164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 21
Текст из файла (страница 21)
- I n - . 3. I n 2 - - . 4. arctg-^6.1.7 . 1 ( V ^ - l + lnV3).8.1.\/2\/б^arctg—.9.-i=arctgy|.10. I n — + a r c t g - .8.4. Интегрирование выраженийПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить определенный интегралb/ sin^'^x cos^"'xdx,агде т и п — нат,уральные числа.184Гл. 8. Определенный интегралПЛАН РЕШЕНИЯ.Применяем формулы понижения степени11sin^ а; = - ( 1 — cos2a;),cos^x = - ( 1 + cos2x),1sin ж cos ж = - s i n 2а;ZtA£iДО тех пор, пока не придем к табличным интегралам или к интегралам, которые известным образом сводятся к табличным.Полезно иметь в виду, чтоЗАМЕЧАНИЕ.27Г27Г/ sin/cxdx = 0,/ COS kxdx = 0о{к EN).оП Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬопределенный интеграл27Г/ sin^ Зх cos^ Зх dx.оРЕШЕНИЕ.Применяя формулы понижения степени, имеем27Г27Г/ sin'* Зх cos"* Зх dx = 2~^ / (2 sin Зх cos Зх)"* dx =оо27Г-427Г/ о^г,4^^ 1^ _ 0 - 6/ /= 2"^ у sin^ бх dx = 2-^ [{1- cos 12х)^ dxоо27Г27Г27Г= 2~^ / с?х - 2~^ / cos 12х dx + 2"^ / cos^ 12х dx =00о27Го27Г27Г==:2-^7г + 2-^ f dx + 2r-'^ /^cos24xdx = 2-^7r + 2-^7r = ^ .27Г/оЗтгsin^ Зх cos"* Зх dx = —7.648.5.
Интегрирование иррациональных выраоюений185Условия ЗАДАЧ. Вычислить определенные интегралы.1. / 2^ sin^ X cos^ X dx.2. / 2^ sin^ x cos^ x dx.007Г/27Г3. / sin^ - cos^ - dx.У445.4. / 2^ cos^ ж dx.Уоо7г/27г/2/ 2^ sin^ X dx.о6.7г/27.7г/28.8. 1/ sism^'^xdx.о/ sin^ X cos^ х dx.о7г/27г/29. / c o s - . . . .10./si»-xcos-x.x.ООтветы./ 2^ sin^ х cos^ ж dx.оО1. 7Г.2. 7г.( 2 п - 1 ) ! ! 7г(2п)!! 2*3. тг.4. бтг.( 2 т - 1 ) ! ! тг(2т)!! 2*5.
бтг.6. Зтг.7. тг.(2гг-1)!! ( 2 т - 1 ) ! ! тг(2n + 2m)!!2'8.5. Интегрирование выраженийщ^'^Ш' iax+bcx-hd'а ax±bY cx-\-d'ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислит^ъ определенный интегралагде R — рациональная функция и p,q^...— нат,уральные числа.186Гл. 8. Определенный интегралПЛАН РЕШЕНИЯ.С помощью подстановкиах -\-Ь=сх -\- d<",где п — общий знаменатель дробей 1/р, 1/д,..., приходим к интегралам от рациональных функций.П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬопределенный интеграл24V2 -х/оVT+x( V x T 2 + 4:у/2-х){х+ 2)2• ах.РЕШЕНИЕ.1.
Чтобы сделать подстановку, приводящую к интегралу от рациональной функции, нужно преобразовать подынтегральную функцию так, чтобы она содержала корни любой степени, но из о д н о г ои т о г о ж е выражения вида ^^ ^j • Поэтому преобразуем подынтегi^-ральное выражение, выделяя W л , ;~ :J'-'2. Применяем подстановку= t :2 -h ж48^Делая замену переменной в определенном интеграле, получаемfJ (Jl^-i'^V2T^-^^^ /-4^-1(^^ + 1 ) 7Bl\[2^\,. „ У 4f + l 16 1, (f2 + l)2J^+^^/2Т^И^ + 2)^dt.8.5. Интегрирование иррациональных выраоюений187Вычисляем первообразную рациональной функции и применяем формулу Ньютона-Лейбница:JAt + llb4V2 - ж - V2 4- XОтвет•In 5Тб"*+ - l n l 4 t + l|4_ In 5/Условия ЗАДАЧ. Вычислить определенные интегралы.92.
