164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Перепишем исходное уравнение в видеЗх(2 -К у^) dx = 2у{х^ -h 3) dy.(2)Поскольку х^ + 3 > о и 2 -h 2/^ > о, разделяем переменные, т.е.представляем уравнение (2) в видеЗх ^2уdx — •——г dy.х2 + 32 -h 2/22. Вычислим интегралы в уравнении/^^^^/з^^^ИмеемоХ/х2 + 3,'^ т/ 2dx = -ln(x^4-3) + Ci,2254Гл.11. Дифференциальные уравненияJ.. ^ , „ , о22/2,,2 + 2/2Следовательно,32^1п(х2 + 3 ) - 1 п ( 2 4-2/2) + Со,где Со = С2 — Ci.3. Упростив это равенство, получим(2 + 3/2)Ответ. Интегральные кривые определяются уравнением(х2 + 3)3= С(2 + 2/2)при всевозможных значениях С.Условия ЗАДАЧ.
Найти интегральные кривые дифференциальных уравнений.1. ydx -\- {1 + х'^)(1у = 0.2. y' =3. у' у = -2х sec 2/.4. у' + sin(x + у) = sin(a: - у).5. у(1 + а:2)у' + 2:(1 + 2/2) = 0 .6. е"" dx - {1-^ еУ)ус[у = 0.7. 2/' = 2е^со8ж.8. у^ = у1пу.9. У = ^ .10. 2/' == -74=Т-1 + Ж^tgxtgy.Vx2 - 1Ответы.1. 1п|2/| + arctga: = С.2.sm?/cosx = C.3. ж^-f?/sini/ + cosy = С.4.
ln|tg(2//2)| 4-2sina: = С5. (а:2 + 1)(1 + у 2 ) - а6. 21п(1 + е ^ ) - у 2 = . а7. у = e^(cosx + sinx) + С.9. ?/ = 1п(1 + х2) + а8. 1п| In^/I - ж = С.10. 7/ = ln|a:-f \/ж2 - 1| + С.11.3. Однородные уравнения25511.3. Однородные уравненияПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
Найти интегральные кривые однородногодифференциального уравнения первого порядка, т.е. дифференциального уравнения видаP{x,y)dxгде Р{х,у) и Q{x,y)т.е. P{tx,ty)=t''p[x,y)+ Q{x,y)dy= 0,— однородные функции одинаковогои Q{tx,ty) =f'Qix^y).(1)порядка,П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Преобразуем уравнение (1) к виду»' = / ( ! ) .(!•)2. Делаем подстановку у{х) = х z{x), где z{x) — новая неизвестнаяфункция. Тогда у' = z -\- х z' и уравнение (1') приводится к видуdzТ.е. к уравнению с разделяющимися переменными.Заметим, что подстановку у{х) ~ xz{x) можно делать сразу вуравнении (1), не приводя его к виду (1').3. Разделяем переменные в области, где f{z) — z ^ 0:dzf{z)-zdxX4. Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными и делаем замену z{x) = у{х)/х.
Записываем ответ.ЗАМЕЧАНИЯ.1. Если Z =^ ZQ — корень уравнения f{z) — z = О, то решениемуравнения (1) будет также у = ZQX.2. Интегральные кривые однородного уравнения можно искать ив полярных координатах.ПРИМЕР.Найти интегральные кривые дифференциального уравнения,х^ + 2ху — 5у'^2х'^ — Qxy256Гл. 11. Дифференциальные уравненияРЕШЕНИЕ.1. Преобразуем заданное уравнение к виду14-2^-5&2-6(мы разделили числитель и знаменатель правой части заданного уравнения на ж^).2. Делаем подстановку у = xz{x)^ где z{x) — новая неизвестнаяфункция.
