164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 32
Текст из файла (страница 32)
12. Кратные интегралы298miy-}-kix>0(ml + kl^O),шгу +/сгх > О {ml +kl^O).ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Область D задана неравенствами в декартовой системе координат, т.е.^1 -D=< {х^у)-^9. ^L962miy +-^2?kix>0,1^2У + к2Х > О2. Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать вобобщенных полярных координатахX = ад cos ip,у = bg sin (р.При этом {д,(р) G -D', а искомый интеграл определяется формулой/ / f{x,y)dxdy=D/ / f {ад cos (p,bg sin (p)abgdg dip.D'3. Чтобы найти область D', заменяем в неравенствах, определяющих область Z), х на ад cos (р и у из.
bgsimp. Затем разрешаем полученные неравенства относительно д и ip. Таким образом, получаем4. Переходим от двойного интеграла к повторному:/ / f{x^y)dxdy= abd(pf{адcos(р,bgsimp)gdg'^Clи последовательно интегрируем, используя свойства определенногоинтеграла.Записываем ответ.ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл/ /D— dx dy,уЬ12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах299где область D задана неравенствами1<^+2/^<3,2/>~,^>0.РЕШЕНИЕ.1.
Область D задана неравенствами в декартовой системе координат:D>,2. Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать вобобщенных полярных координатах{X = 4^cos(^,у = gsiiiip.При этом {д, if) £ D', 3. искомый интеграл определяется формулой3. Чтобы найти область D\ заменяем в неравенствах, определяющих область D, X на ад cos v? и у на Ьд sin ip:16^^ cos^ (f-f- g^ sin^ v^ < 3,16^ igcosifgsm(p >, g cos (^ > 0КРешая эти неравенства относительно д и ip, получаемD' ={{g,^):1 < ^ < \/3,]7г/4 < (^ < 7г/24.
Переходя от двойного интеграла к повторному и последовательно интегрируя, получаем7г/2llfsd^dy=ll4gcos(p^^.^5^^ sm (fD'^^ ^^"^Уз^ j d^jm-'.'^de =sm (^7г/4Гл. 12. Кратные интегралы300=16 JТ siTTif^ J f\-^d,=16 \ ism( - (pj')7Г/4/yO/7Г/4= 4.2g'1Ответ•Vs7Г/2dxdy =^ 4.DУсловия ЗАДАЧ. Вычислить двойные интегралы.1. 11 " dxdy^XVD =l < y +^<2, уD =l<-^2x\>0, y<-]D2./ / ~ dxdy,XЗжу+j < i ,x>0,y > -D' /* XX3.// —— dxdy,dxdy,JJ УУDD =4./ / '^-^x^ydxdy,D =l < ^ + ^<4,D5./ / — dxdy,JJ УVXx>0,D =1 < ^ + у < 1 , х>а,1 < ^ + 7т<5, x>0,4lbD =l<-9- + ^ < 5 , x>0,D1< —+у2<25, x>0,y>-).y>0y>2xD411dxdy,dxdy^X^7у22xDI. Il^dxdy,D =l<x^+ Y g < 9 , 2/>0,y>-3-^y>1}y<ix).D?. Il^dxdy,9xJ dx dy^D =l < ^ + y ' < 4 ,Da;22/>0,V^1 < ^ + Y<36, x>0,2/<|Зжy>yОтветы.
1. / = ln2.2. / = 31n2.3. / = 121n2.4. / = 6.5. J = 41n2. 6. J = 91n2.7. / = 21n5. 8. J = 81n3. 9. J = ln2.10. J = 21n6.12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла30112.5. Вычисление объемовс помощью двойного интегралаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти объем тела^ ограниченного поверхностямиgi{x,y)=0(г = 1,2,...), z = fi{x,y),z = /2{х,у){f2{x,y) >fi{x,y)).П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Объем цилиндрического бруса, ограниченного заданными поверхностями, определяется формулойV = ЦШх.у)- fi{x,y)]dxdy,(1)Dгде D — проекция тела на плоскость XOY.2.
Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исключаем из них Z.Допустим, например, что координаты точек тела удовлетворяютнеравенствам О < г < f{x,y),gi{x^y) > О и д2{х,у) ^ 0. Тогда телоопределяется системой неравенствgi{x,y) > 0 ,д2{х,у) < о ,0<z<f{x,y).Исключая Z, получим{{х,у):gi{x,y) > 0 ,Р2(ж,у)<0,0<f{x,y)3.
Вычисляем двойной интеграл по формуле (1) при /2 = /(а:,у) и/1=0.Записываем ответ, не забывая о размерности.ПРИМЕР1.Найти объем тела, ограниченного поверхностямиж= 17у^,x = 2v^,z = l/2-y,z = 0.302Гл. 12. Кратные интегралыРЕШЕНИЕ.1. По формуле (1) с /2 = 1/2 — у и Д = О искомый объем равен^ = 11 {\-у) ^^^^'Dгде D — проекция тела на плоскость XOY.2. Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исключаем из них Z. В данном случае тело определяется системой неравенств( X < 17v^,а:>2^2^,0<z<l/2-yПоэтомуг2у/Т^<х<х<D=yx,y):17V2y,о < 1 / 2-- У, у > оЗдесь неравенство у > О необходимо, так как у стоит под знакомквадратного корня.3. Вычисляем двойной интеграл:V =i--y]dxdy=Ddy0/(-^-yjdx=2v^1/2= 1 5 4 / 2 | Q - 2 / ) v ^ d y = l.0Ответ.
У = 1 ед. объема.ПРИМЕР2. Найти объем тела, ограниченного поверхностямиж2-Ь2/^ + 2х = 0,z = — -y'^,z = 0.РЕШЕНИЕ.1. По формуле (1) с /2 = 25/4 - у^ и / i = О искомый объем равенV=Dll(^-y'-0^dxdy,12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла303где D — проекция тела на плоскость XOY.2. Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исключаем из них Z. В данном случае тело определяется неравенствамиГ (^+1)2+^2 <1^\0<z<25/4 - 2/2Из первого неравенства очевидно, что \у\ < 1 и, следовательно, второенеравенство выполняется автоматически (геометрически это означает, что проекция поверхности z — 25/4 — у^ на плоскость XOYохватывает круг (х-|-1)2 + 2/2<1).
ПоэтомуD = {{x,y):(х + 1)2 + 2 / ' < 1 } .3. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатахX = Q c o s (/?,\ уУ== gsimp.При этом (^, ip) е D'^ а. искомый объем определяется формулойV = / / [-г-У^]dxdy=/ / ( — - ^^sin^v?! gdtpdg.D'D4.
Чтобы найти область D'^ заменяем в неравенстве, определяющем область D, X на gcoscp и у ка. gsimp:{gcos(p + 1)2 4- д^зт"^ (р < 1.Получаемг,,j f^0<Q<-2cosip,\Заметим, что из неравенств О < ^ < —2 cos (р следует 7г/2 < (р < 37г/2.5. Переходим от двойного интеграла к повторному:37г/2V = / / ( —— ^^sin^ (p\gdgd(p=D'-2COSV3/ d(p7Г/2/0f —— g^ sin^ (p\ gdg.304Гл. 12. Кратные интегралыПоследовательно интегрируя, получаем37г/2- 2 cosy?7г/237Г/2//9.^л2л4.M-2COSV.7г/237Г/2=/( — • cos^ (^ — 4 cos"* (^ sin^ (р\ dip = бтг.7г/2Ответ.
