164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (940509), страница 16
Текст из файла (страница 16)
u = xy-x/z,133М(1,-1,2).М(-4,3,-1).10. п = 1п(ж + х/22 + 2/2),М(1, - 3 , 4 ) .Ответы. 1. {1,1,1}. 2. {55/6,5/6,2/3}. 3. {3,1,7г/2}. 4. {3,1,0}.5.(1/2,1/2,0}. 6.(17,12,9}. 7.(4,4,0}. 8 . ( 1 , - 1 , 0 } . 9 . ( 4 , - 4 , - 4 } .10.(1/6,-1/10,2/15}.6.3. Производная по направлениюПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции u{x,y,z)точке А{х1^у1, Zi) по направлению к точке 5(^2,2/2? ^г)-вП Л А Н РЕШЕНИЯ.1. Если функция u{x^y^z) дифференцируема в точке A(xi,i/i,2:i),то в этой точке существует ее производная по любому направлению /,определяемая формулойди= (gradu|^,/o),(1)Агде(диди дu^-*I2.
Находим координаты вектора /. В данном случае1 = АВ = {х2 - XI, у2 - 2/ь Z2 - zi}.3. Находим единичный вектор (орт) IQ:1о =I _\t\{х2-ХиУ2--У1,V{^2-Xiy+ {y2-yiyZ2-+Zi}{z2~Ziy'Гл. 6. Функции нескольких переменных1344. Вычисляем частные производные и градиент функции и{х,у, z)в точке A{x\^y\^zi)\gradu= {u'^{xi,yi,zi),u'y{xi,yi,zi),<(xi,2/1,2:1)},5.
Вычисляя скалярное произведение в формуле (1), получаемответ.ПРИМЕР.Найти производную функциии = х^ — arctg {у -Ь z)в точке Л(2,1,1) по направлению к точке Б(2,4, —3).РЕШЕНИЕ.1. Так как функция и = ж^ — arctg (у 4- z) дифференцируема вточке А(2,1,1), то в этой точке существует ее производная по любомунаправлению /, которая определяется формулой (1).2. Находим координаты вектора /.
В данном случаеГ= АВ = { 0 , 3 , - 4 } .3. Находим единичный вектор (орт) /Q:г _ l _{0,3,-4}_\^3 _4°\1\ ^ 0 2 + 3 2 + (-4)21 ' 5' 54. Вычисляем частные производные функции и = х^ — arctg {у + z)в точке А(2,1,1) :дидх— оI—л(2,1,1)1^^1 + (2/ + 2;)2^У (2,1,1)ди91(2,1,1)5'1(2,1,1)Ц - ( 2 / + г)2 (2,1,1)Тогда^^^А(2,.,.г {^^-\^-\]5. Подставляя полученные значения в формулу (1) и вычисляяскалярное произведение, получимди= (gradtx|(2,1,1),/о) = 4 . 0 +1--.^ +11_25'6.4- Производные слооюной функции135ди\1Ответ. —— :^^^ 1(2,1,1)25Условия ЗАДАЧ. Найти производную функции и{х, 2/? ^) в точке Апо направлению к точке В.1.
и = х + 1п(г2 + у2),^(2,1,1),2. IX = ж^?/- V ^ ^ T ^ ,Л(1,5,-2),5(0,2,0).Б(1,7,-4).3. U = sin(a: + 27/) + 2 ^ / ^ Р , A f - , y , 3 J ,Б ( - + 4 , у + 3,34. u = x3 + ^ 2 / ^ + ^2,^(1,1,0),Б(1,2,-1).5. u = ^ + V 9 - ^ ,^(1,1,0),Б(3,3,-1).6. u = ln{3-x'^)-^xy'^z,А(1,3,2),Б(0,5,0).7. u = x^y^z~ln{z-l),А(1,1,2),Б ( 6 , - 5 , 2 \ / 5 + 2).8. ii = ln(x2 + 7/2),^(1,-1,2),Б(2,-2,3).9. и = 1п{х + ^^^Т^),А(1,-3,4),Б(-1,-4,5).10.
ix = x 2 / - f ,А(-4,3,-1),Б(1,4,-2).Ответы. 1. - \ / б / 3 . 2. \/2/12. 3. 3. 4. \/2/2.7. - 4 / 9 . 8. 2\/3/3. 9. - \/б/60. 10. 20\/3/9.5. 2/3.6. - 1 1 / 3 .6.4. Производные сложной функцииПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Найти производные z'^ и Zy функцииZ = z{u, v), где и = и{х, у) и v = v{x, у).П Л А Н РЕШЕНИЯ. Поскольку z является сложной функцией двухпеременных ж и у, то ее производные г^ и Zy вычисляются по формуламdzdz диdz dvдхди дхdv дх'dz _ dz диdz dv, .дуди дуdv ду1.