/dx.\Jdx.V^m+y/{x+l)^dx.0л/х — 1 — \/а;+ 1ГУх-15. / ,,da;. 6J v^"=n:f:(l+^632, | . ^ ^ .29У(^^^з+У(х^^Ответы.V(x + 1)3 _ 7(^ + 1) _ 6 4/(x + l)3dx.dx.4\/2 - ж - V3x - 2dx.( V 3 x ^ ^ + 4 V 2 - i ) ( 3 x - 2)2101. 7 4-2 In 2.5. [ \ / 2 - l - l n ( l + \/2)]/2.8. ln(16/81).б-ч/^ТТ+ \/5TT8./-2. тг/б.3. 2 - I n 2.4. 3 ( v ^ - l ) / 8 .6.
9 / 2 - 3 7 r / 2 + 6arctg2. 7. ln(2 + \/3)/2.9. 8 + 3\/32 7г/2.10. In5/16.188Гл. 8. Определенный интеграл8.6. Интегрирование выраженийR{x, (а^ ± х^/^) и R{x, {х^ ^ а^)!/^)ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить определенные интегралы вида:/3а)/ R{xy \Jо? — ж^) dx\а/3б)f R{x,Va^+ x^)dx;ав)/ R{x, v ж^ — а^) dx]агде R — рациональнаяфункция.П Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Чтобы избавиться от радикала, используем тригонометрические или гиперболические подстановки:а) X = asint или х = atht]б)X = atgtв)х =или X = asht;или X = adit.cost2.
Применив формулу замены переменной в определенном интеграле, получим интегралы вида/ Ri{sint^ COSt)dtилиti/ Ri{sht, ch.t) dt.tx3. Вычисляем полученные интегралы с помощью известных подстановок или методом понижения степени.П Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬопределенный интеграл3/2Сх^I .оdx.РЕШЕНИЕ.1.Чтобы избавиться от радикала, используем подстановку8.6. Интегрирование иррациональных выраоюений189а: = 3sint.
Тогдаdx = 3 cos t dt^t{0) = arcsin 0 = 0,м о I = arcsin - = 7V2/26и y/9 — x^= |3cost| = 3cost, поскольку cos^ > 0 при t G [0,7г/б].2. Сделаем замену переменной в определенном интеграле:3/27г/6/х2^7г/6/* 9 ( s i n t ) 2 - 3 C 0 S t ^^п/" . 2 . ^ ./ ,dx=\^= = - dt = 9sm^ ^ d^.У л/9^^^У л/9-9(8т^)2Уоо ^о3. Применяя формулы понижения степени, получим7г/67г/67г/69 / sin^ tdt = - / (1 - cos2t) dt = -тг - 0/ cos2tdt =0о39 . ^ Г^^= ~7ГSin 2t443lo43/2'• о// т, гОтвет.4 —dx = -7г8У с л о в и я ЗАДАЧ.
Вычислить определенные интегралы.13L. jy^T^^dx.2. I х'^у/\X11da:.1/23о,^ ''5у/(9-х2)зJх^1JJx^Vx^^dx.3x^J9\/3= -7Гx-hVl^ x^.8190Гл. 8. Определенный интеграл7. ———.458. "ТТ. 9.45hln3•=. 1 0 . - .l-f\/248.7. Вычисление площадейв декартовых координатахПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить площадь области, ограниченной графиками функций у = fi[x) и у = /2{х) {fi{x) > /2(2:) илиf\{x) ^ /2(2^) дл^ всех точек области) и, возмооюно, прямыми х = аи X = Ь.П Л А Н РЕШЕНИЯ. ЕСЛИобласть D задана системой неравенства < ж < 6,{то площадь области D вычисляется по формулеSD=1 {v{x) - и{х)) dx.(1)JаЕсли неравенства, определяющие область D, неизвестны, т.е.
неизвестны а и 6 и неизвестно, какая из функций f\(x) и /2(3:) большедругой на (а, 6), то выполняем следующие операции.1. Находим а и 6 как абсциссы точек пересечения графиков функций f\{x) и /2(2:), т.е. решаем уравнение/i(x) = /2(a:).2. Исследуем знак разности fi{x) — /2(2^) на [а,6]. Для этого достаточно вычислить значение /i(x) — /2(2:) в какой-нибудь точке из(а,6). Если оно положительно, то f\{x) > /2(2^) и, следовательно,и{х) = /2{х) и v{x) = fi{x).
