164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 25
Текст из файла (страница 25)
10. РядыУсловия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.Y> 3" + 2у . 5"п=2п=1 ^ "^f.^"^(Зп + 2)!у^ 2"(п^ - 1)' ^ 2 " ( 2 п + 5)!'П=1^П=1'^(2п)!'^ 3 " + 2'п=1 ^п=1'у;п!(2п + 2)!^(Зп)!П= 1^^•2"п!^(2п)!'П=1 ^'^п=1^п=1Ответы. 1. Ряд сходится {д = 0).2. Ряд сходится {д = 0).3. Ряд расходится (^ = +оо).4. Ряд сходится (^ = 0).
5. Рядсходится {д = 0). 6. Ряд расходится {д = 4-оо). 7. Ряд сходится{д = 4/9). 8. Ряд сходится {д = 0). 9. Ряд сходится {д = 2/е).10. Ряд расходится {д = 3/е).10.5. Признак КошиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Исследовать сходимость ряда с полооюи-т.ельпыми членамиООп=1где an '^ Ьп и Ишп-^оо У/Ь^ существует и легковычисляется.П Л А Н РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ Ь^ имеет, например, вид ^(п) f{n)'^ , где /ид — рациональные функции п, то lim„_>oo У/К, существует и легковычисляется.
В таком случае применяем радикальный признак Коши,Пусть дан ряд с полоэюительными членамиООп=110.5. Признак КошиЕсли существует223пределlim ^= ^,(1)п—>-оото при д < 1 ряд сходится^ при д > I расходится. (Если ^ = 1, топризнак Коши ответа не дает.)1. Проверяем, что а„ > О при всех п > 1.2. Упрощаем, если требуется, выражение для а^, т.е.
будем исследовать сходимость ряда X ^ ^ i ^п такого, что йп ~ Ьп при п -> оо, азатем воспользуемся второй теоремой сравнения.3. Вычисляем пределlim л/Ь^ = д.п-^оо4. Применяем радикальный признак Коши и вторую теорему сравнения.Если ^ < 1, ряд X ^ ^ i Ьп сходится. Следовательно, по второйтеореме сравнения сходится и исходный ряд Yl^=i ^пЕсли ^ > 1, ряд Х ] ^ 1 Ьп расходится. Следовательно, по второйтеореме сравнения расходится и исходный ряд Yl^=i ^пЗАМЕЧАНИЕ.Полезно иметь в виду, чтоlim ^ = 1 ,n—)-oolim v ^ b ^ = 1,n—>oolim \/P{n) = 1,n—>coгде P{n) — многочлен относительно п.ПРИМЕР.Исследовать сходимость рядаооVn^arctg^-^.п=1РЕШЕНИЕ.1.
Проверяем, что члены ряда положительны.Действительно,an = п^ arctg^" -г- > ^Anпри всех п > 1.2. Поскольку arctgx ~ х при ж -> О, упрош;аем выражение для а^:п224Гл. 10. Рядыт.е. будем исследовать сходимость ряда Yl'^^i ^п? гдеи затем воспользуемся второй теоремой сравнения.Очевидно, что Ишп-^оо У/К. существует и легко вычисляется. Втаком случае применяем радикальный признак Коши.3.
Вычисляем Q ПО формуле (1), учитывая, что Ишп-^с» v ^ = 1,1/пд = limLп—>-оо\4n/Jn->oo\4n/4. Применяем радикальный признак Коши и вторую теорему сравнения.Так как ^ = О < 1, то рядсю2пп=1сходится. Следовательно, по второй теореме сравнения сходится иисходный ряд.Ответ. Ряд /]п^arctg^^— сходится.п=1У с л о в и я ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.П=1^^п=1 ^^п=1 ^^П=1^n=l^^2оп^п=1 ^2пn=l^^^п=1^оо/и^п—\ ^ооn=l^1\п/2^10.6.
