ) ^ 1 + - ^ + а(2х^-1)7ГГ^3x33VaJ + l11+^--^/TTF+x1^/ГТ^-а;^/TTF , ^arctg2^,42 ( ^ + 1)8 ^ 9 ( ^ + 1)9 ^ ^ ' •|ж|(^+1)310. - m .,4»•h С.a;Глава 8ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛПри изучении темы ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ вы познакомитесь с формулой Ньютона-Лейбница и научитесь применять ее длявычисления определенных интегралов, используя технику нахожденияпервообразных.
Вы научитесь применять определенные интегралыдля решения геометрических задач (вычисление площадей плоскихфигур, длин дуг кривых и объемов тел).С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете найти новые пределы интегрирования (при использовании различных подстановок),вычислить первообразные и применить формулу Ньютона-Лейбница,выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.8.1. Интегрирование подведениемпод знак дифференциалаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить определенный интегралb/ F{x)g{x) dx.аП Л А Н РЕШЕНИЯ.
Пусть д{х) имеет очевидную первообразнуюG(x), а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)).Тогда6I F[x)g{x) dx=a6f u{G{x))G\x)a(3dx = f u{G) dG,aгде a = G(a), p = G{b).Такого рода преобразование называется подведением под знакдифференциала.176Гл. 8. Определенный интегралЕсли метод избран удачно, то последний интеграл оказываетсятабличным или известным образом сводится к табличному, послечего применяем формулу Ньютона-Лейбница.П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬопределенный интеграл1xdx/оРЕШЕНИЕ.1.
Представим подынтегральное выражение в виде произведениядвух функций F{x)g{x), где д{х) имеет очевидную первообразнуюG(x), а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)).В данном случаеП ^ ) - ^ ^ ^ [ ^ 2 ) 2 ^ ^ Н = 2х, G{x) = x\F{x) =l^-^^u{G).2. Тогда11Г xdx1_1f12_1А1J ^^й^^2J 1 + (а:2)2 "^"^ ^2 J00TTG^"^^'огде G = ^2 и G(0) = О, G(l) = 1.3. Последний интеграл является табличным.
Применяем формулуНьютона-Лейбница:о1^г xdx7ГОтвет. / —т 7 = --.J х^ + 18оУсловия ЗАДАЧ. Вычислить определенные интегралы.7г/41ж/О,^fоsin Xа: —— coscosа:а:sm(cos ж -Ь sinx)^8.2. Интегрирование по частям11777г/4У (а;4 + 4ж 4-2)2JоЬ•'\/2/25./J7.ах.6./X,ах.J vT^T^1о7Г/21/"ж COS X + sin Ж ,/ —7—: гз—ах.^8.7г/4// ' 2 arctg а: + ж ,——^«^•о43\/хН-1 ,У 2xv/i + x^^, fp^tLd..10.
У/1Ответы.1/2г 29 яarcsinг г с т п тX - IН-X- т/*о^х/ГГ^• dx.1.1/4. 2 . - 1 / 4 . 3.5/56. 4.1. 5.5/4. 6.7г/12.8. 7г2/16 + In \/2.9. 1п(20/3).7.14/7г2.10. (тг^ - 18\/3 + 36)/36.8.2. Интегрирование по частямПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить определенный интегралъ/ F{x)g{x) dx.аП Л А Н РЕШЕНИЯ. Пусть на отрезке [а, Ь] функция ^(х) имеет очевидную первообразную G(x), а F{x) — дифференцируемая функция,причем ее производная /(х) == F'{x) является более простой функцией, чем F[x).
Тогда применяем формулу интегрирования по частямъьI F{x)g{x) dx = F{x)G{x) \\- j f{x)G{x)adx.aЕсли метод избран удачно, то интеграл в правой части этого равенства оказывается табличным или известным образом сводится ктабличному, например повторным интегрированием по частям.178Гл. 8. Определенный интегралП Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬопределенный интеграл2/^х1п^ xdx.1РЕШЕНИЕ.1. Представим подынтегральное выражение в виде произведениядвух функций F{x)g{x)^ где д{х) имеет очевидную первообразнуюG(a:), а F{x) — дифференцируемая функция, причем ее производнаяf{x) = F'{x) является более простой функцией, чем F{x).В данном случаеF{x)=ln'^x,д{х)=х,С(ж) = —,/(х) = F'(x) = 21пх • - .2.
Применяем формулу интегрирования по частям2о22х1п^ xdx = — In^ Ж — / — • 2 In X • — б?ж = 2 In^ 2 — / ж In ж dx.21 У 2XJ1113. Последний интеграл не является табличным, но к нему можноповторно применить формулу интегрирования по частям:2./•х^2J.о2Г.2Г2Гх^1,\^ J 2 X^2I-Ответ. / xln^xcia:^ 2 1 n ^ 2 - 2 1 n 2 - f - .Условия ЗАДАЧ. Вычислить определенные интегралы.11.fxe-''dx.о12.[ xdiTctgxdx.о34 1= 2 1 п 2 - - 74 .8.3.
