164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Зададим область О.' неравенствами. Для этого сначала заменим в уравнениях поверхностей х на д cos ip и у на. gsiiKp. Тогда ft'определяется неравенствами gi{g^)<z<д2{д^) или g2{g^)^z<gi{g'^).Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнениеgi{g^) = д2{д^) относительно д. Если оно имеет два решения gi ид2 (О < ^1 < ^2)7 то исследуем, какал из функций gi{g^) или д2{д^)больше другой на промежутке ^i < ^ < ^2- Предположим для определенности, что gi{g^) < д2{д^) при ^i < ^ < ^2- Тогда область О!определяется системой неравенств{{g,(p,z):gi< д< Р2,gi{g'')<z<g2{g^),о < if <27гЕсли уравнение д\[д^) = д2{д^) имеет единственное положительноерешение ^ = ^2? то неравенства для д имеют вид О < ^ < ^2-12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах3193. Переходим от тройного интеграла к повторному:/ / / f{^^ У) z)dxdydz= / / / fio cos (^, д sin (р, z) д dg d(f dz =27ГQ2dip092{Q)gdgQi/ f {g cos (f, g sin (p^z) dz,giig)И последовательно интегрируем, используя свойства определенногоинтеграла.Записываем ответ.П Р И М Е Р .
ВЫЧИСЛИТЬтройной интегралdx dy dz,х^ + У^JJJгде область Vt ограничена поверхностями9 г^г—^z= -у/^Л^,Иz= —-x^-yРЕШЕНИЕ.1. Поскольку Q — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно перейтик цилиндрическим координатамX = д cos (р,у = gsinip,Z =Z.При этом (g^ip^z) G П', а искомый интеграл определяется формулой/ / / ~~22^^^У^'^~ / / / ^^^'^ ^ Qdgdipdz.2. Зададим область П' неравенствами. Для этого сначала заменимв уравнениях поверхностей х на gcosip и у на gsiinp.
Тогда ft' определяется неравенствами 9д/2 < Z < 11/2 —д'^ или 11/2 —д^" < z < 9д/2.Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение9112320Гл. 12. Кратные интегралыЭто уравнение имеет единственное положительное решение ^ = 1.Следовательно, О < ^ < 1.
При О < ^ < 19 ^ И2Таким образом, область П' определяется системой неравенств:0 < ^ < 1,9/2д <z< 11/2 - ^2,О < v^ < 27Г3. Переходим от тройного интеграла к повторному:0^ C O S ^ </ / / ^T";—^dxdydz= / / / —;, о . 2QdgdifdzQ^cos2cos"^(p(f++ g^Q^sm"^sin^(p(^J J J x^ -\-y^J J J g^n27Г1/ cos^ if d(f011/2-^=^gdg0/dz.9Q/2Последовательно интегрируя, получаем27Г1/ cos^ (fd(p0Ответ.11/2-^2gdg0/1dz = тт09Q/2/ / / —zI—-dxdydz= тг.Условия ЗАДАЧ. Вычислить тройной ипт^еграл по областей fi,ограниченной заданными поверхностлми.1.-j^—^dxdydz,ж2 + 2/^ + 4а: = 0, 2; = 8 - у^, г = 0.2. I I f-^^^^-^dxdydz,ж2 + ?/2-42/ = 0, z = 6 - a : 2 , 2=^0.12.11. Тройной интеграл в сферических координатах41Idxdydzj321х^ + 2/^ - 4у = О, 2: = 4 - ж^, z = 0.V^^ + у^п4.—=^===dxdydz,ж ^ + у 2 - 4 х = О, Z = 10-2/^, Z = 0.5. / //-^—^dxdydz,ж^ + у^ - 4 ж = 0, z = 12 - у^, z = 0.^- / / / "^Z - i/36 - ж2 - 2/2, z =^dxdydz,442Ответы.
