164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если граничные точки кривой L M{xi,yi,zi)и^{х2^У2, Z2) заданы в декартовых координатах, то ti и ^2 определяем,решая системы уравненийxi =x(ti),yi = y{ti),zi = ziti);ЗАМЕЧАНИЕ( Х2 =x{t2),I 2/2 = 2/(^2),[ Z2 = 2(^2).2. Если кривая задана как линия пересечения двухповерхностей:Г Fi(x,2/,z)=0,\ F2{x,y,z) = 0,то ее необходимо параметризовать.ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если плоская кривая задана уравнением у = у{х)(а < ж < 6), то дифференциал длины дуги равен dl = yjl -h y'{xY dxи формула (1) имеет видьI / ( х , y)dl = I / ( х , у{х)) V I + У\х)^ dx.L(Г)оЕсли плоская кривая задана в полярных координатах {х = gcostp,у = QsiiKf) уравнением д = д{(р) {а < (р <Ь)^то дифференциал длиныдуги равенdl = ^g{ip)''-{-g'{ipydip.204Гл. 9. Криволинейные интегралыи формула (1) имеет видъ1 f{x,y)dl=/ f{g{^) cos V?, д{(р) sin (р) у/д{(р)'^ + Q'{(р^ dip.{I")ПРИМЕР 1.
Вычислить криволинейный интегралZ2х^ + у^/dl,Lгде L — первый виток винтовой линииX = cost,y = smt,z = t,0<t<27r.РЕШЕНИЕ.1. Вычисляем: x'{t) = - s i n t , y'{t) = cost, z'{t) = 1, d/ = y/2dt и2. Подставляем эти результаты в формулу (1) и вычисляем определенный интеграл:27Г2ГLОтвет./ - ^ - — - dl =J х^ Л-у^__8V27r3о8\/27гЗLПРИМЕР 2. Вычислить криволинейный интеграл{x~y)dl,Lгде L — отрезок прямой от точки Л(0,0) до точки Б(4,3).РЕШЕНИЕ.1. В данном случае уравнение прямой есть у = Зж/4 (О < ж < 4)и, следовательно, у'{х) = 3/4 и dl = 5/4 cZt.9.1.
Криволинейные интегралы первого рода2052. Подставляем эти результаты в формулу (1') и вычисляем определенный интеграл:1 {x-y)dl=I (х- -жjОтвет.1^^=2'ОL{х - y)dl = -.LПРИМЕР 3. Вычислить криволинейный интегралГу/ arctg — dl,JXLгде L — часть спирали Архимеда Q — ^ (О < v^ < 7г/2).РЕШЕНИЕ.1. Вычисляем: ^'(^^) = 1, d/ = д/(/р2 -\r\d(p и f{x,y)arctg (tg (р) = (f при О < ip < 7г/2.= (/?, так как2. Подставляем эти результаты в формулу (1") и вычисляем определенный интеграл:farctg^dl=Ответ./ " ^ V ^ 2 + l d ^ = i(¥>2 +1)3/2У^,/ arctg-d//J(7г2 + 4 ) 3 / 2 - 8X24Условия ЗАДАЧ. Вычислить криволинейныеч1. / 2/^(i/,24I/ — часть кривойинтегралы.х = t — sint,у = 1 — cost(О < t < 27г) (ар?са циклоиды).2.zdl^L — часть кривойх = tcost,у = tsint,L(О < t < 7г) {первый виток конической винт,овой линии).z = t206Гл.
9. Криволинейные интегралы3. / (ж^ + 2/^4- z^) dl^L — часть кривой х = cost,у = sint,Z ~ 2t {О < t < тт) [первый виток винтовой линии).A.j^ydl,L -паст, приео, . = t,у = f 12,г =t^ZL{0<t<5.1)./ y/ydl^L — часть параболы у — х^ от точки А(0,0) доLточки Б(2,4).6.xdl,L — отрезок прямой от точки Л(1,0) до точкиB{Q,2Y7.{х -\- у) dl^L — граница треугольника с вершинами (0,0),(1,0)4о,1).8./ л/хМ-^б?/,L — окруэюностъ х'^ -\- у"^ = 2х.L9L10./ \у\ dl,L — лемниската Бернуллид = ^/cos2(p.LОтветы., 641. - .„2.(2 + 7г2)3/2 _ 2\/2^.,3.27гч/5(3 + 1б7г2)..^(3V3-i.ibilM).5.>--i).e.f.r.i.V2.8. 8. 9. —.О10.2(2-72)..9.2. Криволинейные интегралы второго рода2079.2.
