164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Дифференциальные уравненияв) подставляя в уравнение (4)Z = С{х)х,z' = С\х)х4- С{х),получаем уравнение с разделяющимися переменнымиС'{х)х = - 1 .Разделяя переменные и интегрируя, получаемС{х) =Со-1пх.Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (4) имеетвидZ = х{Со - In ж),или, после замены z = у~^,1X{CQ - In Ж)*3. Используя начальное условие у(1) = 1:11(Со-0)1,получаем Со = 1.Ответ, у =1х{1 — In ж)Условия ЗАДАЧ. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.1.ху' = 4у = х'^уГу,,2ХУ4:у/уу{1) = 0.(Л\'^^^- ^ 1 Т ^ = 7гт^'"*'"' '^'^^^3.ху' + у = -х^у^,У(1) = 1-11.6.
Уравненгт в полных дифференциалах4. ху' + у = у^1пх,у{1) = 1.5. (х + 1)у' + у = -у^{х + 1),2/(0) = 1.6. 2/' + 2y = e V ,2/(0)-1.7. у' + 2/ = х2/2,2/(0) = 1.Xcos^a:9. yshx-i-ychx265тг^= -Y-y,^^^ "^ i h l '10. у ' - 2/tgx+ у^со8ж = О,2/(0) = 1.Ответы.1. 2/ = "Г lii^ к142. 2/ = (1 + x^)arctg^ ж.'•У = Т^х-^•y=il110.
2/ -+ x){llln\l„3. 2/ = - ^ .х^+ x\y/l+ln|cosx|^-У^'-'V„1^{х + l)cosx*11.6. Уравнения в полных дифференциалахПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.циальногоНайти интегральные кривые дифференуравненияP{x,y)dx+ Q{x,y)dy= 0.(1)ПЛАН РЕШЕНИЯ.1. Если в некоторой области D Р(ж, у) и (5(х, у) имеют непрерывные частные производные и выполнено условиеду ~~ дх'то P{x^y)dx + Q{x,y)dy— дифференциал некоторой функциии{х,у). Тогда уравнение (1) называется уравнением в полных диффе-266Гл.И. Дифференциальные уравненилрепциалах и может быть записано в видеdU{x,y) = 0,{!')где и{х^ у) — дважды непрерывно дифференцируемая неизвестнаяфункция.Из (1') следует, что интегральные кривые определяются уравнением и{х,у) = С при всевозможных значениях С.Для отыскания U заметим, что^=Р{х,у),^= Qix,y).(2)2.
Интегрируя первое равенство в (2) по ж, получими=IP{x,y)dx^ip{y),где (р{у) — неизвестная функция, которую еще предстоит найти.3. Дифференцируя U по у, имеем-^ =-JP{x^y)dx-,^iy),Используя второе равенство в (2), получим уравнение—P{x,y)dx-\-(p'{y)= Q{x,y).4. Находим (р{у) и затем U{x,y).Ответ.
Интегральные кривые определяются уравнением U{x^y) = Cпри всевозможных значениях СПРИМЕР.Найти интегральные кривые дифференциального уравненияxdx-^ydy+xdy — ydx^\ ^ \:^0.х^ Л-у^РЕШЕНИЕ.1. Преобразуем уравнение (3):^^ dx^iy^х^ -\-у^ J\- Т ^ ) ^У = Ох^ -\-у,^.311.6. Уравнения в полных дифференциалах267В данном случаеР{х,у)=( х - — L ) , Q{x,y)=\y +х^ -\- у J\х^ -\-1Эти функции непрерывно дифференцируемы в области х^ + у^ > 0.Кроме того,Поэтому P{x.,y)dx-\- Q(x,у) dy — дифференциал некоторой функции17(а;, у) в любой односвязной области J9, не содержащей точку а; = О,2/ = 0. Следовательно, уравнение (3) является уравнением в полныхдифференциалах и может быть записано в видеdU{x^ у) = 0 при (ж, у) е D.При этомди _уди _X.
.'д^~''~х^ + у^''д^~^^х^ + у^'^^2. Интегрируя первое равенство в (4) по ж, получим, что при у ^ Огде ^{у) — неизвестная функция, которую еще предстоит найти.3. Дифференцируя U по у, имеемдиXду^2 4- 2/^+ ^'{У)'Используя второе равенство в (2), получим+ ^\у) = у +После преобразований имеем^'{у) = У'268Гл. 11. Дифференциальные уравненил4. Отсюдаv'(y) = Y + c,и, следовательно,X"4" уXи{х, у) = — ~^arctg - + С,Уу > О или у <0.Ответ. Интегральные кривые в области у > О или в области у < Оопределяются уравнением2Упри всевозможных значениях С.Условия ЗАДАЧ. Найти интегральные кривые дифференциальных уравнений.1.(ж 4- 2/) da; + (ж + 2у) dy = 0.2.(Зж^ Ч- 6ж?/2) dx -f (бж^г/ 4- V ) dy = 0.3.(2ж + Бу) dx -h (5ж -f Зу2) di/ = 0.4.(2жу 4- Зу^) dx + (ж^ + бжу - Зу^) dy = 0.5.(Зу2 + 2ж2/ + 2ж) dx -f (бжг/ + ж2 + 3) dy = 0.6.(ж^ + у^ + 2ж) с^ж + 2ху dy = 0.7.(ж^ - Зж2/2 4- 2) с/ж - (Зж^у - У^) dy = 0.8.(жсЬу 4-shy)dж 4-(жсЬж 4-shж)dг/= 0.9.2ж(1 4- i/^2 - у) dx - >/ж2 ~ydy\х(ж-у)2уV(^-2/)^= 0.У/11,7.
