164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 31
Текст из файла (страница 31)
у = e^ + - .Г л а в а 12КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫПри изучении темы КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вы научитесь записывать области (на плоскости и в пространстве) с помощью неравенств в декартовых, полярных, цилиндрических и сферических координатах, расставлять пределы интегрирования и сводить кратныеинтегралы к повторным. Вы научитесь также решать задачи геометрии и механики с использованием двойных и тройных интегралов(в декартовых, полярных, обобщенных полярных, цилиндрических исферических координатах).С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете решить неравенства, вычислить полученные повторные интегралы, выполнить всечисленные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.12.1.
Изменение порядка интегрированияПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.bI =Изменить порядокХ2(у)dyad/ f{x,y)dx+xi{y)х^{у)dyсинтегрирования/f{x,y)dx.хз(у)П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Область интегрирования состоит из двух областей Di и JD2.Зададим их неравенствамип—/г^^^2/^^?f/\С ^ У ^ dj1\286Гл. 12. Кратные интегралы2. Решаем системы неравенств, определяющих области Di и D25относительно у и получаему\^Чх) < у < у^^\х),у[^\х) <у<2/f (:г).3. Определяем границы изменения а:, решая неравенстваy['\x)<yi'\x),yf\x)<yf(x).Получаем h < х < mi VL I2 < х < т2.4.
Области D\ и D2 можно представить в видеп\f\h<x<mi,\^^ = [^-^У)-- у^^\х)<у<у^^\х)]^5. Записываем интегралы / с измененным порядком интегрирования:miI =У2^Чх)dx^^/тгf{x,y)dy+У^^Ч^)dxу['Чх)'-f{x,y)dy.yfHx)6. Если /i = /2 = /, mi = 7712 = m и У2 (^) == У1 (^) ^^^2/2 (^) ~ 2/1 (^)? TO J можно представить одним интеграломI - 1 dx/f{x,y)dyилиI =dx/f{x,y)dy.Записываем ответ.ПРИМЕР.Изменить порядокI ='dy/ ( х , y)dx-^интегрированияdy//(ж, 2/) с^ж.12.1.
Изменение порядка интегрирования287РЕШЕНИЕ.1. Область интегрирования состоит из двух областей Di и 1)2.Зададим их неравенствами2. Решаем системы неравенств, определяюш;их области Di и D2,относительно у и получаема^^<У<1,1 < У < \/2-а:2.3. Определяем границы изменения ж, решая неравенства^2 < 1,1 < \/2-ж2.Учитывая, что х > О, в обоих случаях получаем О < х < 1.4. Области Di и £)2 можно представить в виде5. Записываем интегралы I с измененным порядком интегрирования:1I =11dxоf{x,y)dy-\-л/2^^^dxx20f{x,y)dy.16. Пользуясь линейностью и аддитивностью интегралов, получаем11=(1dxl>/2-х2f{x,y)dy+yj JL —1Ответ. I =dx//"jf{x,y)dyX"f{x,y)dy/(x,?/)(У =1\/2-х^dx/f{x,y)dy.288Гл. 12.
Кратные интегралыУсловия ЗАДАЧ. Изменить порядок1 2 = =1.2dx_3/f{x,y)dx+-3f{x,y)dx+-2//42v/3f{x,y)dy.00dxf{x,y)dy.1j ^yI01f{x,y)dx+\/r=^dy0/0e^e1-1I dx-2100-2-хf{x,y)dx.10If{x,y)dx.e/y/ ^2/ / /(a;,2/)dx+ / ^2/ /0f{x,y)dx.2-Жy/l-y^1/2000dy/ с/дг / f{x,y)dy-^1Vl2~a:22л/жf{x,y)dx.dxx/601-/-УЗ^З^f{x,y)dy-\-/ ^2/ / f{x,y)dx+8.01601f{x,y)dy.0dyv^e^dx0/32/ ^2/ /Veд/-у2_12уdy0010.Q0169.у2y36-t/2-67.41/ dy6.121/y5.f{x,y)dy.141/44.dx113.2/хf{x,y)dy-\-0интегрирования.f{x,y)dy+0dx-1f{x,y)dy.x312.2.
