Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Принимая во внимание, что О < р ~< г з «аз Осоз т гиз, з.*з = аЬсрг з1п 8, илгеем л э<по,т) 13. Приловтенпе кратных интегралов к реьнению задач геометрии и фиан и 131 ч 14з уравнеющ границы тела Т видно, что его точки симметричны относительно каор. дпнатных плоскостей, поэтому - Я»*е«*, т' где Т вЂ” восьмая часть тела, лея«ащая в первоы октанте. Заменим в этом интеграле переыенные по формулам (9), и.1.8, полагая в них о ы В = 1. В сферических координата~ уравнение граннцытела прнниыает вид р ж з1л д — соз д, откуда заключаем, что «( д ( —,, 0 ( ь«< -'. 2 2 2 После замены переменных и перехода к повторнолгу интегралу получим ° ~»* з-«»ы а Ь = .Ь,)' »«»а (» р'др»» а 3» < ь з 4 / з - 4 / з = -хаЬс мид(1 — 2соз д) з дд = -таЬс ~ (1 — 2соз д) з д(созд).
3,/ 3 зя « » « Пронзведеы в интеграле замену ь/2 созд = ыв Ь. Тогда 3 ! ь 4 /1 51 х 1«»а — таЬс г соз г«/ь = — хаЬ«В ~ —, -) = — аЬс. ь» Зь/2 2./ 3;/2 2' 2 2«/2 з х Т= (х»у»з)ЕЬЬ:(х.у)ЕЮ,с — + — ) <я<с 1 э з 2 Ьь а' где .Р ж ) (я, у) к И ь » + ~~ < ~~ В интеграле - Я«.«.«. т целесообразно перейти к обобщенным цилиндрическим координатаы по формулам ь/5 — 1 ь/5 — 1, / ад ьг —,„=Ьц — ', = ( «-~.
ь»- Тогда ~р~р' .',1 = — (~5 — 1)р. Принимая во вилл~ание симметрию точек тела относительно плоскостей хОх и уОг. после замены переменных и перехода от тройного интеграла к х' у' я' я' 94, — + — + — =1,— + — =-. аз Ьз сз аз Ьз с ° Найдем уравнение проекции на плоскость »2 ные поверхности. Для этого подставньг — = — , «» » Решив полученное уравнение относьпельио «+ теио Т представлкет собой множество точек хОу кривой, по которой пересекаются дан+ Гьг в уравнение поверхности эллипсоида. »' »«ь-ь $, нььеем -,т+ гь = —, Таким обРазоы, б 3.
Прилоисение кратнык интегралов к решеииго задач геометрии и физики 133 перейдем к обобщенным сферическим координатам по формулам (9), п. 1 8, полагая в них о = д = 2. Из условия -„*— 3» ) О получаем неравенство '*'" „" " — -'-'Г "— » — "" — к ) О, откуда О ~< и ~ (агс»8 э» — „.
После замены переменных в тройном интеграле перейдем к повторному интегралу. Получим у» аооов Э/— ~/ ьл 1оэь~оРа ьп он о 7 1 = 4аЬс / сйпэ д сов дед о впа ьо сов Ьо И»о о э Н(в1а д) — — И 3(-„'+-,) ) / » аомь ~— у' ьл Ьосм~е Ьолоа1 2аЬс гйпщ д '1 л» ) аЬс (л) 89 (8+ ь) ' "' ьг э„/в '/ ьл 3( — „, + —,',) 19 М В интеграле :=ЯэгЭ„Э ° О <9<-'. О<~ <-', О < р<1, 2' 2' в э 1 э 1» = 1баЬс / сова да»пг д ьбд / рэ др / ипэ »о сова р Нво = -або В(4, 2)В(2. 2) = —, р 3 ' ' 99 о о о э э э " ('-.)" (-",)" (-:)'= и Точки тела Т снмльетрпчны относительно координатных плоскостей, поэтому 1г = 8 /О д*гу г., г' где Т вЂ” восьмая часть тела, лежащая в первом октанте.
Зал»еняя в тройном интеграле переменные по форльулал» (9). п.1.8 (полагая там о = д = 3). получим э 7 ! 1' = 22абс / совэ дюп дед / мо »асов »од»о / р Нр = о о о 3 3 3 Г(3)1 (;) 4 ла бабсВ (3, -) В ~т. -) = Оабс вэ — — — тобо. > ' 2) ~2 2) Г(3)Г(у) 3 г пере»йдель к обобщеннылг сфернческил» координатам по формулам (9), п.1.8, полагая таль а = В = 4. Тогда 134 Гл.
