164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Работа А силового поля равна криволинейному интегралу второго рода по кривой L:А=: j{F,dr)=l{x-y)dx+ dy.2. Вычисляем криволинейный интеграл. Для этого:а) поскольку L — верхняя полуокружность, ее параметрическиеуравнения записываем в виде{ у = 2sint,--Вычисляем dx = —2smtdt и dy = 2costdt\б) переходим от криволинейного интеграла к определенному:А={x-y)dxL+ dy=[{2cost-2smt){-2smt)оОтвет. А = 27г ед.работы.+ 2cost]dt = 27r.14.7. Циркуляция векторного поля359Условия ЗАДАЧ. Найти работу силы F при перемещении вдользаданной кривой от точки М к точке N.1.F = xUyj,2. F = x^lх2-|-у2 = 4 (2/>0), М(2,0), iV(-2,0).^2 + 2/2=4 ( у > 0 , а ; > 0 ) ,3. F = {x^ + y)i + {x^-y)l4.
F = 2xyi-i-x^j,5. F = yi^2ylМ ( - 1 , 1 ) , АГ(1,1).2/ = 2x^ М(1,2), А^(2,1б).х2 + 2/^ = 1 ( 2 / > 0 ) , М(1,0), iV(-l,0).6. F = xi-yj,7. F = 2ylу = х\М(2,0), iV(0,2).х^ + у^ = 2{у>0),М(ч/2,0),х2+2/2 = 1 ( 2 / > 0 , а : > 0 ) ,8. F=-x^yi,N{-^2,0).М(1,0), iV(0,1).х2-h 2/^=4 (i/>0, ж>0), М(2,0), АГ(0,2).9. F = (2/-x2)?+a:J,10.
F = y ? - x J ,у = 2х\2/ = ^ ' ,М(0,0), iV(l,2).М(0,0),N{2,S).Ответы. 1. О ед.работы. 2. —4 ед.работы. 3. 4/3 ед.работы.4. 62 ед.работы. 5. -тг ед.работы. 6. О ед.работы. 7. 1 ед.работы.8. —7г ед.работы. 9. 5/3 ед.работы. 10. —8 ед.работы.14.7. Циркуляция векторного поляПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти циркуляцию векторного поляа = Р{х, у, z)i-^ Q{x, у, z)j + R{x, г/, z)kвдоль замкнутого контура ГX = x{t)^z = z{t),360Гл. 14. Теория поляПЛАН РЕШЕНИЯ.1. По определению циркуляция векторного поля равна криволинейному интегралу второго рода вдоль кривой Г:X, у, z) dx + Q{x, у, z) dy -\- R{x, y, z) dz.гг2. Вычисляем криволинейный интеграл, сводя его к определенному:А= (i)(a^dr) —ГitJ[P{x{t),y{t),z{t)) x\t) + Q{x{t),y{t), z{t))+y\t)+R{x{t),y{t),z{t))z'{t)]dLЗаписываем ответ.ПРИМЕР.Найти циркуляцию векторного поляа = --гЗ — 3xj -\- хквдоль замкнутого контура ГX = 2 cost,y = 2smt,te [0,27г].z = 1 - 2cost - 2sint,РЕШЕНИЕ.1.
По определению циркуляция векторного поля равна криволинейному интегралу второго рода вдоль кривой Г:А = <i){djdr) = Ф -dx — 3xdy -\- xdz.гг2. Вычисляем криволинейный интеграл, сводя его к определенному:А= ф -dx — Sxdy -\- xdz =г14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса36127Г4 .
2оОтвет. А = -527г/3.. , . 2. .\,- sm t —locos t i- Asmtcost \ at =о/527Го.Условия ЗАДАЧ. Найти циркуляцию векторного поля а вдользаданного замкнутого конт^ура {t G [0,27г]).1. а = yi — z'^j -{- х'^ук, а; = 2cost, у = sint, z — \.2. а =—x^yi-\-Aj-\-x^zk^3. a = x^i — z'^j + yk,ж = 2cost, y — 2smt^ г = 4.x = cost, 2/ = 2sint, z = 2cost.4. a = — 222 — x^j + z^, x = 2cost, y = 2smt,5. a = y'^i — zj + yk,z = sint.x —5cost, у = 2sint, 2 = 2(1 —cost).6 . 5 = ж^г — y'^j + 2/^, a: = cos t, у = 3 sin t, z = cos t — sin t.7.
a = yi-\-xj-\-y^k,ж = 2cost, 2/ = sint, z = 5sint.8. a = zi — xj -]- yzk,x = cost, г/= 6sint, z = 3.9. a = —ж^г + 5j + 2/^, ж = cost, 2/ = 5sint, z = 3cost.10. a = 4уг + xj + yk,Ответы. 1. -27Г.x = cost, у = sint, z = 2 — cost — sint.2. ISTT. 3. -47г.4. 47г.5. -Зтг.6.