Двойной интеграл в декартовых координатах289Ответы.21-2/у4/ ^2/ /1f{x,y)dx.2.log2 У3\/33.1/f{x,y)dy.V^4.Myf{x,y)dx.8./01-x^/10.Inxf{x,y)dy.-v/rr^0f{x,y)dy.f{x,y)dy.yz:^/ dxe/xdx1dx12/2e1+vT-x^-12-y0f{x,y)dy.—4a;6./ ^2/ / f{x,y)dx.9.dx0j;2/^17./Зг-х^—4V12-1/20f{x,y)dy.1/x0-\/36-x25.dx-6+\/36-a:2dxV^^/ ^2/ /-1f{x,y)dx.-2-y12.2. Двойной интегралв декартовых координатахПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить двойной интеграл//f{x,y)dxdy,Dгде область D ограничена линиями /i(x,t/) = О, f2{x^y) = О (г/, возмооюно, прямыми X = а и х = b или у = с и у = d).П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Зададим область D неравенствами.
Для этого выясним, какимиз неравенствfi{x,y)<0,/ i ( x , 2 / ) > 0 , /2(х,2/)<0 илиудовлетворяют координаты точек области D.f2{x,y)>0290Гл. 12. Кратные интегралыПусть, например, такими неравенствами оказались fi{x,y)f2{x,y)<0.ТогдаРешаем неравенства, определяющие D, относительно хиу.D=\^{x,y):y^^^)llly^^^)< О иПолучаемIили2. Переходим от двойного интеграла к повторному:6/ / f{x,y)dxdy=DУ2(х)dxf{x,y)dyyi{x)aилиX2{y)d/ / f{x,y)dxdy=dyсDf[x,y)dx.XIЫ3.
Последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.Записываем ответ.ЗАМЕЧАНИЕ. Если необходимо, разбиваем облгьсть на части и используем свойство аддитивности интеграла.ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл//<Dгде область D ограничена линиями х = \^у=^х^иу=—^/x.РЕШЕНИЕ.1. Зададим область D неравенствами. Очевидно, что —^ < х^.Поэтому —у/х < у < х^. Поскольку X фигурирует под знаком квадратного корня, X > 0. Для X возможны неравенства О < х < 1 или1 < X.
Во втором случае область неограничена, что неприемлемо.12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах291Итак,D=<(х,2/):О-у/х2. Переходим от двойного интеграла к повторному:[[{БАх'^у^ + ISOx'^t/^) dxdy=1х^f dxf (54x^2/2 + ISOx^y'*) dy.0-v^3. Используя свойства определенного интеграла, последовательноинтегрируем сначала по у (считая х постоянной), затем по х:X"1f dxо[ {БАх^у^ + 150x^2/^) dy =-v^^3х^/* 54^2 / y^dy + 150ж^ / 2/^ dy dx =— у/х-I—у/хЬАх\—\/х\—y/xj1= f[18x^^ + 18x^/2 + 30a;^^ + ЗОж^^/^] dx = 11.оОтвет.[[{Ых'^у^ 4- 150x^2/^) dxdt/ = 11.Условия ЗАДАЧ. Вычислить двойные интегралы по областям J9,ограниченным заданными линиями.D2.I j {х — y)dxdy^у = 2 - х'^у у =2х-1.292Гл. 12. Кратные интегралы3.{ylnx)dxdy,у=-,У = Vx,х = 2.D4.{cos2x + sin у) dxdy,t / = - - — ж, у = 0^ х = 0.D5.sm{x-\-у) dxdy,6.—dxdy,у = х, 2/ = -^, ж = 0.у = -',у= х,х= 2.D7.{х'^ -{-y)dxdy,у = х^, У = у/х.{2х — y)dxdy,у = х^, У = х, х = 1, х = 2.D8.D10.x^y^^/l^-x^^-y^dxdy,Ответы.1.