2. Кратные н криволинейные интегралы 99. хг + »г = а , хг + »г = Ь, хг — у — »г = 0 (х > О, а < Ь), < Точки тела Т, объем которого требуется вычислить, симметричнм относительно плоскостей хО» и хОу, которые разделяют его на четыре равные части. Граница тела состоит из частей конической и цилиндрических поверхностей. В силу всего сказанного выше имеем 1» = 4Я Ихауа», г' где множество точек Тс принадлежит первому октанту. Заменив в тройном интеграле переменные по формулам» = рсоа ос, х = рз1в 1о, у = у. получим — (у( —. а(р(Ь, 0(уйр1у — соа2уа ' ' =р, а Л а Ь О,у-с сна г ь г =с!1 / с 1 с = /~/- !ссс/ 'сс=-(1' — '1/ '- ! сс. 3 о с Произведем в интеграле замену переменной, налагав 4 = — — р.
Тогда 1" = -(Ь вЂ” а ) /соз 21й. 3 о 1 В полученном интеграле целесообразно произвести замену мв 21 = »3. после чего имеем 1 1»ж» г(1 — ») а Ы»ы — Ы~-, -) ж-(Ь вЂ” а )Ц вЂ” Г 3 / 3 ~2' 4У' 3 Ь! х 14! о +ь 2 . Ух у»1 х у 100. а', = — агсх1в(-+ — +-), — + — =1, х=О,х=а(а>О,Ь>О,с>0), 0+К+3 х (а Ь с)' а Ь а Ь с м Полагая в уравнении поверхности» = О, получаем уравнение прямой — +" = 1. по а Ь которой поверхность пересекается с плоскостью хОу.
В тройном интеграле =Яс, с, г произведем заь!ену переменных, полагая — = и, -+" = е, -+ к+ - = к. При атом получиы а ' Ь ' а Ь с 0(и(1. — агсзгл!о(о(1, -1(ш((1, 2!и . 23(х, у, ») 1 = аЬс, 11 2г(и, е, и!) 2г(х, о, го) 2г(х, у, ») 1 1 1 1 1 =ь~.~ ~ .- ° .((-- ° ) =. ° (--/.:. )= о -! г -! -1 — сс 1а а 3 3. Приложение кратных интегралов к рещеии!о задач геометрии и физики Каждый интеграл, входящий в произведение, является В-функцней Эйлера 132 )= »» 11,Г- Г(!) з!и' ~ 22.!?ьг = -В ( -, -) =— 2 (,2' 2» 2» (»+!) о Следовательно. (,.)-* г! !г1!! ... г! — "! (,-ь)- * .
!.1.- 1=2 з 2 2 т — 2 т! —— а! р соз н! ..! П зга !2, (» = 2. ш — 2), х! = 01рз1п !21 з!а и2 ...з!и р -2. Хм, = а,„1РСОЗ;Р -2. х =х Принимая во внимание равенство Р(Х1, Хг, ..., Х„) = агат ... а, 1Р а! ( Гйв !Р1 2»(Р. У1, р -г. х! ) и решение предыдущего примера, получи ге 1 = а!аг ...
а„, 1 з~ !?!Рг / згппг !?Рг ... / 21п *д -2 !?Р— 2 / Р !?Р / !гх, = з о о Рй -г г 2х а!аг ... а 2 П гйп ьг йр! = (гп — 1)гп 1=2 а — 1 -1 !-3 ,.- гл~ Применяя формулы (1), п.З.З, найти коордпнагы центра тяя!ести: 106. Однородной пластипьп Р. граница которой задана уравнениями ау = х, х+ у = 2а (а > 0). Прялгая,! = ((х. у) б Р ! х + у = Зя) и кривая "!г = ((х, у) Е И~ . ау = х ) пересекаются в точках с абсциссами х! = -?е, хг = а. Однородная пласгннка Р является плоской замкнутой областью Р = ((х, у) Е )р~ ! — 2а ( х ( а, — ' ( у ( 2а — х (, а ее масса га- Прп и! = 2 получим 1 = та, а прп т = 3 имеем П = з!ге . что известна из элементарного 2 ! з курса !еометрип. Н 105.