-Зтг.7. тг.8. -бтг. 9. -157Г. 10. -87Г.14.8. Вычисление циркуляциипо формуле СтоксаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти модуль циркуляцииполяа = Р(ж, у, z)i-\r Q{x, 2/, z)j + R{x, у, z)kвекторногоГл. 14. Теория поля362вдоль замкнутогоконтура{(^,y^z)Fi{x,y,z)F2{x,y,z):•}ПЛАН РЕШЕНИЯ. Циркуляция А векторного поля а = {P^Q^R} позамкнутому кусочно-гладкому контуру Г, расположенному в областиG, в которой функции Р, Qj ^ имеют непрерывные частные производные, равна потоку ротора этого векторного поля через любуюкусочно-гладкую поверхность Е, натянутую на контур Г и расположенную внутри области G, т.е.
справедлива формула Ст,окса41(rota,ггЬ) d(T.(1)Предполагается, что ориентация единичных нормалейПо = {cos а, cos ^5, cos 7}к поверхности Е согласована с ориентацией контура Г так, чтобыиз конца каждой нормали обход контура в выбранном направлениивыглядел как обход против часовой стрелки.1.
Возможны два противоположных направления обхода Г. Циркуляция при этих обходах отличается только знаком. Поскольку требуется найти только модуль циркуляции, выбираем направление обхода произвольно, а в ответе запишем модуль результата.2. Выбираем поверхность Е, натянутую на контур Г.3. Определяем нормали UQ К поверхности Е.4.
Находим rot а:rotaг.7дддРQdzRдх дук5. Вычисляем скалярное произведение (rota,rio)6. Применяем формулу Стокса (1):=/ / ( r o t a . щ) da.14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса3637. Вычисляем поверхностный интеграл.Записываем ответ, не забывая про модуль.ПРИМЕР.Найти модуль циркуляции векторного поляа = yi — xzj + хуквдоль замкнутого контураГ<{x,y,z) :а;2 4- у2 + z^ = 'х'^ + 2/^РЕШЕНИЕ.1.
В данном случае очевидно, что Г — окружность х^ + ^/^ = 9,лежащая в плоскости z = 0. Выбираем направление обхода контураГ против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора к.2. Выбираем поверхность Е, натянутую на контур Г.Естественно в качестве Т, взять круг:Е = | ( х , 2 / , . ) : I2^y2^g}•3. Согласно выбранной ориентации контура нормаль TTQ к Т, однаи та же в каждой точке и равна к.5. Находим rot а:rota =г3ддхддудУ— XZdzхук— 2хг — yj Ч- (—1 — z)k.5. Вычисляем скалярное произведение:(rot а, гго) = {2xi — yj + ( — 1 — z)k, к) = —1 — z.6. Находим циркуляцию по формуле Стокса (1):А=ff{-l-z)da.7.
Вычисляем поверхностный интеграл, сводя его к двойному:А = / / ( - 1 -z)da=ЕII( - 1 - z)\^^Q dxdy = -Этг.ж2+у2<9Гл. 14. Теория поля364Ответ: \А\ = Этт.Условия ЗАДАЧ. Найти модуль циркуляции векторного поля авдоль замкнутого контура Г.1.а = {xz-\-y)i-^{yz - x)j,2.а = x'^zi - yj + ук,Г =z =SГ=z=3{x'^y^)z=2х2 + 2/^ + г^ = 9,^2 + 2/^ = 1 (^ > 0)'•}•3.а = Х2:г + 2xzj + a;^?/fc,Г=4.а = (ж — y)i + xjf — zfc,Г =5.а = уг — xj + xzfc,Г =Z = 2{х^ -Ь у^) +z= 3х^ + у'^ = 1,ж + у -f 2; = 16.а = 42/г + xj + ук,Г =7.а = yi — xj + г^,Г =8.а = жг/г Н- г/г^ + а^>г:^,Г =9.а = 2/^ Н- (1 — a;)ji — zfc,Г==10. а = xi — z'^j + ук,Г =z=2М-'•}•х2 + у2 3^ 4,2а: + У 4- г = 1х2 4- у2 + 2:2 = 9^2:2 + у2 :^ 4 (;^ > 0) J •^2 + 2/2 = 4,4ж - Зу - Z = 3Ответы.