Вычисляем частные производныеdzdzdududvdvdu^dv^ dx^ dy^ dx^dy136Гл. 6. Функции нескольких переменных2. Подставляем полученные результаты в формулы (1) и (2) и записываем ответ.ЗАМЕЧАНИЕ. Формулы (1) и (2) можно обобщить на функции любого числа переменных. Например, если дана функция f{uyV,w), гдеи = и{х,y^t)^ V = v{x^y^t) Hw = w{x,г/,t), т о ее частные производные/ж 5 /у> ft вычисляются по формуламOf _ dfдхдидидхdfdvdvдхdfdwdwдх'df__d£dyди9f _ 9fdtdudv^дудиdtdf_dvdfdvdv_дуdvdtд£ dw_dwду'df dwdw dtНайти производные z^ и Zy функции z = u/v, где и = x^ПРИМЕР.Hv = y/xy.РЕШЕНИЕ.1.
Вычисляем частные производныеdz _ 1duv^du _dx'^""^_i^ _dy'""'9z _dvyiиv^'dv _ y/ydx " 2 V i ''dv _dy "y/x2^'2. Подставляя полученные результаты в формулы (1) и (2), получаемdzдх1VV-1Ответ.^v^л/у2л/хdzдуdz1y_i— = - . ух^ ^dxV1Vиг?2у.иv^у/х2у/уу/у—2у^'9z1 -,,иу/х— = - -ж^^Ьж- — • —-Z,dyVv^ 2yfyгде n = ж^, V — yfxy.УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Найти производные z'^ и Zy функции z = z{u,v)jгде и = и(х, у) и v = v{x, у).1.
z = u'^-\-v'^^ и = х-{-у^v = x — y.6.4. Производные сложной функции1372.z = ln(?i2 + v^),u = xy,V — xjy.3.z = u^,и = sin Ж,V = COS y.4.z = u2 + 2t;^,U = x'^ - 1 / 2 ,V = e^2/.5.z = 3>Tctg{u/v)ju = xsin?/,V = X COS 2/.6.z = ln{u — i;^),гл =:ж2 + 2/2,v = 2/.7.z=?i = Inv = arctg(y/x).8.z = \/ш;,и = ln(a;2 -f 2/^)>г; = жу^.9.2 = e^^,n = In Ж,V = lny.ii = s m ( x / y ) ,V =u^-\-v^,10. 0 = : l n ( ? i / ? ; ) ,л/х^Ту^,\fxjy.Ответы.1. 4 = 2 г х + 2^,4 = 2ii - 2t;.2^;1y^Z ^ yZ3.zL = t;u''-i • c o s x ,4.z ; = 2 u - 2 x + 6t;2-ye^!',у,У2uv? + г;2• ^cosyz ' = 2u • (-21/) + 6^^ • xe^".6.
4 = —^-20:,7.и,n—~2 ' ^smy.z'=—.'2y+У-2vж2 + 2/2а;2 + 2/2'XУz; = зг.2+ 2^ж2 + 2/2^2 + 2/2 *>/г;2а:\/^22:; =2 V ^ х2 + у2 + 2 ^ ; ^ • 2/ '= 3u2^_ ^^^"2v^22/ , ^. 2^^х2 + 2 / 2 ^ 2 у ^ ^''^•9.У111X 110. 4 = - • cos7Г7=уиУ У V 2,/хуX1X f х \ 1 \/хz ; = - • COS 2/2у +' г» 22/^'^иу2'U — VXli^ + v'^ y''z^ = u ^ l n u • (—siny).5. zi =,V^y "==" IT'S—22г;138Гл. 6. Функции нескольких переменных6.5.
Производная неявной функцииПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции у = у{х)узаданной неявно уравнениемF{x,y)=0.(1)П Л А Н РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ при каждом фиксированном ж, принадлежащем некоторой области Z), уравнение (1) имеет единственное решение у, принадлежащее некоторой области Е^ то уравнение (1) задаетфункцию у = у{х) с областью определения D и областью значений Е.Если в некоторой окрестности точки (а:о,2/о = у{^о)) функцияF{x^y) дифференцируема и Fy{xo,yo) Ф О? то уравнение (1) определяет функцию у — г/(ж), дифференцируемую в точке жо, причем еепроизводная определяется формулой1.
Вычисляем частные производные F^{x,y) и Fy{x^y) в точке(а:о,2/о)) где уо есть корень уравнения F{xo,y) = 0.2. Находим у'{хо) по формуле (2) и записываем ответ.ЗАМЕЧАНИЕ.Аналогично вычисляются частные производныефункций нескольких переменных, заданных неявно. Например, еслиуравнение F{x^y^z) = О задает функцию z = z{x^y), то при известных условиях функция Z = z{x^y) дифференцируема в точке (жо,г/о)и ее частные производные определяются формуламиF^(xo,^Q,zo)F'^{xQ,yQ,ZQ)F'{xQ,yQ,zo)F^{xo,yo,zo)угде ZQ есть корень уравнения F{xo^yo,z) = 0.ПРИМЕР.Найти производную функции у = у(х)^ заданной неявноуравнениемIn у х ^ + у^ = arctg —.(3)XРЕШЕНИЕ.1.