Интегрирование тригонометрических выраоюений27Г23./ Inxdx.4../..../x^cosxdx..,/„....1о7г/3е1п^жс/ж.8.1/:r-dx.J cos^ Xо7г9.179еe^cos^xdx.10.о'/ cos In ж do:,1Ответы. 1. ( е - 2 ) / е . 2. (тг - 2)/4. 3. 2 1 п 2 - 1 . 4. 47г. 5 . 7 г / 6 - \ / 3 + 1 .6. 7г2/4 - 2.7. е - 2.8. 27г/3 - In tg(57r/12).9. 3(е^ - 1)/5.10. (е^/2 - 1)/2.8.3. Интегрирование выраженийJ?(sinx,cosx)Вычислить определенный интегралПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.b/ i?(sina:,cosx) dx,где R — рациональная функция двух переменных.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Если а и b таковы, что функция tg {х/2) определена на [а, 6], тос помощью подстановкиXинтегралы от функций Я (sin ж, cos ж) приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной t.
Действительно, подставляяв подынтегральное выражение180Гл. 8. Определенный интегралполучаем/ 2t1 —1'^\2i?(sin X, cos x)dx — R\ •r,—]dt — Ri (t) dt.^^\ 1 + ^ l + ^V 1 + ^Подстановка t = tg(x/2) называется универсальной.2. Находим новые пределы интегрированияа« = tg-,_Ьi8 = t g - .3.
Применяем формулу замены переменной в определенном интегралег/[211 — t^\2R{smx,cosx)dx = J RyYTl^'TTt^j ТТ^"^^'aa4. Вычисляем первообразную рациональной функции t и применяем формулу Ньютона-Лейбница.ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ подынтегральная функция имеет специальныйвид, то лучше применить подстановки, требующие меньших вычислений:а) если- i?(sina;,cosx) = i?i(sina:,cos^ х) cosx, то применяем подстановку t = sin ж.
Действительно, подынтегральное выражение приобретает видRi (sin ж, cos^ х) cos xdx = Ri (t, 1 —t^) dt;б) если R{sm x, cos x) — R2 (sin ж, cos x) sin x, то применяем подстановку t ~ cos Ж. Действительно, подынтегральное выражение приобретает видДз(sin^ X, cos х) sin xdx = —R2 (1 — t^, t) dt;в) если i^(sinx,cosa:) = i^3(tgx), то применяем подстановкуt = t g x (при условии, что функция tgx определена на [а, 6]). Действительно, подынтегральное выражение приобретает видRs{tgx)dx=R3{t)Y:^dt.8.3. Интегрирование тригонометрических выраэюенийПРИМЕР1811. Вычислить определенный интеграл7г/2sinxах.2 -h sin X/РЕШЕНИЕ.1. Поскольку функция tg (ж/2) определена на [0,7г/2], сделаем подстановкуXt =tg-.Подставляя в подынтегральное выражение2t,2,получим2t«-- dx =„-^±^^dt, 2t 1 + *22 + sina;={f^^.+ t^ l){f^^-L^^^dt.+ 1)2.
Находим новые пределы интегрированияf(o) = o, t{l) = i3. Применяем формулу замены переменной в определенном интеграле7г/21гsin ж . _ f2^,.J 2 + s i n x ' ' ' ' " ~ y (^2+^ + 1)(^2 + 1)^^оо4. Вычисляем первообразную рациональной функции t и применяем формулу Ньютона-Лейбница12t,^Гdt — 2 arctg t/о' IОтвет.,/оsin ж,7Г:dx = •2 + sina:22t + lо v^"^*^-V3 О7Г/2_427ГЗ^З'7Г27Г2Зл/3*182Гл. 8. Определенный интегралПРИМЕР2. Вычислить определенный интегралarccos(l/\/6)3tg2x-l ,—9/— ах.РЕШЕНИЕ.1. Так как подынтегральная функция имеет вид R{tg х) и функцияtgx определена на [0,arccos(l/\/6)], сделаем подстановку tgx = t.Подставляя в подынтегральное выражениеtg ж = t,ах =dt1 + ^2'получаем рациональную функцию t:3tg2x-l ,3^2-11,—оах = —г —at.tg2x + 5t2-h5 1+^22.
Находим новые пределы интегрирования:tg(0) = 0,tg I arccos —j= j = У/Б.3. Применяем формулу замены переменной в определенном интеграле:arccos(l/\/6)Jл/5tg2a: + 50Jt^ + Ьl + t204. Вычисляем первообразную рациональной функции t и применяем формулу Ньютона-Лейбница:v/5/о3^2-1^2 + 5ч/51,^4t= —^ - arctg VE.И—^arctgdt=—arctgt1 + ^2V5^ ч/5 оv5оarccos(l/\/6)Ответ./^2^^ ^ C ^ ^ . . = -;=-arctg^/5.8.4. Интегрирование тригонометрических выраоюений183Условия ЗАДАЧ. Вычислить определенные интегралы.7г/21.7г/2/(]^х.
2. /dx.J 5 -h 4 sin а: + 3 cos xJ 3-f5sina:-f3 cos x007Г/23.7Г/2fcos^ X,/ —5аж.J sin''a:-h sin X^4.7Г/6n/37Г/25.7Г/2/ ^ - i,dx.У sina:(l+ cosx)6.тг/З7г/47. / i ± ^ d x .8. /У0 4 c o s 2 x - 2 s i n 2 x + sin2xsm 2x7Г/49.10. / —о2 sin Ж + 3 cos Xг-^2:.у sin^ ж cos X -\-9 cos^ ж/7-dx.J 5 + cos^ XОтветы.+ \ЫЪ.dx.7Г/40Ь.\/ ^ d x .J sin^a;7г/4тг/ЗJ7Г/4/" cos ж/аж.J 3 + cosa:01 1 81\/21. - . 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
