164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Совокупность таких значений х образует область сходимости ряда.При использовании признаков Даламбера или Коши поступаемследующим образом.1. Находим д{х) по одной из формул (если пределы супдествуют)е{х) = Um % ^ 7 ^илив{х) = lim"^/[ШI,где fn[x) — обш;ий член ряда.2. Так как по признакам Даламбера или Коши ряд сходится при^ < 1 и расходится при ^ > 1, находим интервал сходимости, решаянеравенство д{х) < 1.3. Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала сходимости.Записываем ответ.ПРИМЕР1. Найти область сходимости ряда^3х+1РЕШЕНИЕ.1.
Для каждого фиксированного х все члены данного ряда положительны:«^3п> ОVn > 1.2. Используем вторую (предельную) теорему сравнения. Имеемп^(n2 + V ^ + 1)^+11п2(^+1)-3Так как при 2{х + 1) — 3 > 1 рядоо^2-^ ^2(ж4-1)-3п=1приП - > ОО.10.9. Область сходимости функционального ряда233сходится, а при 2(ж + 1) — 3 < 1 расходится (как обобщенный гармонический), то по второй теореме сравнения рядпЗЕП=1 ^сходится при вс^х X > 1.Ответ. Область сходимости ряда — (1,оо).ПРИМЕР2.
Найти область сходимости ряда^ п З ( ж 2 - 4 ж +7)^'тг=1^^РЕШЕНИЕ.1. Для того чтобы применить признак Даламбера, находим д{х)по формулеЛП+1. ,уl/n+il,.(п + 1)3|а:2-4х + 7|"+14^(а;) = lim , ^ , = lim -^'—^—т^г•= т^:;zr •^^ ^ п-^оо 1/^1п->оо4^|а:2_ 4x4-7172^1x2 - 4х4-7|"'2. Так как по признаку Даламбера ряд сходится при ^ < 1 ирасходится при ^ > 1, находим интервал сходимости, решая неравенство Q{X) < 1:4\х^ - 4а: -Ь 7| "^ *Получаем х Е (—оо, 1) U (3, ос).3. Исследуем сходимость ряда в граничных точках:при X = 1 рядсх.п=1сходится (как обобщенный гармонический с р = 3 > 1);при X = 3 рядооЕЛп=1также сходится.Ответ. Область сходимости ряда — (—оо, 1] U [3, +оо).234Гл.
10. РядыУсловия ЗАДАЧ. Найти области сходимостирядов.ОООС^»,^on1 V—^^—2 V'^(-§/^1+1)'^+^'п=1 ^ ^ОО'^^^ п ( х 2 - 6 х + 10)"'п=1АZ ^ n^'+4x + 3'^п(ж2 - 5ж -f 9)" *ОООО^- i-jn^^-z + i-^"^.j^^- 2^п2(г2 + 3)"'п=1п=12^'сю^-^ (п + л/п)^ 'V"^onn=lП=1 ^^ОСn=lООфункциональных^~,* ^ ^ п(а;2 - 4а; + 8)" '/^__-|^п=1п=1\/^^Ответы. 1.(3,+оо). 2. ( - о о , 2 ) и ( 4 , + о о ) . 3. ( - о о , - 5 ) U (1, Н-оо).4. (-00,2) и (3, +оо).
5. (-00, - 2 ) U (2, +оо). 6. (-оо, -1] U [1, +оо).7. (3, +оо). 8. (-00,1) и (3, +оо). 9. (0,3). 10. (-оо, 0] U [2, +оо).10.10. Область сходимости степенного рядаНайти область сходимостиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.степенногорядаоо^Сп(ж-Жо)''п=1ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Если существуют пределыу\Сп\1lim |cn4-i|г илип->ооlimn_>ooVW'то можно найти радиус сходимости степенного ряда по формуле ДаламбераR=]lm-j^п-^оо |Cn-fl|(1)10.10. Область сходимости степенного ряда235или по формуле КошиR=^^—.Тогда интервал сходимости ряда есть —R<x(2)— xo < R.ЗАМЕЧАНИЕ. Формулы (1) и (2) применимы лишь тогда, когда всекоэффициенты степенного ряда с„ отличны от нуля. В противномслучае находим д{х) по одной из формулд{х) = lim % t i ^илив{х) = И т"^/iлM,где fni^) — общий член ряда (см.