Интегральный признак Коши225Ответы. 1. Ряд расходится {д = 4-оо). 2. Ряд сходится {д = 0).3. Ряд сходится (^ = 0).4. Ряд сходится (^ = 0). 5. Ряд сходится{д = 0). 6. Ряд сходится {д •= 3/5). 7. Ряд сходится {д = 1/4).8. Ряд сходится {д — 2/3). 9. Ряд сходится {д — Ъ/Ъ). 10. Ряд расходится {д = 3/е).10.6. Интегральный признак KoninПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Исследовать сходимость ряда с полооюи-тельными членамиJ2an,n=lгде а^ ^ bji = / ( ^ ) , причем первообразная функции f{x) легко вычисляет,ся.П Л А Н РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ 6^ = / ( ^ ) , причем первообразная функции/(х) легко вычисляется, то применяем интегральный признак Коши.Если функция /(ж), принимающая в точкахх = п (п G N) значения/(п) = Ьп > 0^ убывает в некотором промеэюутке b < х < +оо(Ь > 1), то ряд Х ] ^ 1 ^п '^ несобственный интеграл /^f{x) dx либооба сходятся.^ либо оба расходятся.1.
Упрощаем, если требуется, выражение для an, т.е. будем исследовать сходимость ряда X ^ ^ i Ь^ такого, что а^ ~ Ь^ при п —)> оои Ьп = f{n) выбраны так, чтобы функция f{x) имела очевидную первообразную F{x). Затем используем вторую теорему сравнения.2. Исследуем сходимость несобственного интеграла по определению:/f{x)dx=ИхпF{b)-F{a).Ь->+оо3. Применяем интегральный признак Коши к рядусоп=1и затем делаем вывод о сходимости или расходимости исходного рядаYl^=i ^П5 используя вторую теорему сравнения.226Гл. 10. РядыЗАМЕЧАНИЕ.Интегральный признак Коши применяется, в частности, к рядам вида Yl^:=i —/(Inn).пПРИМЕР.Исследовать сходимость рядаЗпЕ_^(п2-2)1п(2п)РЕШЕНИЕ.1.
Упрощаем выражение для anЗп(п2 - 2) 1п(2п)пЫп3и будем исследовать сходимость ряда У ] ^ 1 —;с помощью ин"~ п\пп3тегрального признака Коши, так как функция f(x) — —.— имеетхтхочевидную первообразную F{x) — 3 In In ж. Затем используем вторуютеорему сравнения.2. Исследуем сходимость несобственного интеграла по определению:/- ^ — = lim / — — = 3 hm 1п1п6 - 1п1п2 = +оо.J2хтхъ-^л-оо J2 хтхь->+ооИнтеграл расходится.3. Применяем интегральный признак Коши:3Функция f(x) = —;непрерывна в промежутке [2, -f оо) и убывахтхет в нем к нулю.
Следовательно, из расходимости интеграла следуетрасходимость ряда^-^ n l n nп=2По второй теореме сравнения расходится и исходный ряд.Ответ. Ряд Y] Т2—ом ^о ^ Расходится.^ (п2 - 2) 1п(2п)10.7. Признак Лейбница227Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.ОО-1 VОО=; ^ ^ ( 2 n + 3)ln(2n)СО•ООООУ^-.^^ пЫ^{п + 1)-ОО„^2(2n+l)Vb^7^4. У-^];^1 (Зп - 2)Vln(2n + l)СХ)=^^(п+1)\п^п^3- у^2 V-;S2n^ln3(3n+l)-ОО^8V"2_ •.2^ ( г г З + 2)1п2п** ^(п4-2)1пп*Ответы.
1. Ряд расходится. 2. Ряд сходится. 3. Ряд расходится.4. Ряд сходится.5. Ряд расходится.6. Ряд сходится.7. Рядрасходится. 8. Ряд сходится. 9. Ряд сходится. 10. Ряд расходится.10.7. Признак ЛейбницаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Исследоват^ь сходимостьзнакочередующегося рядаООп=1ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Проверяем, что limn->oo ^п = О (если Ит^-^оо «п ^ О, то рядрасходится, так как не выполнено необходимое условие сходимостиряда).2. Исследуем сходимость ряда, составленного из модз^лей,ООп=1используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с положительными членами.228Гл.10.
РядыЕсли ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно.3. Если ряд из модулей расходится, то остается еще возможностьтого, что исходный ряд сходится условно.Чтобы исследовать эту возможность, применяем признак Лейбница.Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютнойвеличине и ст^ремятся к нулю при п —> оо, то ряд сходится {покрайней мере, условно).В данном случае, если условия признака Лейбница выполнены, тоисходный ряд сходится условно (так как уже выяснено, что абсолютно он не сходится).ПРИМЕР.Исследовать сходимость рядап=1^^РЕШЕНИЕ.1.