Если оно отрицательно, то fi{x) < /2(2^)и, следовательно, и{х) = /i(x) и г;(х) = /2(2:).3. Применяем формулу (1) и находим SDЗаписываем ответ, не забывая о размерности.8.7. Вычисление площадей в декартовых координатахП Р И М Е Р . ВЫЧИСЛИТЬ191площадь области, ограниченной графикамифункций2/ = х^ - 4ж + 3,у = -х^ + 2х + 3.РЕШЕНИЕ.1.
Находим абсциссы а и 6 точек пересечения графиков. Для этогорешаем уравнениеж^ - 4ж + 3 = -ж^ + 2а: + 3.Получаем а = О, 6 = 3.2. Исследуем знак функции ^р = ж^ — 4а; + 3 — (—ж^ + 2х + 3) наотрезке [а, Ь] = [0,3]. Для этого придадим х любое значение из (0,3),например х = 1. Получаем, что <^(1) = —4. Следовательно, ср < О приX G (0,3). Поэтому ж^ - 4ж 4- 3 < -х"^ + 2а; + 3 при х G [О, 3] и областьD определяется системой неравенствО < X < 3,а;2 - 4а; + 3 < 2/ < -х'^ + 2х + 3.3.
Применяем формулу (1) при v{x) = —х^ + 2х + 3, и{х) == х^ - 4ж -f 3, а = О и 6 = 3:/»3SD=/»3(-Ж^+2Х+ 3-Х^+4ХJo- 3) dx = / (-2x2 + 6х) dx = 9.JoОтвет. 5 = 9 (ед. длины)^.Условия ЗАДАЧ. Вычислить площади областещграфиками заданных функций.1.?/ = 32 - х^,у = -4х.2.?/ = ЗУх,у = 3/х,3.X = 5 - 2/2,X = -4t/.4.2/ = \/е^ - 1,2/= О,х = 1п4.5.2/ = sinx,t/ = cosx,х = 0 (х > 0).6.у — л/х,у = 1/х,X = 16.X = 4.ограниченных192Гл. 8. Определенный интеграл7.X = 27 - ?/2,х = -6у,8.y = smx,2/ = cos ж,ж = 0 (ж < 0).9.у = V9 ~ х^,2/ = О,ж = О,X = 3/2.10.у = 2/ж,y = 5e^г/= 2,г/= 5.Ответы.6. 42 ~ In 16.1.288.
2. 1 4 - 3 1 п 4 . 3.36. 4. (6\/3 - 27г)/3. 5. \ / 2 - 1 .7.288.8. l + V^.9. (37г+V3)/4.10.3.8.8. Вычисление длин дуг у = f[x)ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Вычислить длину кривой^ заданной уравнениемУ = f{x)и ограниченной точками с абсциссами х = а и х = Ь.П Л А Н РЕШЕНИЯ. Длина I кусочно гладкой кривой у = /(ж), ограниченной точками с абсциссами ж = а и а; = 6, равнаоj^flTWfdx.(1)1.
Находим у' = / ' ( х ) .2. Вычисляем дифференциал длины дугиdl =^Jl^{y'Ydx,3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).Залисываем ответ, не забывая о размерности.ПРИМЕР.Вычислить длину дуги кривойУ=-z,0<a;<3.8.8. Вычисление длин дуг у = f{x)193РЕШЕНИЕ.1. Дифференцируя уравнение кривой, получимУ == -shx.2. Вычисляем дифференциал длины дуги:dl = л/l + (у')^ dx = V 1 + sh^xdx =chxdx.3.
Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1):-f1=I chxdx= SYIXIQ = shS./оJoОтвет. Z = sh3 ед. длины.Условия ЗАДАЧ. Вычислить длины дуг заданных кривых.1. у = ]пх,2\/2<а:<2\/б.2. 2/ = In cos ж,3. 2/ = е^,О < а: < 7г/б.1п\/3 < а: < 1 п \ / 8 .4. г/= In sin ж,7г/3 < ж < 7г/2.5. 2/ = 2 v ^ ,1/3 < ж < 1/8.6. у = chx,О < а; < 1.7. у = х^/2,0<х<1.8. у = 1-1пх,\/3<x<VS.9. у = 1- сЬж,0 < а:< 3.10. у = y/l — x^ + arcsina:,Ответы.e.shl.О < х < 1/2.21пЗ1 31пЗ, 31. 2 + 1п-7=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
