164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 22
Текст из файла (страница 22)
2 . - — . 3.1 + - I n - . 4 . - — . 5. 2 + I n - .^Д22 222r , ^ + Hl + V2)8.1 + i b ^ .9.sh3. 10.2(v/3-v/2).194Гл. 8. Определенный интеграл8.9. Вычисление длин дуг х = x{t)^ у = y{t)Вычислить длину дуги кривощ заданнойПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.параметрическиI а; = Ф)^\y= y{t),П Л А Н РЕШЕНИЯ. ЕСЛИa<t<e"^*^^-кривая задана уравнениями в параметрической форме"^ " ''(*^'a<t<eгде X = x{t) и у = y{t) — кусочно-гладкие функции, то длина / дугикривой определяется формулой1^ j VWTWdt.(1)агде а и /3 — значения параметра, соответствующие граничным точкам дуги.1.
Находим x[vLy[.2. Вычисляем дифференциал длины дугиdl = ^/ШTШdt.3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).Записываем ответ, не забывая о размерности.Вычислить длину дуги кривой, заданной параметриПРИМЕР.ческиГ x = {t^-2)smt^-2tcost,, 2 4 - - - . .
п. _..__.I 2/ = ( 2 - t 2 ) c o s t + 2tsint,0<t<7r.РЕШЕНИЕ.1. Находим х[ и у[ :х[ = t^ cos t,у[ = t^ sin t.2. Вычисляем дифференциал длины дуги:dl = y/{x[)'^-j-{y[)^dt= \/t^cosH+ t^^4;dt= t'^ dt.8.9. Вычисление длин дуг х = x{t), у = y{t)1953. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):тгrdt= —7ГУОтвет.
/ = 7г^/3 ед. длины.Условия ЗАДАЧ. Вычислить длины дуг заданных кривых.1.2.X = t — Sint,0 < t < 27Г.у = 1 — cost,X = 2 cos t,у = 2sint,= cos^ t,sin^ t,0 < t < 7г/3.0 < t < 7Г= 2 cost — cos2t,2 sin t — sin 2t4.{^5.j X = e*cost,(^ у = e*sint,0 < t < 1.6.j X = e*sint,I 2/ = e*cost.0 < t < 7Г.0 < t < 27Г.IУX = 3cost,у = 3sint,0<t<7г/6.X = c o s t - f t sin t,у = sint — tcost,n/^//oX = 4cos^t,2/ = 4sin^t,0 < t < 7г/3.9.10.X = 2(t — sint), 0 < t < 7г/6.у = 2(1 - cost).7Г < t < 7г/2.Ответы.7. 7г/2.1.8. 2. 27Г/3.
3.3. 4.16. 5. \ / 2 ( e - l ) . 6. \ / 2 ( e ^ - l ) .8. TTVIS. 9. 3.10. 8 -4\/2.196Гл. 8. Определенный интеграл8.10- Вычисление длин дуг д = д{(р)ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить длину дуги кривой, заданнойуравнением в полярных координатахд = д{^),а<(р<(3.П Л А Н РЕШЕНИЯ.Если кусочно гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах д = д{(р), то длина дуги равна1 = JVQi^y + Q'i^yd^,(1)агде а и /3 — значения (р, соответствующие граничным точкам дуги.1. Находим д'{'^)>2.
Вычисляем дифференциал длины дуги3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).Записываем ответ, не забывая о размерности.П Р И М Е Р . Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением вполярных координатам:g = Qsm(p,О < (р <7г/3.РЕШЕНИЕ.1.