1. -—7г. 2. 10-7Г.333196. 42-7Г. 7. —7г. 8. 0. 9. 0.496323. 32—.3510. 0.ж^ + у^324. 96—.3512.11. Тройной интегралв сферических координатахПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить тройной интеграл1 \ 1f{x,y,z)dxdydz,о.где область ft ограничена поверхностямиx^ + y^ + z^^R\z = ± i / ' ' ' + ^"25. 22-7г.3322Гл. 12. Кратные интегралыП Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Поскольку П ограничена сферой и круглым конусом, удобноперейти к сферическим координатамX = ^cos</?sin6,у = gsm(psm9,Z = QCOSO.Возможные границы изменения сферических координат суть0<^<ОО,0<^<7Г,0<<^<27Г.При этом (^, 0, у?) G П', а искомый интеграл определяется формулойIII-f{x,y^z)dxdydz-III=f{g cos ip sin 9, g sin ip sin в, g cos в) g sin в dg dO d(p.2.
Заменяем в уравнениях поверхностей х на ^ cos (^ sin в, у на^sin if sine и Z КЗ. дcos ^. Получаемg = R,tge = ±\a\.3. Зададим область Q' с помощью системы неравенств:0<g<R,Oi<e< 02,О < (^ < 27Г,где границы изменения в находим, решая уравнение tg0 = ±|а| иучитывая, что в может изменяться только от О до тг.ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ О. ограничена также плоскостями у = kix иу = к2Х, проходящими через ось 0Z, уравнения которых в сферических координатах имеют вид tg(p = ki и tg(p = к2, находим границыизменения (р, решая эти уравнения.4. Переходим от тройного интеграла к повторному:/ / /пf{x,y,z)dxdydz=12.11.
Тройной интеграл в сферических координатах~323-^(^ ^^^ ^ ^^^ ^' ^ ^^^ ^ ^^^ ^' ^ ^^^ ^) ^^ ^^^ ^ ^^ ^^ ^^ ~=dip0smOdef{gcos(psme,gsm(fsine, QCOsO) Q^ dg,6/iи последовательно интегрируем, используя свойства определенногоинтеграла.Записываем ответ.ПРИМЕР.Вычислить тройной инт,егралГ.2j 1 ] ^^Г^^^'^У^^^2(?e область Г2 ограниченаповерхностями,2, 7,2РЕШЕНИЕ.1. Поскольку О. — область, ограниченная верхней полусферой иверхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатамX = дcos if sine,z = gcosO.При этом {д,в,(р) G Cl', a искомый интеграл определяется формулой/ / / ~^dxdydz=cos^ if д^ sin в dgd9d(f.2. Заменяем в уравнениях поверхностей х на ^cos(^sin^,^sin(/?sin^ и Z на gcosO.
Получаем^ = 6,tg6> = \ / 3 .3. Зададим область Q' с помощью системы неравенств:О < ^ < 6,П' = < {д,в,^):0<^<7г/3,0<(р<27г.\,у на324Гл. 12. Кратные интегралы4. Переходя от тройного интеграла к повторному и последовательно интегрируя, получаем/ / / ~22 ^^dydz—j I j cos^ (pQ^ sin в dg dO dip =27ГТГ/З6= / coscos^ (pdp(f dipdg = Збтг.XОтвет./ / / -22 ^^ ^^ ^^ ~ ^^^'nУсловия ЗАДАЧ. Вычислить тройной инт^еграл по области Q,ограниченной заданными поверхностлми.ГГГ2.х^-j—^dxdydz,^' J J J х^ + у^'^'''^^'^^'[х^+уz = >/Зб~^^^^"^2^^^, ^"^V63 *^ = ^16-^^-2/"' ^ = Yx^ + 2/^15ж^ + 2/^X^ + у2x2 +2/^nx2 +2/^12.12.
Вычисление объемов с помощью тройного интеграла' / / / \/а;2 + 2/2dx dy dz,z = y/SQ — ж^ — 2/2, z =Ответы. 1. 757Г/2. 2. бЗтг. 3. 0.^. 0. 9. 0. 10. 0.4. 0.5. 0.325x^ -\r 2/26. 27г. 7. бтг.12.12. Вычисление объемовс помощью тройного интегралаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.даннымиНайти объем тела П, ограниченного заповерхностлми.ПЛАН РЕШЕНИЯ. ИСКОМЫЙобъем равенV= fffl-dxdydz.(1)п1. Зададим область Q неравенствами.2. Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.ПРИМЕР1.
