Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 15
Текст из файла (страница 15)
~(*' у диду, Е = ((х, у) б И': х'+ у' > 1), О < т <!р(х, у)) < М. ' П (ха+уз) »1 Обозначим подынтегральную функцию через гг. П у Г т — „-пу »1 овна и гг. Поскольк ~ ((У(х, у)) < об ого войного интеграла эквивалентна его абсолютной схо— ч-ч — р п сходнмость несобственного двой гг+г )р емый интеграл сходится нлн расходится вместе с димости, то по признаку сравнения исследуем интегралом Гл.
2. Кратные 21 криволинейные интегралы 104 4Т. 1 =, р > О, д > О, где Е = ((х, у) б К~ ! )х!!+ <у( > 1). =й'<.<+<у< е а Очевидно, скодимость интеграла! эквивалентна скодимости интеграла Е' где Е' = ((х, у) б м~ ! х" + уг ) 1, х > О, у ) О). Согласно определению п,2.2, имеем 11 = Р(х! У) ЫхЫУ, где Е(х у) — эгез! ' — если (х. у) б Е', О, если (х, у) от( '1Е'.
Поскольку Е(х, у) ) О. то Дг1,!! !, е Еп = ~(р, р) бК ! — (р<а, 0(22(2я). 1 Произведя в интеграле Га = О Е(х, у) 4 у е„ 1 2 1 2 замену переменных по форыулаь1 х = рг созз 22! у = рт ми 2 !р. получим 2 г 2 2 1 1 +--2 1 (1 1 А,= — - /зглг гэсоз1 рИ,/ р.
° Ир=-В(-,-1 Рт / г,д' р1 Следовательно, последовательность (1 ) имеет конечный 1 1 только тогда, когда — + — — 1 < О. Таким образом, интеграл 1 2 48. 1= ' НЕИу, Е= Цх. у) 6 И' ! к+у>1). 1 ! (х+ у)з М Заменяя в интеграле переменные по форьгулам а = -д:-, *+ предел при и со тогда п сходится, если — + — < 1, и 1 1 Е 2 а = -*:~, получим а2 1 Г Г соз 2112а — соз 2/2а ! ( 2 1 П = "'П аг НаНа, Е' = ~ (а,. а) б й ! а ) —.
а б Й 1.. !/2 Согласна определению пг2.2, имеем 1 = — к Ц Е(а, а) Ыа !4е, 2 2// где (Е„) — произвольная фиксированнал последовательность допустимыя мнотиеств такая, что ( ) Е„= И~ . Возьмем еи З 2. Несобственные кратные интегралы 105 где если (и, и) б Е', О, если (и, и) б !йг '! Е'. В!нок<ества Ео = ((и. е) й !й~: -и < и < и, -и < о < и) допустимые для интегрирования функции Р, а последовательность двойных интегралов 1 ~~ Е(и, с) г!или можно залгенить последовательностью повторных шггегралов, так как Р— непрерывная функция. Таким образом, з Гг!и Г Г ои Г соль'2и 1„= / — / (соз Ле — соз ъГ2и» оз = ъГ22з!и ъ'2и — — 2и Ыи.
/ гГ из ив 1 1 1 Поскольку последовательность (1 ) не имеет предела при и — ос, то интегралы Д Е(и, о) кг и 1 расходятся. > 49. Показать. что Г » ' (*' + ') * 11 где Е = ((х, у) б л<~: !х! < и, !у! < п). тогда лак )цп Цз(п(х +уз)Ихйу = О. .11 Где Еп„= ((х, у) б В: х + у < 2их». ° я 1!з непрерывности функции (х, у) 1 Йп(х + у ), (х, у) е Р, следует равенства з з ~ з!п(х + у ) их йу ы / пх / з(п(х + у )г(у = 2/ з(их ох/ соя у йу, л -и з в силу которого получаем после перехода к пределу произведение интегралов Френеля: йш гйп(х + у~) Их йу = 2 сйв х Ых соз уг ау = х. и зз ~1 Для проверки второго предельного соотношения достаточно перейти к полярным коордцна- таы н вычислить интеграл: г рз!и ргйрйр = 2т / рзш рта = тсозр»~ — — О.
а<я<Лги 0<и<ге Этот пример показывает, что двойной несобственный интеграл //. (г+ г)! 10б Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы расходится. М 50. Показать, что интеграл: 2 2 1 сЪхНу, Е-((х,у)6К .х>1,у>1), ./ 1 (х' + з)у расходится, хотя повторные интегралы ооо Фоо +х +оу 1 1 1 ! существуют. и Плл доказательства первой части утверждения достаточно показать, что интеграл 1 абсолютно расходится, т.е. что интеграл Г=// ~", „"',огог=//П.,СГ.». где ж г „у -пг-тлт))ю если (х, У) б Е, О, если (х, у) бП ~Е. расходится.
В качестве допустимой последовательности множеств Е„возьмем Е„= ((х,ту) б П з, -и < х < и. -п < у < п). Тогда получим, принимая во внимание, что )х — у~) с х — уз, если х>у, у — х, если х< у: 2 2 о и и С-//гь,еьь=/ог/; ',,а„~/ог/ ',;,Ь= к„ о г и =/( 1 / Их = 1и и — — + агсгб —. ~, ху з- уг 1 хз й уз ~ ( ~х хз + пу / 4 п 1 у о те а г Поскольку Бгп 1,', = +ос, то интеграл 1 раскодится. у Вычисяим интегралы 1у и 1з. Пмеем Этот пример показывает, что существование лишь повторных интегралов не обеспечивает сходимости соответствующего двойного несобственного интеграла. М Вычислить следующие интегралы: 51.