Находим д'{(р)'.д'[(р) = 6cos<^.2. Вычисляем дифференциал длины дуги:dl = \^д{(рУ + д'{^У dip = у 36sin^ (^ + 36cos^ (pd^p = дdip.3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):7Г/3/=f 6dip= 6ip\l^^ =27Г.ООтвет. I = 27Г ед. длины.8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений197Условия ЗАДАЧ. Вычислить длины дуг заданных кривой.7Г1. g = ip^0<(р<1.2.
g = cosip,О < (/? < —.7Г3. д = 2sirnp,-^ <^ <'^-4. ^ = 1 — cos (^,5. g = l-Vcosip,0<(^<7г.7. ^ = l + sin(^, - 7 : < < ^ < 7 Г 2 - ^ - 27Г9. ^ = 3sin(/?,Ответы.О < V? <•-.6•-.6. ^ = 6^^,О < v? < 27Г.^- ^ = 1 ~ sin(^, 77 — ^ - "7Г^^ ' 2 - ^ - 210.10.д ^==3cos(/?,3cosv?,1. [\/2 4-ln(l-f \/2)]/2.6. V 5 ( e ^ ' ' - 1 ) / 2 .7. 2.8. 2.О < (^ < тг.2. 7г/2. 3. тг. 4. 2.9. 7г/2.7ГОО< <v?v?< <—.о —.5.
2.10. тг.8.11, Вычисление объемовпо площадям поперечных сеченийПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тела, если известныплощади его поперечных сечений.П Л А Н РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ S = S{X) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и пересекающей ее в точке сабсциссой ж, то объем части тела, заключенной между плоскостямиX = Xi и X = а:2, определяется формулойV= I S{x)dx.(1)XI1.
Находим S{x).2. Подставляем S{x) в формулу (1) и вычисляем определенныйинтеграл.Записываем ответ, не забывая о размерности.ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача, если известны площади сечений плоскостями, перпендикулярными оси 0Y {S{y)) илиоси OZ {S{z)).198Гл. 8. Определенный интегралПРИМЕР.ВЫЧИСЛИТЬобъем тела, ограниченного поверхностямиР Е Ш Е Н И Е . ЕСЛИ S = S{z) — площадь сечения тела плоскостью,перпендикулярной к оси 0Z и пересекающей ее в точке с аппликатойZ, то объем части тела, заключенной между плоскостями z = zi иZ = Z2y определяется формулойV = f S{z)dz,(2)zi1. Сечение заданного тела плоскостью 2: = const определяется неравенством— -f— < 1169 т.е.
при \z\ < 14 является эллипсом196x216(196-2:2),196'1962/29(196-z2)с полуосямиа=4V196 - z2—,14',3^196"Ь=14Z2Площадь этого эллипса равна5 =:7гаЬ= ^ ( 1 9 6 - ^ 2 ) .Таким образом, при О < z < 7Siz) =^il96-z').2. Подставляем S{z) в формулу (2) и вычисляем определенныйинтеграл:7V = ^\3/(196 - ^2) dz = 777Г (ед. длины)^оОтвет. 777Г (ед.
длины) .8.12. Вычисление объемов тел вращения199Условия ЗАДАЧ. Вычислить объемы тел, ограниченных указанными поверхностлми.1.Z = 4^2 +9г/2,Z = 6.2.Z = 9х'^ + 42/2,z = 6.3.z = 2x2 + 82/2,г = 4.?у24.5.Ж2:29'2'^z = 0,z = 2.z = 0,z = 3.6.y + 2 / ^ - 3 z 2 = l,z-O,z = 1.7.^2 + ^ _ 2 z 2 = . l ,z = 0,z = 1.8.^ + С - . ^ = 1,z==0 ,z = 2.Ответы.1. Зтг.
2. Зтг. 3. 27г. 4. 47г. 5. 87г. 6. бтг. 7. бтг.8. 427Г. 9. 87Г. 10. 507Г.8.12. Вычисление объемов тел вращенияПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тела, образованноговращением област,и, ограниченной графиками функций у = /1(3:) иу = /2(0;) и, возмоэюно, прямыми X = а и х = Ь, вокруг оси ОХ.ПЛАН РЕШЕНИЯ. Объем тела, образованного вращением области,ограниченной кривыми у = и{х) и у = v{x) и прямыми х = а, х = Ь,где и{х) < v{x), т.е. области, определяемой системой неравенствГа < ж < 6,1 и{х) <у < v{x),200Гл. 8. Определенный интегралвычисляется по формулеУ = 7г [(t;(x)2 - и{х)^) dx.(1)1. Определяем область D. Если неравенства, определяюпще область Z), неизвестны, т.е.