задачу 10.9). По признакам Даламбера или Коши ряд сходится при ^ < 1 и расходится при ^ > 1. Следовательно, находим интервал сходимости, решая неравенство д{х) < 1.2. Исследуем поведение степенного ряда в граничных точках интервала сходимости ж = хо ± Я.Записываем ответ.ПРИМЕР1. Найти область сходимости рядаi.^<-')"П= 1РЕШЕНИЕ.1. В данном случае с„ =(n-fl)^ф О при всех п.
Поэтому можноприменить формулы (1) или (2) для радиуса сходимости степенногоряда.По формуле ДаламбераR=limn-^oo 2n + 1 /n-^oo Cn+12n + 3Следовательно, интервал сходимости определяется неравенствами- 1 < а : Ч - 1 < 1 и имеет вид (-2,0).2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости. В точке а: = — 2 степенной ряд принимает вид^П=12п + 1 ^ ^236Гл. 10. Рядыи в точке X = О степенной ряд принимает виду (lL±i)!(i)n.Z ^, 9ti2n 4+ 1l ^ 'n=lОба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому условию сходимости рядов:(п + 1)^""-"шт^^'^^^'Следовательно, в этих точках ряд расходится.Ответ. Область сходимости степенного ряда — (—2,0).ПРИМЕР2. Найти область сходимости рядаОС.РЕШЕНИЕ.1.
В данном случае с^ = О при всех нечетных п. Поэтому нельзяприменять формулы для радиуса сходимости степенного ряда.Используем признак Коши, для чего вычислимд{х) = lim Vl/nWI,Находим ^(х):е(х) = lim -J-±-{x-2y"= {х~ 2)\п->оо V '^ + JПо признаку Коши ряд сходится при ^ < 1 и расходится при^ > 1. Следовательно, интервал сходимости определяется неравенством {х — 2)^ < 1 и имеет вид (1,3).2.
Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости. В точке X = 1 рядСХ)п=1.10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием237сходится условно по признаку Лейбница.В точке X — 3 рядп=1расходится.Ответ. Область сходимости степенного ряда — [1,3).Условия ЗАДАЧ. Найти области сходимост^и степенных рядов.п=1п=13. Е^^.п=1^^ п=1Е^^ { х - 2)"^ ^ ( n + l)3^'n=l ^со'''^(х-3)^-1^ ^ (2пЗ + 3n)4^ •n=l ^у—^СХ)n=ln=l ^^'n~\ ^'2n+ln=l ^'Ответы. 1. (-7,11). 2. (2,4).
3. ( - 7 , - 3 ) . 4. [-2,1). 5. [-1,5).6. [1,5]. 7. [-4, - 2 ] . 8. [-5,1). 9. (-6, - 2 ] . 10. (-oo, +oo).10.11. Вычисление суммы рядапочленным интегрированиемПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти сумму функционального ряда видаЕи указать область сходимост^и ряда к этой сумме.238Гл.10. РядыП Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Находим область сходимости ряда.По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенствомI/WI < 1.Если f{x) = 1, ряд расходится. Если f{x) = —1, ряд сходится условно(по признаку Лейбница).
Следовательно, область сходимости определяется неравенствами —1 < f{x) < 1.2. Делаем в исходном ряде замену f{x) = t, получим степеннойрядп=1с областью сходимости [—1,1).3. Известна формула для вычисления суммы членов бесконечноубывающей геометрической прогрессииоо^ Гп=к1^= ^ ,\t\<l.(2)4.