В данном случае F{x^ у) = In -s/x^ + y^ — arctg —. Вычисляем еечастные производные:1J.2 _^ у2f • У\1 -f (у/ж)2 \Ж^/^ + 2/х'^+у'^6.5. Производнал неявной функции139Очевидно, что F{x,y), F^ и F' непрерывны при всех х j^O и Fyj^Oпри X ф у. Следовательно, уравнение (3) определяет функцию у(х),дифференцируемую во всех точках (жо, Уо) области, где х ф^тх ф у.2. Находим у' по формуле (2)Ответ, у =при всех жо, 2/о? удовлетворяющих уравнеXQ -уоПИЮ (3), в области, где х ф О и х ф у.Условия ЗАДАЧ.
Найти производные функций у = у{х)^ заданныхнеявно уравнениями.1. 2/^ =хУ.2. 2/ = 1 + 2/^.3. у = X -{-Iny.4. ж + 2/ = е^~^-5. х^е^^ - 2/^e^^ = 0 .6. х - у -\- arctg ?/ = 0.7. ysinx — cos(a: — 2/) = 0.9. Ц-жу-1п(е^2/ + е-ху)^0.8. sm{xy) — е^У — х'^у = 0.10. х^ - 2а:у + т/^ + ж + ? / - 2 = 0.Ответы.,t/'^lniz-T/x^^-^ху^~^—хУ InxуЗ.у' = ^—.^у-1,2/2е2^-хе22/Х'^е'^У — уе'^^, _ У cos X Н- sin(x - ?/)sm{x — y)—smx 'УX,у^1п2/1 — ху^~^QX-У_ 2^.у' = -.^е^-2/ + 1,1 + у2уQ ' _ ^(^^ "^ ^^^ - ^^^ ^^)x{cosxy — е^У — х)^ ,2у-2х-12^/ - 2ж + 1140Гл.
6. Функции нескольких переменных6.6. Касательная плоскость и нормальк поверхностиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти уравнения касательнойи нормали к поверхности^ заданной уравнениемв точкеплоскостиМ{хо^уо^го).П Л А Н РЕШЕНИЯ.Нормальный вектор к поверхности, заданной уравнениемF(x,y,z)= 0,в точке М(а:о,2/05^о) определяется формулойdF_п = grad F9у м 'мI ^^ мар9z мСледовательно, уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке М{хо^ уо, ZQ) есть^'х|м(^ - ^о) + Fl\^ixo,yo,zo){y- Уо) + Fi\j^{z - ZQ) = О(1)И уравнения нормали —Х-Хоу -уоZ-ZQ(2)F'\F'\F'\^х\му\мz\M1.
Находим частные производные F^, F^ и F^ в точке М(жо, Уо? ^^^о).2. Подставляем найденные значения в уравнения (1) и (2) и записываем ответ.ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ заданы только значения жо иZQ ТОЧКИ М определяется из условия, что точка М?/о, то координатапринадлежит данной поверхности, т.е. F{xQ^yQ^ZQ) = 0.П Р И М Е Р . Найти уравнения касательной плоскости и нормали кповерхности, заданной уравнениемz = xy,в точке М(1,1).6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхностей141Р Е Ш Е Н И Е . Запишем уравнение поверхности в виде xy — z = Oy т.е.F = ху — Z.Координаты точки М: XQ = 1 ш уо = 1.
Координату ZQ определяем из условия, что точка М принадлежит данной поверхности, т.е.F ( l , 1, zo) = 0. Получаем ZQ = 1.1. Находим частные производные F!^^ Fy и F^ в точке М(1,1,1):F'l=v\^а:|(1Д,1)=1^^1(1,1,1)F'\-^'= х\^2/1(1,1,1)-1•^Kl.l^)F'\•^'^^1(1,1,1)=-1•^•2. Подставляя найденные значения в уравнения (1) и (2), получаемуравнение касательной плоскостиl(a:-l)-f 1(г/-1)-1(г-1) = 0и уравнения нормалиX—1 у—11 "" 1 ^2— 1-1Ответ.
Уравнение касательной плоскости:Уравнения нормали: х — 1=у — 1 = 1 — z.х + у — z — 1 = 0.У с л о в и я ЗАДАЧ. Найти уравнения касательной плоскости инормали к поверхности в заданной точке М.1. z = x2 + y2, М ( 1 , - 2 , 5 ) .3. Z = sin а; cos 2/,4. z = e=''=°^2',5. z^ytgx,М(7г/4,7г/4,1/2).М(1,7г,1/е).М(7г/4,1,1).6. Z = arctg(x/2/),М(1,1,7г/4).7. x(y + z ) ( z - a ; j / ) = 8 ,8. 2^/^ + 2!//^ = 8,М(2,1,3).М(2,2,1).9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