Уравнения вида F(a:,2/(^\y(^+^^) = О269Ответы.1.—+ху+ у'^ = С.2.3.х^ Л- Ъху + у^ = С.5.Зжт/^ + х'^у + Зу + ^2 = ах^ + Зх^у'^ Jry"^ = С.4.6.х^у 4- Зху^ -у^=С.х^— + ху'^ Л-х^ = С.о7.— - •-ж^у^ + 2х + ^ = С.8.9.х2 + |(:с2 4- уУ/'310. - ^ ^ + In - = С.х-уу=аy s h x + a;shy = a11.7- Уравнения вида F{x,y^^\y^^'^^^) = ОПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти общее решение дифференциальногоуравненияF{x,y^'\y^'-^'^)=0П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Полагая у^^^ = ^(а^)? получим дифференциальное уравнениепервого порядкаF{x,p,p')=0.2.
Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующийметод решения, находим р = f{x,Ci), где Ci — произвольная постоянная.3. Так как р — у^^\х)у имеемyW = / ( x , C i ) .Последовательно интегрируя к раз (при каждом интегрировании незабывая о произвольной постоянной), получим ответу = 9?(ж,С1,С2,...,Сп),п = к + 1,Ci, С г , . . . , Сп — произвольные постоянные.ПРИМЕР.Найти общее решение дифференциального уравнения{1-\-х^)у'' + 2ху' = 12х\270Гл.11. Дифференциальные уравненияРЕШЕНИЕ.1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит у, то полагая у' = р{х)^ имеем у" = р'{х). Получаем дифференциальное уравнение первого порядка( Ц - ж ^ У + 2жр = 12ж^.2.
УравнениеР2х^T-T-z^P-12а;^линейное относительно р и р'. Решая его, например, методом вариации произвольной постоянной, находимЗж^ + С3. Так как р = у'{х), имеем, _Зх^ + С1+а;2 •^ ~Интегрируя, получим общее решение у = {С + 3) arctga; + x^ — Заг + СгОтвет, у = Сх arctg х + х^ — Зх + С2Условия ЗАДАЧ. Найти общие решения дифференциальных уравнений.1.2/" = 1 - у'\2.ху" + у' = 0.3. (1 + х'^)у" + 2/'^ + 1 = 0.4.х^у" + ху' = 1.5.ху"' + у"^16.у"'^ +7.у'{1 + у'^)=у".8.у" =9.ху"10.+ х.+ у' + х = 0.у"^^1.-х/у'.y"''^^iy".Ответы.1.j/ = ln|e2^ + C i | - x + C2.3.y = {l + C^)\n\x + Ci\-Cix4.j/ = i(ln|x|)2 + C i l n | x | + C2.2. 2/ = C'i + C2ln|a;|.+ C2.11.8. Уравнения вида F{y,y\y")5.2/ = ^ + у + С 1 ж 1 п | г г | Н - С 2 Х + Сз.6.2/ = sin(Ci -f ж) + С2 ж + Сз.7.ж - C i =ln|sin(t/-C2)|.S.у = Cix^ Ппж - ^ ) + С2Х + Сз.9.2/ = C i l n | a ; | - —Ч-С2.=О27111.8. Уравнения вида F[y^y'^у'^) = ОПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.ренциальногоНайти решение задачи Коши для диффеуравненияF{y,y',y")^0С начальнымиусловиямиу{хо) = 2/0,у'{хо) = 2/0-ПЛАН РЕШЕНИЯ.1.
Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной ж, полагаем2/' =Р{у)^где р{у) — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеемf — А.'dx—— ( ) - ^ . ^ —dxdy dx^dyПолучим уравнение первого порядка относительно р{у)2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующийметод решения, находим р = f{y,C), где С — произвольная постоянная.272Гл.11. Дифференциальные уравнения3. Используя начальные условия (оба), находим С = Ci.4. Подставляя Ci, получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменнымиРазделяя переменные в области, где /(у, Ci) Ф О, получаемdyЦу.Сг)dxи, интегрируя, находим ж = (/?(?/,Ci,C2).Проверяем, не является ли решение f{y,Ci) =0 особым решениемисходного уравнения, удовлетворяюпдим начальным условиям.5.