Криволинейные интегралывторого родаВычислить криволинейныйПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.интеграл/ Р(ж, 2/, z) dx + Q(x, 2/, z) dy + R{x, y, z) dzLгде L — часть гладкой кривой, заданнойX = x{t),у = y{t),z = z{t).параметрическиti<t<^2,ПЛАН РЕШЕНИЯ. Криволинейный интеграл второго рода по кривой L определяется формулой/ Р(ж, г/, z) dx -Ь Q{x, у, z) dy + R{x, у, z) dz =(1)j[P{x{t)^),z{t))x\t)^-Q{x[t)^),z{t))y\t)+ R^ti1.
Вычисляем x'{t), y'{t) и z'[t).2. Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записываем ответ.ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если граничные точки кривой L M{xi,yi,zi)и^{х2,2/2, ^2) заданы в декартовых координатах, то ti и ^2 определяем,решая системы уравненийЗАМЕЧАНИЕXI = x ( t i ) ,( Х22/1 = y{ti),Zl = Z{ti)]I У2= 2/(^2),[ Z2 =z{t2).=x{t2),2.
Если кривая задана как линия пересечения двухповерхностей:Г Fi(a:,2/,z) = 0,\F2{x,y,z)=0,то ее необходимо параметризовать.208Гл. 9. Криволинейные интегралыПРИМЕР 1. Вычислить криволинейный интегралГ у/ -3 dx — Зх dy -\- X dzLПО части кривой L, заданной параметрическиX = 2 cos t,y = 2smt,0<t<~,z=1-2cost-2smt.РЕШЕНИЕ.1. Вычисляем: x'{t) = —2sinf, y'{t) = 2costH z\t) = 2 s i n t - 2 c o s 12. Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):/ — dx — Sxdy + xdz =3L7г/2=/~ s i n t ( - 2 s i n t ) - 6cost(2cost) 4-2cost(2sint - 2cost)dt =0/132//3 dx — 3xdy + xdz = 2 —--тг.LПРИМЕР 2.
Вычислить криволинейный интегралI {х — y)dx-\- dy -\- zdzLот точки М(2,0,4) до точки 7V(—2,0,4) {у > 0) по кривой L, образованной пересечением параболоида z = x^ +у'^ и плоскости z = 4,РЕШЕНИЕ.В сечении получается окружность^2 4- 2/2 = 4,2 = 4.9.2. Криволинейные интегралы второго рода209Поэтому параметрические уравнения кривой L имеют видX = 2 cos t,у = 2sm t,z = A.1. Вычисляем: x\t) = - 2 s i n t , y'{t) = 2cost и z'{t) = 0.Определяем ^i и ^2 из условий2 = 2costi,0 = 2sinti,4 = 4;( —2 = 2cost2,I 0 = 2sint2,[ 4 = 4.Учитывая, что у > О, получаем ti = О и ^2 = тг.2.
Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):тгI [х — y)dx-\- dy -\- zdz = / [(2cost - 2sint)(-2sint) + 2cost]c?t = 27г.L0Ответ./ {x — y)dx-\- dy -\- zdz = 27Г.LУсловия ЗАДАЧ. Вычислить криволинейныеинтегралы.1. / ( , ^ - .^) .X + 2уг dy - .^ d., L - паст. .риеоП . = t,y = t^LZ = t^ от точки М{0,0,0)2.(2 — y)dx-\-xdy,до точкиN{1,1,1).L — арка циклоидых=t — sint,L:l-cost3.(0<t<27r).ydx + zdy-\-xdz,L — первый виток винтовойлинииL•- cost, у = sint,z — t.4.
/ ( X 4- y)d. + ( . - y)dy, L - оппжпосгп. (x - 1)^ + ( , - 1 ) - 4 .L^ f (x -{- y)dx — (x — y)dy_9 r>5. / -^^:z ::, L — окруэюностъ x^ -\- y^ = 1.Jx^ Л-у^210Гл. 9. Криволинейные интегралы6. / (4а: -\- у) dx + {х -\- 4у) dy,L — часть параболы у = х^ отLточки М(1,1) до точки N{—1,1).7. / 2xydx + х^ dy^L — отрезок прямой от точки М(0,0) доLточкиN{1,1).8.у dx -{- X dy -\- {х -{- у -\- z) dz,L — отрезок прямой от точкиLМ(2,3,4) до точки N{3,4., Б).Lи плоскости z = 0.10.