неизвестны а и b и/или неизвестно, какаяиз функций fi{x) и f2{x) больше другой на отрезке [а,6], то выполняем следующие операции.а) находим а и b как абсциссы точек пересечения графиков функций fi{x) и /2(2:), т.е. решаем уравнениеfi{x) = /2 (ж);б) исследуем знак разности fi{x) — /2(3:) на [а, Ь]. Для этого достаточно вычислить значение fi{x) — f2{x) в какой-нибудь точке из (а, Ь).Если оно положительно, то fi{x) > /2(2^) и, следовательно, и{х) == /2(3:) и v{x) = fi{x). Если оно отрицательно, то /i(a;) < /2(2:) и,следовательно, и{х) = fi{x) и v{x) = /2(2^)2.
Вычисляем объем по формуле (1).Записываем ответ, не забывая о размерности.ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача, если тело образовановращением области вокруг оси О У или оси 0Z.П Р И М Е Р . Вычислить объем тела, образованного вращением области, ограниченной графиками функцийу = х^вокруг осиу = \/ж,ох.РЕШЕНИЕ.1. Определяем область D :а) находим абсциссы аиЬ точек пересечения графиков. Для этогорешаем уравнениех^ = у/х.Получаема = О,6 = 1;б) на отрезке [0,1] -Jx > х^. Следовательно, и{х)=х^ и у{х) = л/х.8.12. Вычисление объемов тел вращения2012.
Вычисляем объем по формуле (1):У = 7Г /[ ( V ^ ) 2 - [x^f]dx = 7T fJo{х-X^) dx =JoбтгTi'Ответ. 57г/14 (ед. длины) .Условия ЗАДАЧ. Вычислить объемы теЛу образованных вращением вокруг оси ОХ областей, ограниченных графиками заданныхфункций.1.2/ = -а:2 + 1,2/ = 0.2.?/ = sin (7гж/2), у = X.3.2/ = х2,У = у/Х.4.у = a:^, ?/ = 2а;.5.у = cos ж,у = sin ж,ж= 06.у = sin^ ж,2/ = 0,а; = 7г/27.2/ = е^,2/ = 1,а:=:1.8.у = \пх,у = о,а: = е.2/ = 1,а; = 1.2/ = 0(-7г/2 < X < 7г/2).9.2X10.
у = cos^ X,Ответы.1. 1б7г/15.5. 7г2/4 - 1/2.9. 7г(3-41п2).(0 < ж < 7г/4).2. (бтг^ - 48)/(б7г).6. 37rVl6.10. 37г78.(0<ж<7г/2).3. Зтг/Ю.7. 7г(е2 - 4е + 5)/2.4. 1б7г/15.8. 7г(е - 2).Глава 9КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫПри изучении темы КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вы познакомитесь с понятиями криволинейных интегралов первого рода(по длине дуги) и второго рода (по координатам) от функций двух итрех переменных и научитесь вычислять их вдоль различных плоскихи пространственных кривых, заданных параметрически, в декартовых и в полярных координатах, приводя криволинейные интегралы копределенным.С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить производные функций, задающих кривую, решить системы уравнений,определяющие граничные значения параметра, вычислить полученные вами определенные интегралы и проверить правильность полученных вами результатов.9.1.
Криволинейные интегралыпервого родаПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить криволинейный/интегралf{x,y,z)dl,Lгде L — часть гладкой кривощ заданнойпараметрическиX = a:(t),y = y{t),z = z{t),и dl — дифференциал длины дуги.ti<t<t2,9.1. Криволинейные интегралы первого рода203П Л А Н РЕШЕНИЯ. Криволинейный интеграл первого рода по кривой L определяется формулойj f{x,y,z)dl= j f{x{t),y{t),z{t))^x'{tY+ y'{tY-\-z'{tYdt.(1)Подчеркнем, что криволинейный интеграл первого рода не зависитот направления обхода кривой и всегда t\ <t21. Вычисляем x'{t), y'{t), z'(t) и dl = y/x'{t)'^ + y'{ty + z'{t)^ dt2. Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записываем ответ.ЗАМЕЧАНИЕ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