У = бтг ед. объема.У с л о в и я ЗАДАЧ. Найти объемы тел, ограниченных заданнымиповерхностями.12.3.4.ж = у^,у = у/х,у = у/х,у = х^,X = 2уД,z = l-y,Z = 0.у = 2i/x,Z = 6 - X,Z = 0.2/ = О, х = 1,2; = х 4 - у 4 - 1 , г = 0.У = 1,2; = x2-hy^,z = 0.5.t/ = б - Зх/2,6.7.8.9.10.х2 + 2/^=4,z = xy,z=0у= y/xj2,2/ = 02г = 4 - х - 2 2 / ,х2 + у ^ - 4 2 / = 0,z = 4-x2,х2 + у 2 - 2 х = 0,z = x24-y^,х^ + у2 - 2х = О,Z = 2х,2/ = 6 - З х ,г/ = 0,z = 6-x-2/,2; = 0.(х>0, у>0).2 = 0.z = 0.z = 0.2: = 4х.Ответы.
1. У = 4/15. 2. V = 48\/б/5. 3. У = 79/60. 4. V = 40/3.5. У = 12. б. У = 4.7. У = 17/5. S. V = Птг. 9. V = 37г/2.10. V = 27Г.12.6. Вычисление площадейв декартовых координатахПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти площадь области D, ограниченнойлиниями / i ( x , у) = О, /2(2^,2/) = О (и, возможно, прямыми X — а их = b или у = с иу = d).12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах305П Л А Н РЕШЕНИЯ.Из определения двойного интеграла следует, что искомая площадь5 численно равнаIJl-dxdy.(1)D1.
Зададим область D неравенствами. Для этого выясним, какиеиз неравенствfi{x,y)<0,fi{x,y)>0,f2{x,y)<0или /2(ж,2/)>0выполняются для координат точек области D.Пусть, например, такими неравенствами оказались fi{x,y)f2{x,y)<0.ТогдаРешаем неравенства, определяющие Z), относительно хиу.а < X <Ь,D=l{x,ПолучаемIyi{x) < у < У2{х)D=Uxy)'\< О и'^ ^ ^ ^ ^'* xi{y) <х<IХ2{у) J *2. Переходим от двойного интеграла к повторному:2/2 (ж)bdxdy =Ddxили/^dxdy =D..dyсdy2/1 (x)a/dx.xi{y)3.
Последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.Записываем ответ, не забывая о размерности.ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ необходимо, разбиваем область на части и используем свойство аддитивности интеграла.306Гл. 12. Кратные интегралыПРИМЕР.Найти площадь области D, ограниченной линиямих^ + у^ = 12,ж\/б = 2/2(а:>0).РЕШЕНИЕ.1.
Зададим область D неравенствами. Область не может находиться вне круга, так как тогда она неограничена. Область не можетнаходиться слева от параболы, так как в этом случае ее точки могутиметь отрицательные абсциссы, что исключено условием х > 0. Следовательно,Решаем неравенства, определяющие Z>, относительно хпу.Получаем0.2^< X < ч/12 - у2.Следовательно, y'^/V^ < y/l2 — y^. Отсюда ~\/б <у<D=<(х,2/):-у/Е < 2/ < \/б,2/VV6 <х<\/б. Итак,1х/12 - у22.
Вычисляем площадь области D по формуле (1). Переходя отдвойного интеграла к повторному, получим^S =dxdy =^А/12-2/2dy-V6/da:.yVVe3. Используя свойства определенного интеграла, последовательноинтегрируем:S=f dyfdx=f( ^ х / Т г " ^ - - ^ " ) dy = 37r + 2.Ответ. 5 = (Зтг -h 2) (ед. длины)^.12.7. Вычисление площадей в полярных координатах307Условия ЗАДАЧ.
Найти площади фигур, ограниченных заданными линиями.1.2/ = 2/а;, у = ^е", у = 2, у = А.2.у = 1/х,3.у = 2/ж, у = 2^/x,4.х2 4-2/2 = 2, у = -х'^ (2/<0).5.2/ = >/ж, 2/ = О, ж = 4.6.X = 2 — 2/^, X = —у.7.2/ = sinx, y = cosx, ж = О, ж = 7г/4.8.2/ = 2а:^ - 1, у = ж.9.х =А/42/ = 2е^, у = 1, у = 2.ж = 4.- 2/2, ж = 2/V3.10. 2/ = In а:, у = е/х,х = 1.Ответы. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