/ = 1/10.4. / = (тг + 1 - 2л/2)/4.8. / = 9/10.9 . 7 = 7г/б.? / = \ / l —х^, 2/= О, х = 0.2. J = 64/15.3. / = 5(21п2 - 1)/8.5. / = 1. 6. / = 9/4.7. 7 = 33/140.10. 7 = 4/135.12•З. Двойной интегралв полярных координатахПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить двойной интеграл//f{x,y)dxdy,Dгде область D ограничена двумя окруэюностлмиУ^ 4- сцу 4- bix + х^ = О,2/^ + а2У -f 62Х -f х^ = О12.3.
Двойной интеграл в полярных координатах(ai = 0 , а2 = О, 6162 > Оили2936i = 0 , 62 = О? <^ict2 > 0)и двумя прямымитпгу 4- kix = О, (ш^ -\- kl ф 0),т22/ + А^г^: = О, {ml -\-к\ф 0).П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Зададим область D неравенствами в декартовой системе координат.Для этого заметим, что окружности у"^ + аху -\- bix -\- х^ = О иу^ -f 022/ + ^23: + ж^ = 0 проходят через начало координат и их центрырасположены на оси ОХ (при ai = О, а2 = 0) или на оси 0Y (приbi = О, 62 = 0) по одну сторону от начала координат (так как 61^2 > Оили aia2 > 0). Поэтому та из окружностей, которая имеет меньшийрадиус, расположена внутри другой. Пусть, например, это окружность 2/^ Н- ^12/ + bix + х^ = 0 .
Область D находится между окружностями, поэтому координаты точек области D удовлетворяют неравенствамУ^ -h aiy + bix + ж^ > О,2/^ + а2У + Ь2Х + ж^ < 0.Прямые miy + kix = О и т2у + к2Х = О проходят через началокоординат. Область D расположена между ними. Учитывая, в какой полуплоскости находятся окружности и, следовательно, областьD, определяем, каким из следующих пар неравенств удовлетворяюткоординаты точек области D:чт^гУ + kix > О,77122/ + ^2Х > О,ТП1У + kix < О,77122/ + ^2Х > о,^12/ "Ь ^1^^ ^ О?^22/ + ^2^ < О,^12/ + ^ 1 ^ ^ О?^^22/ + ^2^^ ^ 0.2. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатах( X = Q cos (/?,\ у = gsiiKf.При этом (^, if) е D\ г.
искомый интеграл определяется формулой/ / f{x,y)dxdy=/ / f {д cos (р,д sin (f)gdg dip.294Гл. 12. Кратные интегралы3. Чтобы найти область £)', заменяем в неравенствах, определяющих область D, X на gcosf и t/ на gsiinp. Затем разрешаемполученные неравенства относительно ди ^р. Таким обргизом получим4. Переходим от двойного интеграла к повторному:S =d(p /f {д cos (f у д sin (f) gdgИ последовательно интегрируем, используя свойства определенногоинтеграла.Записываем ответ.П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬдвойной интегралII-X dx dy^Dгде область D ограничена линиями2/^ - 4г/ + а;2 = О,у^ - Зт/ + х^ = О,у = x/Vs,х = 0.РЕШЕНИЕ.1. Зададим область D неравенствами в декартовой системе координат.
Для этого заметим, что, выделяя полные квадраты в уравнениях окружностей 2/^ — 4^/ + ж^ = О и у^ — Sy -\- х^ = О, их можнопривести к виду( у - 2 ) 2 + 0:2 = 4,(1){у - 4)2 +х^ = 16.(2)Очевидно, что обе окружности проходят через начало координати их центры расположены на оси 0Y в точках (0,2) и (0,4). Окружность (1) имеет радиус 2 и, следовательно, лежит внутри окружности (2), имеющей радиус 4.