1. 27Г. 2. 0. 3. 4\/27г. 4. 27г. 5. 27г. 6. 27г. 7. лДтт.8. 87Г. 9. 87Г. 10. бОтг.Учебное изданиеЗИМИНА Ольга ВсеволодовнаКИРИЛЛОВ Андрей ИгоревичСАЛЬНИКОВА Татьяна АнатольевнаРЕШЕБНИКВЫСШАЯ МАТЕМАТИКАРедактор Е.Ю. ХоданКомпьютерный набор Т.А. СальниковойКомпьютерная верстка О. В. ЗиминойЛР JV^ 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 02.04.01.Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.Усл.печ.л. 23. Уч.-изд.л. 22.
Тираж 5000 экз. Заказ JV^1490Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»117864 Москва, ул. Профсоюзная, 90Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099 Москва, Шубинский пер., 6THE SOLVERO.V. ZIMINA, A.I. KIRILLOV, T.A. SALNIKOVAH I G H E R MATHEMATICSPHYSICS AND MATHEMATICS PUBLISHERSInternational Academic Publishing Company ^^Nauka"Russian Academy of SciencesMoscow, 2001, 368 pagesThe authors have extensive experience in teaching mathematics at theMoscow Institute of Power Engineering (Technical University) and other technical universities in Russia and abroad.A well-known expert in higher education and a member of the Presidiumof the Scientific Methods Council on Mathematics of the Russian Ministry ofEducation, Professor A.I.
Kirillov is a coauthor of every single mathematicscurriculum developed and used in Russia during the Icist twenty years. He is therecipient of several state awards for his successes in teaching higher mathematicsto students in technical universities and in using computers in education.
He haspresented his ideas on mathematical education at many international congressesand conferences and in lectures at many universities around the world and isalso known in scientific circles for his significant papers on infinite-dimensionalanalysis, stochastic processes, and quantum field theory.THE SOLVER is a part of a new educational project EduXXI initiated byA. I. Kirillov and O.V. Zimina in 1999.
The project aim is to make the student'sstudies effective, interesting, and arousing creative activity. The main meansfor achieving the project aim are new tutorial complexes consisting of especiallywritten textbooks and software. THE SOLVER is the common name of thefamily of such complexes.THE SOLVER "Higher Mathematics" is the first complex realized by theproject EduXXI. It is designed for computer-based mathematical education andconsists of this book and the software package THE SOLVER.HM.The complex gives a solution to the fundamental problem of modern education: how can students manage with the enormous information the professorshave to give them?They cannot now.
Therefore, the modern students learn almost the samemathematics as the students at the end of the 19th century. Moreover, theysolve only one or two problems of each kind whereas they should solve fromthree to five problems of each kind to really understand and acquire the solutionmethods.There are no books containing the necessary number of problems of onekind. On the other hand, the students do not have the time to solve the largenumber of problems required.THE SOLVER "Higher Mathematics" contains this book with nine to tenproblems of each kind and software that enables students to quickly solve allthese problems.The complex opens a new way for learning mathematics—without unnecessary difficulties and waste a time.
It establishes an optimal student-computercooperation, where the student's task is to formulate the problems properly andthe computer's task is to perform the routine operations.Using the complex, the students can deeply understand how to solve thebasic problems of higher mathematics because they solve many problems andtheir attention is concentrated on the new and the essential.The complex frees about half of time devoted to higher mathematics in thecurricula. This free time can be used for teaching the students the ideas andmethods of mathematics of the 20th century.THE SOLVER "Higher Mathematics" can be used at colleges, technicaluniversities, and for extension education.
It enables the students to study independently. This is important because this increases the educational possibilitiesfor people living far from universities and for those who cannot leave their homesfor some reason.This book contains 14 chapters:Analytic GeometryLinear AlgebraLimitsDifferential CalculusGraphsFunctions of Several VariablesIndefinite IntegralsDefinite IntegralsLine IntegralsSeriesDifferential EquationsMultiple IntegralsSurface IntegralsField TheoryThe chapters are divided into sections.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