Тогда у' = z -{- xz' и уравнение приводится к виду,zx-^z1 + 22 - 5^2= —-—,2-62;т.е. к уравнению с разделяющимися переменными.В результате простых преобразований получаемdzdxX•=1 + z^2 - 6z3. Разделяем переменные {1 ~{- z^ ^ О и х у^ 0):2 - 6z ,dxaz = — .l-fz2X4. Интегрируя, получаем2arctg z - 31n(l -f z^) = In \x\ + C.Заменяя z на y/x., получаем2arctg ~ - 31n ( 1 4- ^ I - In \x\ = C.X\X^ JОтвет. Интегральные кривые определяются уравнениемXпри всевозможных значениях С.\Х\^11.4. Линейные уравнения l-zo порядка257Условия ЗАДАЧ. Найти интегральные кривые дифференциальных уравнений.XX4. X cos — dy -\- (х - у cos —) dx = 0.X\5.
(ж^ -f 2ху) dx -\- ху dy = 0.X/6. xy'ln f — j =ж 4-2/1п ( — 1 .7. 2/б^а: + ( 2 у ^ — ж)б?г/= 0.8. {Ау'^+х'^)у' = XT/.9.xi/'sin f-• j-bx = ysin f - j .10. xy + y^ = (2^2 + Ж2/) y'.Ответы.1. e-y/^+ln|a:| = a2. же^^/^^С.3. e^/y + lnlxl = a4. I n l x l + s i n ^= aX5. 1п|ж + 2/| + — ^ = C6. I n x - ^ f l n ^ - l )7. у | + 1пы = а8. 1 п ы ^ ^ + а= a11.4. Линейные уравнения 1-го порядкаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Решить задачу Коши для уравненияу'Л-р{х)у = q{x)(1)с начальным условиему{хо) = 2/0.(1')П Л А Н РЕШЕНИЯ.1-й с п о с о б .1.
Запишем соответствующее однородное линейное уравнение:у'+р{х)у= 0.(2)258Гл. 11. Дифференциальные уравнениеЭто уравнение с разделяющимися переменными.2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решениеоднородного уравнения (2)у = С ехрLlpix)dx\.(3)3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:а) ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (3), считаяС неизвестной функцией ж, т.е. полагая С = С{х)\б) подставляем в уравнение (1) у и у'^ определяемые из соотношения (3), где С = С{х). Из полученного дифференциального уравненияопределяем функцию С{х).4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1)получаем в видеу — С[х) ехр {— 1 р{х) dx >.(3')Здесь С{х) содержит произвольную постоянную Со.5.
Используя начальные условия (1'), находим значение Со и получаем решение поставленной задачи Коши.Записываем ответ в виде у — ^{х).2-й способ.1. Ищем решение уравнения (1) в видеу = u{x)v{x),где и 11 V — неизвестные функции х.2. Уравнение (1) принимает видu'v -Ь uv' + p{x)uv = q{x).(4)(5)3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одноуравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужаломножество решений у.Пусть одна из функций (например, и{х)) удовлетворяет уравнениюи'-\-р{х)и = 0.(6)11.4.
Линейные уравнения 1-го порядка259Тогда уравнение (5) примет видv'u = q[x).(7)Решая уравнение (6) (с разделяющимися переменными), находим li, неравное тождественно нулю, чтобы не сужать множество решений у.4. Подставляем и[х) в уравнение (7) и решаем его относительно v.5. Записываем общее решение уравнения в виде у{х) = u{x)v{x).6.
Используя начальные условия (1'), получаем решение поставленной задачи Коши.Записываем ответ в виде у — (f{x).ПРИМЕР.Найти решение задачи Коши для уравненияХ^Xс начальным условием2/(1)-1.РЕШЕНИЕ.1-й с п о с о б .1. Записываем соответствующее однородное линейное уравнение:2/' - ~ 2/ = 0.XЭто уравнение с разделяющимися переменными.2. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решениеоднородного уравненияу = Сх.3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:а) ищем решение неоднородного уравнения (8) в видеу^С{х)х,где С{х) — неизвестная функция х\б) подставляя в уравнение (8)у = С{х)хиу' = С\х)х+ С{х),260Гл.