/ ydx — xdy + zdz, L — линия пересечения сферы х^+ ?/^+ 2:^ = 4Lи конуса х^ -\- у^ = 7? (^ ^ 0).Ответы. 1. 1/35. 2. -27Г.8. 33/2. 9. 47Г. 10. - 47Г.3. -тг.4.0.5. -27г.6.-2.7.1.Г л а в а 10РЯДЫПри изучении темы РЯДЫ вы познакомитесь с понятиями сходимости, суммы и остатка ряда, научитесь исследовать сходимостьчисловых рядов, применяя теоремы сравнения и различные признакисходимости. Вы познакомитесь с понятиями функционального и степенного рядов, научитесь находить их области сходимости и суммы.Вы узнаете, что такое ряд Тейлора, научитесь находить разложенияфункций в ряд Тейлора и применять полученные разложения в приближенных вычислениях.С помопдью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить пределы, выполнить приближенные вычисления и проверить полученныевами результаты.10.1. Понятие суммы рядаНайти сумму рядаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.ОО/Ldу,n=lгде A,p,q — целые числа.ООПЛАН РЕШЕНИЯ.
Суммой ряда Y1 ^п называется предел S послеп=1довательности его частичных сумм {5п}, т.е.S -lim 5п,П—¥00где 5п = «1 + «2 -Ь . . . -f an1. По условию задачип^ -\-pn-\- q(1)212Гл.10. РядыЕсли корни знаменателя различаются на целое число, т.е. n'^-\-pn-{-q == {п -h а){п -j- а + к), где к — натуральное число, то члены послеоодовательности частичных сумм ряда ^ а^ легко найти, так как вп=1выражении 5„ = ai + аз -f . •. -f cin многие слагаемые взаимно уничтожаются.2.
Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби:111? + рп + qк \п + ап-\- а-\- ки выписываем несколько членов ряда так, чтобы было видно, какиеслагаемые сокращаются при вычислении частичных сумм ряда.3. Находим п-ю частичную сумму ряда:Sn = 0,1 + CL2 + " • -^ Отсократив соответствующие слагаемые.4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1)S = lim Snn->ooи записываем ответ.ПРИМЕР.Найти сумму рядаооЕ, п2 4-"5n 4- 4 *n=lРЕШЕНИЕ.1. Корни знаменателя п = — 1 и п = —4 различаются на целоечисло, т.е.
п^ + 5гг + 4 = (п + 1)(п + 1 + 3). Следовательно, члены посюследовательности частичных сумм ряда ^ а^ легко найти, так какп=1в выражении Sn = ai Ч- а2 + . . . + fln многие слагаемые взаимно уничтожаются.2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби722477,2+ 5 п + 4тг+1и выписываем несколько членов ряда:2424242424п+42424^^^Т"У' ^'^Т"Т' ^^=^Т"У'10.1.
Понятие суммы рлда24242421324242424242424CLn-4 =^?п — 74 г г - 17''24242424п-2•n-1n + 2'п + 1'24242424nn+Sn-fln+43. Сокращая все слагаемые, какие возможно, находим п-ю частичную сумму ряда:(^п-Ъ—5'п = ^1 + ^2 + . . . + an =24 24 24242424^^24= -:г+—+г——=26234n-f2п+ З п+ 4п+ 24. Вычисляем сумму ряда по формуле (1):S = lim 5п = Иш (26п^ооп-^ооу2424п + 2п + 3;-24п+ 324n+ 424 \= ^ 1 = 26.п+" ' >4• /'Ответ. 5 = 26.Условия ЗАДАЧ. Найти суммы рядов.1.У^.Е^ п^ — 5п + 6^^^ п2 + 5п + 6п=6п=13.^30^25п2 + 5п-6'5.^18^П2+ Зп'п=1ОО7.^9п2-Зп-2'•^^^п{п4п2 - 1 •^4п2 + 8п - 5'п=1о•^16п2-8п-3'П=1п=1оЕп=1П=18+ 1){п + 2)'.0.' ; Е^j(2n+ l)(2n + 3)(.2n + 5)"Ответы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