Используем начальные условия для нахождения второй постоянной (72 (значение Ci уже было найдено в п. 3) и получаем решениезадачи Коши.Ответ записываем в виде у = у{х) или х = х{у).ПРИМЕР.Найти решение задачи Коши для дифференциальногоуравненияу"у^ + 1 = 0с начальными условиямиу(1) = - 1 ,у\1) = -1.РЕШЕНИЕ.1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной ж, полагаему'=р{у),где р{у) — новая неизвестная функция.
Тогда по формуле для производной сложной функции имеемdxdxdydxdy'Получим уравнение первого порядка относительно р{у)•РГ = - 1 .dy'11.8. Уравнения вида F{y,y',y") — О2732. Разделяя переменные и интегрируя, находимт.е.4 + ^1(знак минус мы выбрали из начального условия у'(Х) — ~1 < 0-)3. Из начальных условий (обоих) имеем у' — —1 при у = — 1.Отсюда, Ci = 0. Учитывая, что в силу первого начального условия2/ < О и, следовательно, \у\ — —у, получаемУ4. Разделяя переменные и интегрируя, находим5. Из начального условия у{1) = —1 получим С2 = 1/2.
Следовательно,?/ = -\/2х - 1.(Знак минус мы выбрали из начального условия у{1) = —1 < 0.)Ответ, у = —у/2х — 1.Условия ЗАДАЧ. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.1.У"У^ = 1,2/(1/2) = 1,J/'(1/2) = 1.2.j/y"+2/'2-l,У(0) = 1,У'(0) = 1-3.у"-у'^+у'{у-1)2/(0) = 2 ,2/'(0) = 2.4.t/2 + 2/'2-2j/3/" = 0,2/(0) = 1,2/'(0) = 1.5.Зу'2/" = 2/ + у'3 + 1,2/(0) = - 2 ,= 0,у'{0)=0.Гл. 11. Дифференциальные уравнения2746.2/'2/^+2/2/"-2/'' = 0,7/(0)-у'{0) = 2.7.22/2/"-32/'2 = V ,2/(0) =2/'(0) = 0.8.(1 + 2/2/')2/'' = (1 + 2/'^)2/', 2/(0) =2/Ч0) = 1.9.2уу"^у^-у'^=0,у{0) =УЧО)у{0) =2/'(0) =10. уу' + у'^ + уу'' = 0,- 1.е-1Ответы.1. 2i/2 - 4а:2 = 1.2. у = ж-|-1.Б.у = -^{у6. 2/ =+ 2)У\у = 6''2 + еЗх3. г/ = 2е^.*9.
2/ = sin а; + 1.4. у = е^.7. у = sec^ а:.10. у = е — е "е-111.9. Линейные уравненияс постоянными коэффициентамиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициенппамиу" +РУ' -^qy = е'^''[Рп{х) cosbx + Qrn{x) sinbx],где Рп{х) — многочлен степени п, Qm{x) — многочлен степени ти p,q,a,b — действительные числа.ПЛАН РЕШЕНИЯ.Общее решение неоднородного линейного уравнения п-го порядкаимеет следующую структуру:2/о.н. == Уо.о. + Уч.н.
= Ciyi-f С2У2 + . . . + СпУп + Уч.н.,(1)где 2/1,2/2,Уп — фундаментальная система решений и 2/о.о. — общеерешение соответствующего однородного уравнения, 2/ч.н. — какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.11.9. Линейные уравненул с постоянными коэффициентами2751. Записываем соответствующее однородное уравнениеу" ^ру' Л-ЧУ = ^(2)и ищем его решение в виде у = е^^, где Л — неизвестное число.Подставляя у — е'^^, у' — Ле^^ и у" = Л^е'^^ в уравнение (2) исокращая е^^, получаем так называемое характеристическое уравнениеЛ2+рЛ + д = 0.(3)2. Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения Ai и Л2. Тогда фундаментальная система решений и общее решение уравнения (2) записываются в одномиз следующих трех видов:а) если Ai и А2 вещественны и Ai т^ А2, то фундаментальная система решений — это у\ = е^^^, 7/2 = е^^^ и общее решение имеетвидУо.о.
=Cie^^^ + C2e^^^;б) если Ai и А2 вещественны и Ai = А2, то фундаментальная система решений — это у\ = е^^^, у^ — хе^^^ и общее решение имеетвидУо.о. =Cie^^^+C2a:e^^";в) если Ai и А2 комплексные, т.е. Ai,2 = о:±г/3, то фундаментальнаясистема решений — это yi = е"^ cos/За:, у2 = е"^ sin/За; и общее решение имеет видт/о о z= e'^'^(Ci cos/За: 4- Сг sin/За:).3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения.Поскольку правая часть уравнения имеет виде°''^[Рп{х) cosbx + Qrn{x) sinbx],(4)можно применить метод подбора частных решений:если а ± г6 не является корнем характеристического уравнения (3), то2/^ д := e^^[Pk(x) cosbx Н- Qk{x) sinba;],где Рк{х) и Qk{x) — многочлены степени к = max{n,77i} с неопределенными коэффициентами;276Гл, 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