Найти объем т-мерного конуса, ограниченного поверхностью. заданной уравне- 2 2 2 2 Х1 Х2 Х 1 Х„, ниел! — + — + ... + = —, и гпперплоскостью. уравнение которой х = а„. аг а! а, а г 2 ''' 2 2 ° В интеграле 1" = » !(х заменим переменнь1е по формулам т 3 3. Приложение кратных интегралов к решетово задач геометрии и физики 139 » «(1+ о»«1 « 1 з хо = — хйх»(у = — сову»(у р»(р = — сову(1+сову) с(у= т // т / / Зт,/ о о о » з = — )(3 сов у+сов у) с(у м — )(Зсоз у+сов у) Иу = — ( ЗВ ~-, -) + В ~-, -// = -а 9 ) Зтн / о о с «(тесы с) з уо = — у»(х»(у = — з(пузу Р с(Р = т// о о с о з Г з 1ба = — / (1+ сову) зги у»(у = — / (1+ сазу)»((сову) «« —.
Зги / Зт / 9»г ГГ l (' хо = — хр(х, у)Их»(у» уо = — // ур(х у)»(х "у т // из где т = Од(х, у)»(х с(у. После замены переменных по формулам х — а = р сов у, у = рзш у, о получим з т т с / »(у з 8 -са соз уйу = 3 3. з с 8 з/,з, 8 з(. зшуг)з з = -са (1 — мп у)»((з(ау) = -са мир — — )1 з з 3 )1зт зс з з -З«со»»» о Зг = — са» 9 -зс со» о 3 (а+ рсоау)р 4р= — ~ »1 — -а соз у+4а соз у) агрос 2 с 8 с 3 с з т / с 3 с хо с« — / »Гу т / з 2 4са 1 з „з 4са . с . а = — / (3 сов и — Зсоз у) Иу = — / (1 — 4зтп у+ Зз(в»р)»((в1п у) = — —, Зиз / Зт / $' При решении примера испольэовали переход в двойном интеграле от декартовых координат к полярным координатам. > 109. Найти координаты центра тяжести круглой пластинки Ю = ((х, у) Е Зс~: х + уз ( а )» если плотность ее вещества в точке (х, у) пропорциональна расстоянпто от этой точки з до точки (а, 0).
ч Из условия задачи следует, что плотность р вещества пластинки В выражается фар»», )= » -' Г»С,, » — . с о (О,»»с имеем З 3. Прклозкеиие кратнзпс интегралов к решению задач геометрии ц физики 141 следует доказываемая формула. 112. Доказать, что момент инерции 1 плоскои пластинки Р относительно прямой, проходящей через центр тюкести О = (О, 0) пластинки и составляющей угол а с осью Ох, определяется формулой 1»» 1 сов а — 21,„элиасова+1„ип а, г а где 1 н 1„— моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу, 1 „— цеитробешныймоментннерции (см. формулы (2) и (3), п.З.З). < По условию центр тяжести пластинки Р находится в начале координат системы хОу. Фиксируем точку (х, у). Ее расстояние до заданной прямой равно (х — усвда)юаа = хмва — усова (рис.
12), в силу чего имеем .у) Рис. 12 ! = Д(хвш а — усова) д(х, у) )1хйу = о = Мо а Д Л(х, у)х йх йу — 2 мо а сова 0 худ(х, у) Нх Ну + сов а 0 у д(х, у) )1» ву = и = 1„мл а — 21»„вш а сов а + 1» сов а. > э э »» » 11 ))ь» + О ) ),1)4~ = ) »1)э )б = )А — ) !„= -аьуь« -» в вя»)с» » » У- Ц )))»4» .о — *) ),)сь) -1~»1)л — )»-о. — чвя » в ея»ц» 113.
Определить снизу давления воды на боковую стенку цилиндрического сосуда Т = ((х„у, в) Е й~ ) хз + уэ ( в, 0 4 * ( Ь), х ) О, если уровень воды х = Ь. е Согласно основному закону гндростатики, на элемент йа(М) цилиндрической поверх- ности, площадь которого )15(М), действует сила давления йР(М), равная по величине произ- ведению Ю(М) на плотность )»(М) зсидкости н на расстояние элемента йо(М) от свободной поверхности ясидкости.
Эта сила направлена в сторону единичной внешней нормали к боко- вой поверхности цилиндра. Следовательно, ОР(М) = ИЯ(М)д(М)(Ь вЂ” х)и(М), М Е йв. Поскольку образующие цилиндра параллельны осн Ох, то )~Р(М) )1Х(М)в+ )11 (111)д где йХ(М) = )гЯ(М)(Л вЂ” х)р(М) сов(и, в), )вУ(М) = ))Я(М)(Ь вЂ” х)д(М) сов(и, 1), Суммируя по всем элементам йа(М) н принимая во внимание равенства )15= 1+в„' +х', )1у)1», 1 хэ ' У ) .. )= . ) .В=- " ..))о-» 1»с +» ' получаем следующие значения компонент Х и У вектора Р— суммарного давления на стенку цилиндрического сосуда при х л 0: $ 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