Поскольку область D находится междуокружностями, координаты ее точек удовлетворяют неравенствам{у ~ 2)2 + ^2 > 4,(у - 4)2 + х2 < 16.12.3. Двойной интеграл в полярных координатах295Прямые у = х/у/З и а: = О проходят через начало координат. Область D расположена между ними. Учитывая, что окружности, аследовательно, и область D находятся в верхней полуплоскости, заключаем, что область D находится над прямой у = х/у/З и справа отпрямой X = 0. Поэтому координаты точек области D удовлетворяютнеравенстваму > ж/\/3,ж > 0.Итак,(2/-2)2+х2>4,D= < (х,2/):(2/- 4)2+0:2 < 16,у > х/\/3, X > О2.
Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатахX = д cos v?,I уУ == Qsinip.При этом (^, (^) G JD', а искомый интеграл определяется формулойxdxdy=gcosip gdQd(f.D'D3. Чтобы найти область D', заменяем в неравенствах, определяюпщх область D, х на дcos if и t/ на gsiiup:[ {gshiip - 2)^ + д^ cos^ </? > 4,{д sin V? - 4)2 + д^ cos^ if < 16,^ gcosip^ ^gsm(p>—j=r—^gcos(p>0.v3Решая эти неравенства относительно ^ и (^, получаем7г/6 < (^ < 7г/2,D'={(^,^):4 sin (^ < ^ < 8 sin (/?Гл. 12.
Кратные интегралы2964. Переходим от двойного интеграла к повторному:7г/2xdxdy=8sinv?/ / д cos (f д dg dip = / cos ip dip /DD'7г/6g^ dg.4s\inpПоследовательно интегрируя, получаем7г/28sin<^/ COS (pdcp /7г/2g^ dg =4sinv?7г/6Ssinv?с4 sin (p7г/67Г/2448 /• . 3,112 . 4-— / sm (/? cos ipdip = -— sm (^оJоxdxdy35.7г/6т/6Ответ.7г/2= S5.DУ с л о в и я ЗАДАЧ. Вычислить двойные интегралы по областямD, ограниченным заданными линиями.1.'Ilydxdy,у^-2г/ + ж^=0,!!'•X2/ - 4?/+ ж^ = О,2/=-7^,2/ = \/Зж.2.xdxdy,2/^ —б2/+а:^=0, у^-^у+ж^ = О, 2/= ж, х = 0.3. П —^=S==dxdy,У^^Ту"4.[[ —=L==dxdy,7 У лУх^-\-у^2/ - 4 2 / + 2 : ' = О, 2/ -Sy+a;" = О, 2/= а:,2/^-42/^-ж^=0,D5.// ^ "/ / .2/^ - 62/+ ж^ = О,2/ = ж, X = 0.^ dxrfy,2/^ - 6у Н- х^ = О,у2 - 102/ + х^ = О,2/ = X,X = 0.12.4.
Интеграл в обобщенных полярных координатах6-/ / ^ ^ ^dxdy,J J х^Л-у^у^-2х297+ х'^ = 0,у 2 - 4 х + ж2 = 0,2/2-4х + х 2 = 0 ,у2-6х + х2=0,D7.ij-^—^dxdy,2/ = --^,8-И -r—^dxdy,У У х^ + Г2/^-4а: + ж2 = 0,г/ = \/Зх.г/2 - 82: + х^ = О,у = О, 2/ = \/Згг.^Л«. xJ«.9.
jl—^=====dxdy,«.2 о ^ I ^ 2п2/^-2x-fж^ = 0,«.2 л«. I «.22/^-бх+ х^ = 0,2/^ - 2а: + х^ = О,2/^ - Юж + х^ = О,л/ж2 4- 2/210. / /^^х/жМм/"da; с?2/,2/ = \/Зх, 2/ = ООтветы.1. / = —(27Г - \/3).4. / = ^ ( 4 - х / 2 ) .8. 7 = . . ^ - ^ .85. / = l + f.9. 7 = 2 Н . 10.902. / = I S ^ .6. / = J .3. 7 = 10\/2.7. / = А ( 2 7 г - г / 3 ) .7 = 1 ^ ^ .1512.4, Двойной интеграл в обобщенныхполярных координатахПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить двойной интеграл1 1 f{x,y)dxdy,Dгде область D задана неравенствамис\<^-\-\^<с1а^0^(а > О, Ь > О, ci > О, С2 > 0),Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