11. Дифференциальные уравненияполучаем дифференциальное уравнение относительно С{х)С\х)х = - ^ ,х^Это уравнение с разделяющимися переменными.Разделяя переменныеdC = — г ^'^х-^и интегрируя, получаемС(х) = ^ + Со,где Со — произвольная постоянная.4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (8)имеет вид5. Используя начальное условие у{1) = 1, получаемнаходим Со = О и подставляем в общее решение (9).Ответ, у = 1/х.2-й способ.1. Ищем решение уравнения (8) в видеу=u{x)v{x),где и и V — неизвестные функции х.2.
Уравнение (8) принимает вид1u'v + uv'UV =X2Г-.(10)Х^3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одноуравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужаломножество решений у.11.4. Линейные уравнения l-zo порядка261Пусть одна из функций (например, и{х)) удовлетворяет уравнениюи' -^и = 0.(11)XТогда уравнение (10) принимает видv'u^-\.х^(12)Решая уравнение (11) (с разделяющимися переменными), находими{х) — Ах,где А — произвольная постоянная {А ф О, чтобы не сужать множество решений).4. Подставляем и{х) в уравнение (12) и решаем его относительно v\,_Jl__ JL_Ах^Ах'^'где В — произвольная постоянная.5.
Записываем обш;ее решение уравнения (8) в видеу{х) — u{x)v{x) = —h Сж,Xгде С = АВ — произвольная постоянная.6. Используя начальное условие у{1) = 1, находим С = 0.Ответ, у = 1/х.Условия ЗАДАЧ. Найти решения задач Коти для дифференциальных уравнений.1.Х2/' + у - е ^ = 0 ,2/(0) = 1.2.y'-ytgx=2/(0)=0.3.о2у' cos^x^-y,cos ж= igx,у(0)=0.262Гл. 11. Дифференциальные4.у' -ytYix— Q}O? X,5.у16.у' smx — 2/C0SX = 1,у ф = о.7.у' — ytgx = cos ж,У(0)=0.8.у' - 2ху = 3x2 _ 2^.4^у(0)=0.9.ху' — 2у = 2ж'*,у(1)=0.10.
у' + у cos а; = е^^'^^,у(0)-0.уравненияу(0)=0.У1—= х\пх,хтх2/(е) = у .Ответы.3.у — e~*Sa: _|_ tgX - 1.4.а;cos а;'2/ = ch X sh х.5.у — -—- In X.^2(Xsin 2х \1'^^ V2 "^ 4 j cosx'у~х^х^.6.2/ = - cos X.8.у = х^1.е^-12.X7.9.у =10. у = а;е-^'"^.11.5. Уравнение БернуллиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти решение задачи Коши для уравнения Бернуллиy' + 9{x)y = f{x)y^(а ^ 0 , 1 )(1)С начальным условиемУ{х^) = 2/0.(1')ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. С помощью подстановкиургшнение приводится к линейномуz'+p{x)z= q{x),(2)11.5. Уравнение Бернулли263где р = {1 - а)д и q = {1 - a)f.2.
Решаем линейное уравнение (2) и делаем замену z = у^~^.3. Используя начальное условие (1'), находим решение поставленной задачи Коши.Записываем ответ в виде у = (f{x).ЗАМЕЧАНИЕ. При решения уравнения Бернулли можно не приводить его к линейному, а искать решение в виде у = u{x)v{x) илиприменять метод вариации произвольной постоянной.ПРИМЕР.Найти решение задачи Кошиху' -\-у = ху'^(3)с начальным условием2/(1) = 1.РЕШЕНИЕ.Преобразовав уравнение к видуf1У +-у=X2у,убеждаемся, что это уравнение Бернулли с а = 2.1. С помощью подстановкиуравнение (3) приводится к линейномуz'--z= -l.(4)X2. Решаем уравнение (4) методом вариации произвольной постоянной:а) решаем однородное уравнениеz' - - z = 0,Xполучаем z = Сх\б) ищем решение неоднородного уравнения в видеС{х)х\264Гл.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