Проверим выполнение необходимого условия сходимости:lim (-l)'^f l - c o s - i = : ) = 0 .n->ooуV^/2. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:1п=1 'COS—р:Vnn=lТак как при п —>• оо1COS " 7 = -1—,то по второй (предельной) теореме сравнения ряд из модулей расходится.3. Проверяем условия признака Лейбница:а) ряд знакочередующийся с an = 1 — cos —7= ;\/пб) члены ряда убывают по абсолютной величине:1 — cos .< 1 — cos -7=Vn + 1yjnVn > 1;10.8.
Приближенное вычисление суммы ряда229в) члены ряда стремятся к нулю при п -> оо (см. п. 1).Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.Ответ. Ряд У^ (—1)"^ ( 1 — cos -7= ) сходится условно.Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.п=13n(n+ 2)^ •^п=1y ^ ( _ i ) " - _п2^ :+±1L =4y-(_nnSin(n^v^)л/п"5 + Zn^+'i2п2-1ЗпЗ+if•пу'ОО9- Е<-1)"^'"'|гп=1И-Есозтгпп=1 ^Ответы. 1. Ряд сходится условно.
2. Ряд сходится абсолютно.3. Ряд сходится условно. 4. Ряд сходится абсолютно. 5. Ряд сходится условно. 6. Ряд сходится условно. 7. Ряд сходится абсолютно.8. Ряд расходится. 9. Ряд сходится абсолютно. 10. Ряд сходитсяусловно.10.8. Приближенное вычислениесуммы рядаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.числового рядаООп=1с заданной точност^ъю а.Вычислить суммузнакочередующегося230Гл.
10. РядыПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Если a^+i < о^п и lim^_^oo <^п = О? то А,ЛЯ остатка ряда Rnсправедливо неравенство\Rn\ £ «n+l2. Если a^+i < а, то и \Rn\ < а. Поэтому, решая неравенствоttn+i < а,находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда с заданной точностью а.3. Непосредственно вычисляем п-ю частичную сумму и записываем ответ:5 « 5п = ai - а2 + . . . 4- (-1)""^ап.П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬсумму рядаооП= 1^'С ТОЧНОСТЬЮ а = о, 0 0 1 .РЕШЕНИЕ.,1.
Данный ряд знакочередующийся и сходяш;ийся (абсолютно).Члены ряда убывают по абсолютной величине:п +1пW ^ .(1 + (п + 1)3)2 <- -г.( Ц - п ЗТ)ТТ27Vn > 1.Следовательно, справедливо неравенствогг + 1\^п\£ ^n+l —(1 + (71+1)3)2-2. Если ttn+i < а, то и \Rn\ < ос- Поэтому, решая неравенствоn-f 11(l + (n +1)3)2 < 1000'находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда с заданной точностью а. Получаем п > 3, т.е.достаточно взять первые три члена ряда.10.9. Область сходимости функционального ряда2313. Вычисляем:Ответ: 5 ?^-0,229 ± 0,001.Условия ЗАДАЧ. Вычислить суммы знакочередующихся рядов сзаданной точностью а.п=1П=1(-1)"П= 1 ^оо'^(-1)"П= 1(_1)п^- Ет ^ '-^^^ (2п)\пп=1^ооа = 0,0001.^^/_-|\п6. ^^-^ V2^п\T ''« = 0,001.п=1оо7- Е ^•зЫт ?; ,'а ==0,01."0'01-8.8- ЕЧ;;^-'Е ^ "п=0(-1)"9.
y^^—Y-^n• =^0" = 0,01.n=la = 0,01.n!^(-1) n - 110. V - ^ ^ - — ,^• ^( 2(2nn +l)3+ l)'^n=l^a = 0,01.^Ответы. 1. 5 ~ 0,84. 2. 5 :^ 0,896. 3. 5 :^ -0,275. 4. 5 :^~ -0,332. 5. 5 ^ -0,4796. 6. 5 2^ -0,393. 7. 5 - 0,13. 8. 5 - - 0 , 4 5 . 9. 5 :^ 0,36. 10. 5 - 0 , 0 4 .10.9. Область сходимостифункционального рядаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найт,и область сходимости функционального рядаT.fnix).П=1232Гл. 10. РядыПЛАН РЕШЕНИЯ. При каждом допустимом значении х рассматриваем данный ряд как числовой и исследуем его сходимость, применяятеоремы сравнения, признаки Коши, Даламбера и др. Таким образомнаходим те значения ж, при которых данный ряд сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