Кроме того, имеем очевидное равенствоп=кп—к5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрироватьна любом отрезке [0,t], целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (2), получаемоо,пrtоо^tкЗаметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t = — 1 ,то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа). Следовательно,5 ( - 1 ) = limS(t).6. Вычисляем интеграл, делаем замену t на f{x) и записываемответ: сумму ряда и область его сходимости.10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированиемЗАМЕЧАНИЕ.
ЕСЛИ239ряд имеет видЕ^^Jn + a)(n + b)'то применяем теорему о почленном интегрировании степенного рядадважды или разлагаем дробь на элементарные:[п-^ а)[п-\-Ь)\n-\-aп^-Ь)1Ь - а^и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.ПРИМЕР.Найти сумму рядаооE. л,sm Xпп=1И указать область сходимости ряда к этой сумме.РЕШЕНИЕ.1. Находим область сходимости ряда.По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством I sinx| < 1.В граничных точках при х = 7г/2 + 27тк ряд расходится, при х == 37г/2 -h 27г/с ряд сходится условно.Следовательно, данный ряд сходится при всех х ф т:/2 -^ 2'кк(А: = 0 , ± 1 , . . .
) .2. Сделаем замену sin ж = i. Получим геометрический ряд (1) собластью сходимости [—1,1).3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечноубывающей геометрической прогрессии-СХ)п=14. Кроме того, имеем очевидное равенствоооn=l^ооn=l.t/о240Гл. 10. Ряды5. Учитывал, что степенной ряд можно почленно интегрироватьна любом отрезке [0,t], целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (4), получаемУ2-=^^1 ^yZu'^-'du^Jo „^1^^—duУо 1 - ^= -\n{l-t),\t\<l.(5)Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t = —1,то его сумма непрерывна в этой точке (справа).
Следовательно, формула (5) справедлива при всех t G [—1,1).6. Заменяя t на sin ж, получаем при х ф -к 12 + 27г/сS{x) = — In (1 — sin х).Ответ. S{x) = - l n ( l - sinx),хф -KJI + 27гА;.У с л о в и я ЗАДАЧ. Найти суммы функциональных рядов и указатьобласти их сходимост^и к этим суммам.6"х"1.°°п+2V^^ п(гг4-1)*2п=13.п=1у ^ (1 - 16а;4)"оо4.п=05.^^^{п2"+ 1)х^--0onУ"^ п(п+1)х"'п=1'^УПХ"^ .п=1°°7.^оп-1^•п=1г)П„П+1-(_1)п^2п+1^2п + 110^J :^^' ^ ^п=1(-1)^-^Ж^^п(2п - 1)^Ответы.1. 5 = - 1 п ( 1 - б ж ) ,2. S={x-x'^)ln{l-x)'п=0'- ^ (-1)"4"х2"2п + 1 'ООж G [-1/6,1/6).+ x^, X G [ - 1 , 1 ] .^10.12.
Вычисление суммы рлда почленным дифференцированием4. 5 = - | l n ^ - ^ ,35. 5 = - — In2241а: G ( - 0 0 , - 3 ] и ( 3 , + о о ) .Xг—,х^xG ( - с ? о , - \ / 2 ) и ( \ / 2 , + о о ) .6. 5 = (1 - 2х) 1п(1 - 2х) + 2х,7. '5 = - ^ 1 ^ - у ^ + | '8. 5 = a r c t g a : ,ЖЕ [-1/2,1/2].хе(-оо,-3]и[3,4-оо).a:G[-l,l].9 . 5 = ^ ^ - 1.б[-1А1/2].10. 5 = 2a:arctga:-ln(H-a:2),ЖЕ[-1,1].10.12. Вычисление суммы рядапочленным дифференцированиемПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти сумму функционального ряда видаооn=fcи указать област,ь сходимости ряда к эт.ой сумме.ПЛАН РЕШЕНИЯ.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