1=/1 '*",у=/у,,)уй*:. и Подынтегральиая функция принимает положительные значения, поэтому достаточно вычислить интеграл 1' = // Р(х, у) Их йу, 1 в» 1пп л/2 + ~Г "Т2 — 1х ~- ~ л/2 1и + агсгх 211лу2 — 1 . — 1гГР2 — 1х+ -'. /д+1 ~ ~ /р+, (1 лГ2+1/ — =„/чЯ о.. /Уг+1 о 5З. 1»» е' *"~'" ~ ~~ в+Г ~1 Ну. тле а < О, Ьг «О иг и Прилгеиив известное преобразование координат по формулалг х = хв + х' сазо†у'яп а, у = ув+ х з!п а+ у'сова, где числа хо, ув, а удовлетворяют уравиеииялл Ьлб а — (с — а) лба — Ь = О, ахо + Ьуо + а = О, Ьхо+ суо+ е = О, квадратичную форлгу р = ах + 26ху+ суг + 2Их+ 2еу + Г приведем к каноиическоыу виду: 1»=Лх +Су +1, где Л = -(а сов а — 26яп осока+ сяп а) < О, г б' С = -(аяп а — 2Ьяп а созе + ссов а) < О, г г а Ь И 16= 6 с е .
6=~ Ь «О И е Между коэффициентами а, Ь. с и Л, С существует следующая связь АС=ас — Ьг=б, А+С=а+с. После указанной выше замены перелгениых интеграл 1 принимает вид П - //' ,г г ГГ,г Л е ли+се'+Г'» г) г 1' л ' Есв' х у=с Ое х у. иг ва В качестве допустилгой последовательности мноясеств (Е„) выберем г г, Р г 11 Ее='<(х,у)"-,гс:-и<Ах +Су < — — /, пбу).
и» Заменяя в интегралах 1„= Д ел» т " 4х'Ыу' переменные по формулам л Р у Блв ьг л/:7; х = — совр, Р ./-А получим, принимая во внимание, что -1 — 'д2 = п(е, е)»»лс ' г. »Г» г х.= ' 1 г /„-"а= о йгп 1 »-» ~б 1ОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы Представляя подынтегральиую функцию в виде суммы простых дробей н интегрируя зтп дроби, имеем 11О Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы Поскольку Г(х, у, 2) > О на всем пространстве 2с~, то в качестве допустимой последователь-, ности мнозкеств (Еи) можно взять любую фиксированную посяедовательносгь, например, Еи и» ((х, У, «) б П~ 11 + -' < (х)Р+ )У(ч+ )«)" < и).
Тогда 1, = Иш 1„, гДе и ч 1.=Д/чз,»зч.ч,г*=~фчз..еч.ч ч*. Е'„— вся часть множества Е», лежащая в первом октанте. После замены переменных в интегралах 1» по формулам 1 2 2 х = рР з!ив д сов в р, принимая во внимание, что 2 2 2 2 2 22(х, у, «) 4 -+-+ — ! . -+ — -! 1 --1 ж — рв ч ч вгпР ч двшч гзсовв рсов д, 22(р, д. р) Рд получим 2 2 и 2 2 / 2 .
2 / 1 1 1 32 /. -+ — ! 1 / --1 + 4 2 1» = — ! вшР ч д сов дчгд ( ив 2 рсозв !Рвр / РР ч " вр = Рч/г о о 1 и 1 1 1 ! Вполне очевидно, что конечный предел последовательности (1») существует лишь при выполнении условия - + - + -, ( 1. Тогда н иссяедуемый интеграл сходится прн выполнении 1 1 1 Р 9 этого условия. 56. Доказать форыулу Дприхле // / „, „..., Г(Р!)Г(Р2) "Г(Р ) Г(Р, +Р, +" +Р +1 ' Е где Е = Х б И ! ~ Х! ( 1, Х; ~ О, ! ы 1, Чо, Р, > О, 1 = 1! ЧП.
ч 1 М При п1 = 2 имеем 1-ч! .!ВВ,»2>в «! 4»чв! ч» — хв' (1 — хг)Р2 Нхг = — В(Р!1 1+Рз) ы 1 Р1-1 Рв 1 Г(Р1)г(Р2) 122 Р2 Г(Р\ + Р2 + 1) в следовательно, прп пч ы 2 формула Дирнхле справедлива. Допустим, что она справедлива для (пч — 1) -кратно!о интеграла. При таком предполо'кении получим 1 $2. Несобствеиаые кратиые иптегралы где л-! Е = х б Ж : ~~! х; < 1 — х , х; > О, ! т 1, !п — 1 ' ! Отображение, определяемое системой Х! — (1 Хт)22, Х2 (1 Хт)22, ..., Хт 1 (1 — Хт)гт 2> является С -диффеоморфизмом множества т-! Ел = ~ б И ':,~ 4, ( 1, 6 ~ )О, ! т 1, Пз — 1 !л! на л2ножество Е'.
Принимая во внимание равенства 2(Х! Х2 Х ~ !) ( )л ! 1с(С2, Сз: " С -!) «! †! Р«-! Р -! -! Р!-2СР«-! СР -! 2/ !Р!+Р«+ " +Р -! - 2! в силу предположения индукции,получим х",' !х"' !... ХР,' ! 4х !гхз ... !«х — (1 Х )Р1«Р2+ +Р -! ~Р2 ТР« ! ~Р Ц~ Ел Г(„)ГР,)" Г(Р,) Г(Р, +Р,+" +Р,„, +1) Тогда иитеграл 1 примет вид ! Г(Р!)Г(Р2) ''' Г(Р~-!) [ Р -2(1 )Р!2222- 22 Г(Р, + Р, + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