Найти объем тела П, ограниченного поверхностямиж = 1772^,x = 2v^,z = ~ - 2 / , z = 0.РЕШЕНИЕ.1. Зададим область О. неравенствами. Поскольку 17у/2у > 2>/2у,для X имеем неравенства 2у/2у < х < 17\/2у. Поскольку у фигурируетпод знаком квадратного корня, у > 0. Для z возможны неравенстваО < г < 1/2 - 2/ или l/2-y<z <0. В первом случае О < у < 1/2. Вовтором случае у > 1/2, т.е. область неограничена, что неприемлемо.Гл. 12. Кратные интегралы326Итак,П = I (х,г/,2):0<2/<1/2,О < Z < 1/2 - г/\,2. Вычисляем объем по формуле (1), сводя тройной интеграл кповторному:V = / / / 1 • dx dy dz =dy/dx/dz = 1.Ответ. У = 1 ед.
объема.Пример 2. Найти объем тела f2, ограниченного поверхностями11z = -Vx^^^,z=—-x^-y'^.РЕШЕНИЕ.1. Поскольку П — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно использовать цилиндрические координатыX = Q cos V?,у = Qsinip,Z =Z.При этом {g^ip^z) G J1', а искомый объем определяется формулойV= f f f gdgdifdz,(2)где область Cl' ограничена поверхностями911о2. Зададим область О. неравенствами. Возможны два случая: либо9д/2 <z< 11/2-д'^, либо 11/2-^^ <z< 9д/2. В первом случае ^ < 1,во втором случае ^ > 1, т.е.
область неограничена, что неприемлемо.Итак,0< ^ < 1 ,^'=1(Q.^.Z):9g/2<z<ll/2-g\О < v? < 27Г12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла3273. Вычисляем объем по формуле (2), сводя тройной интеграл кповторному:27ГV =1d(fо11/2-е^gdgо/dz = 27г.9^/2Ответ. У = 27Г ед. объема.ПРИМЕР3. Найти объем тела П, ограниченного поверхностямих'^ + у2Узб" ^УРЕШЕНИЕ.1. Поскольку Г2 — область, ограниченная верхней полусферой иверхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатамX = gcosipsmO^у = gsijupsmOyZ — gcosO.При этом {д,в,(р) G Г2', а искомый объем определяется формулойV=I I I д'^sinedgdedip.(3)Заменяем в уравнениях поверхностей хиз.
д cos (р sin ^, у яа. д sin (р sin ви 2 на дсозв. После преобразований получаем^ = 6,tg(9 = \ / 3 .Область П' ограничена этими поверхностями.2. Зададим область Q' системой неравенствП' = < {д,в,^):О < ^ < б,^0<е<7г/3,>.О < (^ < 27Г3. Вычисляем объем по формуле (3), сводя тройной интеграл кповторному:27Г7Г/36V = I dф 1 sinOdO I g'^dg = 12тт.оо328Гл. 12. Кратные интегралыОтвет.
V = 727Г ед. объема.Условия задач. Найти объемы тел, ограниченныхповерхностлми1.х = 2у/у,х = у/у,г = 0,z =2.2/ = 2 у ^ ,2/ = \ / ^ ,2 = 0,z = 1 — X.3.х^^у^=5,у = 2у/х,z = 0,z = 2x.4.х'^ + у'^ -2х= 0,z = 0,z = 4-2/^.5.х^ + у^-2у= 0,z = 0,2 = 4-х2.6. z = V4 - a;2 - у2,z = ^3(х2 + y^).7. z = V ' 9 ^ ^ ^ 2 ^ ^ ,2 = 0,S. z=y/9-x 2 _„29. z = y/A - x'^ - 2/2,10. z = ж^ + у2,l-~y.x2+2/2 = 1 (x2 + 2 / 2 < l ) ./x2 + у2z - \/3•Ix^ + y^24 •z — у\l2 = л/ж^ + 2/2.Ответы. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
